第三章非線性

第四節(jié)非線性關(guān)系的處理非線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中占據(jù)重要的位置；已經(jīng)形成內(nèi)容廣泛的體系，包括變量非線性模型、參數(shù)非線性模型、隨機(jī)誤差項(xiàng)違背基本假設(shè)的非線性問(wèn)題等；非線性模型理論與方法已經(jīng)形成了一個(gè)與線性模型相對(duì)應(yīng)的體系，包括從最小二乘原理出發(fā)的一整套方法和從最大或然原理出發(fā)的一整套方法。本節(jié)僅涉及最基礎(chǔ)的、具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的非線性單方程模型的最小二乘估計(jì)。

迄今為止，我們已解決了線性模型的估計(jì)問(wèn)題。但在實(shí)際問(wèn)題中，變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系，經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù):

就是一例。在這樣一些非線性關(guān)系中，有些可以通過(guò)代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理，另一些則不能。下面我們通過(guò)一些例子來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。一、線性模型的含義線性模型的基本形式是:

其特點(diǎn)是可以寫成每一個(gè)解釋變量和一個(gè)系數(shù)相乘的形式。線性模型的線性包含兩重含義：（1）變量的線性變量以其原型出現(xiàn)在模型之中，而不是以X2或Xβ之類的函數(shù)形式出現(xiàn)在模型中。（2）參數(shù)的線性因變量Y是各參數(shù)的線性函數(shù)。對(duì)于線性回歸分析，只有第二種類型的線性才是重要的，因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過(guò)適當(dāng)?shù)闹匦露x來(lái)解決。例如，對(duì)于

此方程的變量和參數(shù)都是線性的。如果原方程的擾動(dòng)項(xiàng)滿足高斯—馬爾可夫定理?xiàng)l件，重寫的方程的擾動(dòng)項(xiàng)也將滿足。二、線性化方法1.解釋變量非線性現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性關(guān)系需求量與價(jià)格之間的關(guān)系成本與產(chǎn)量的關(guān)系稅收與稅率的關(guān)系基尼系數(shù)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的關(guān)系通過(guò)變量置換就可以化為線性模型

參數(shù)的非線性是一個(gè)嚴(yán)重得多的問(wèn)題，因?yàn)樗荒軆H憑重定義來(lái)處理?？墒牵绻Ｐ偷挠叶擞梢幌盗械腦β或eβX項(xiàng)相乘，并且擾動(dòng)項(xiàng)也是乘積形式的，則該模型可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)線性化。例如，需求函數(shù)

其中，Y=對(duì)某商品的需求

X=收入

P=相對(duì)價(jià)格指數(shù)

ν=擾動(dòng)項(xiàng)可轉(zhuǎn)換為：2.參數(shù)非線性

用X,Y,P的數(shù)據(jù)，我們可得到logY,logX和logP,從而可以用OLS法估計(jì)上式。

logX的系數(shù)是β的估計(jì)值，經(jīng)濟(jì)含義是需求的收入彈性，logP的系數(shù)將是γ的估計(jì)值，即需求的價(jià)格彈性。

[注釋]

彈性（elasticity）：一變量變動(dòng)1%所引起的另一變量變動(dòng)的百分比：

需求的收入彈性：收入變化1%，價(jià)格不變時(shí)，所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比。

需求的價(jià)格彈性：價(jià)格變化1%，收入不變時(shí)，所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比。⒊不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問(wèn)題

例1需求函數(shù)本章§1中，我們?cè)o出一個(gè)食品支出為因變量，個(gè)人可支配收入和食品價(jià)格指數(shù)為解釋變量的線性回歸模型例子?，F(xiàn)用這三個(gè)變量的對(duì)數(shù)重新估計(jì)（采用同樣的數(shù)據(jù)），得到如下結(jié)果（括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差）：回歸結(jié)果表明，需求的收入彈性是0.64,需求的價(jià)格彈性是0.48，這兩個(gè)系數(shù)都顯著異于0。三、例子

例2．柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是一個(gè)生產(chǎn)過(guò)程中的投入及其產(chǎn)出之間的一種關(guān)系。著名的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（C-D函數(shù)）為

用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù)（美國(guó)1899-1922年制造業(yè)數(shù)據(jù)）估計(jì)經(jīng)過(guò)線性變換的模型得到如下結(jié)果：

從上述結(jié)果可以看出，產(chǎn)出的資本彈性是0.23，產(chǎn)出的勞動(dòng)彈性為0.81。例3．貨幣需求量與利率之間的關(guān)系

M=a(r-2)b這里，變量非線性和參數(shù)非線性并存。對(duì)此方程采用對(duì)數(shù)變換

logM=loga+blog(r-2)

令Y=logM,X=log(r-2),β1=loga,β2=b

則變換后的模型為：

Yt=β1+β2Xt+ut

將OLS法應(yīng)用于此模型，可求得β1和β2的估計(jì)值從而可通過(guò)下列兩式求出a和b估計(jì)值：

應(yīng)當(dāng)指出，在這種情況下，線性模型估計(jì)量的性質(zhì)（如BLUE,正態(tài)性等）只適用于變換后的參數(shù)估計(jì)量，而不一定適用于原模型參數(shù)的估計(jì)量和。

例4．上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí)，我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個(gè)結(jié)束條件。根據(jù)理論假設(shè)，在某一利率水平上，貨幣需求量在理論上是無(wú)窮大。我們假定這個(gè)利率水平為2%。假如不給這一約束條件，而是從給定的數(shù)據(jù)中估計(jì)該利率水平的值，則模型變?yōu)椋?/p>

M=a(r-c)b

式中a,b,c均為參數(shù)。仍采用對(duì)數(shù)變換，得到

log(Mt)=loga+blog(rt

-c)+utt=1,2,…,n

我們無(wú)法將log(rt-c)定義為一個(gè)可觀測(cè)的變量X,因?yàn)檫@里有一個(gè)未知量c。也就是說(shuō)，此模型無(wú)法線性化。在這種情況下，只能用估計(jì)非線性模型參數(shù)值的方法。

模型

Y=a(X-c)b是一個(gè)非線性模型，a、b和c是要估計(jì)的參數(shù)。此模型無(wú)法用取對(duì)數(shù)的方法線性化，只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì)，如非線性最小二乘法（NLS）。該方法的原則仍然是殘差平方和最小。計(jì)量經(jīng)濟(jì)軟件包通常提供這類方法，這里給出有關(guān)非線性回歸方法的大致步驟如下：四、非線性回歸1． 首先給出各參數(shù)的初始估計(jì)值（合理猜測(cè)值）;2． 用這些參數(shù)值和X觀測(cè)值數(shù)據(jù)計(jì)算Y的各期預(yù)測(cè)值（擬合值）;3．計(jì)算各期殘差，然后計(jì)算殘差平方和∑e2;4．對(duì)一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的估計(jì)值作微小變動(dòng)；

5．計(jì)算新的Y預(yù)測(cè)值、殘差平方和∑e2；

6．若新的∑e2小于老的∑e2，說(shuō)明新參數(shù)估計(jì)值優(yōu)于老估計(jì)值，則以它們作為新起點(diǎn)；

7．重復(fù)步驟4，5，6，直至無(wú)法減小∑e2為止。

8．最后的參數(shù)估計(jì)值即為最小二乘估計(jì)值。非線性回歸方法的步驟1.在系數(shù)矩陣中（默認(rèn)是c或自己建立一個(gè)Objects/NewObject/Matrix-Vector-Coef/CoefficientVector）輸入合理初始值；2.建立方程。Object/NewObject/Equation或Quick/EstimateEquation如：y=c(1)+c(2)*(k^c(3)+l^c(4))或若自己定義系數(shù)矩陣為cf，則可y=cf(1)+cf(2)*(k^cf(3)+l^cf(4))3.點(diǎn)擊OK。五、常見(jiàn)的非線性模型的類型序號(hào)名稱非線性回歸函數(shù)非線性趨勢(shì)函數(shù)1一次多項(xiàng)式模型y=a+bxy=a+bt2二次多項(xiàng)式模型y=a+bx+cx2y=a+bt+ct23三次多項(xiàng)式模型y=a+bx+cx2+dx3y=a+bt+ct2+dt34冪函數(shù)模型y=axby=atb5簡(jiǎn)單指數(shù)模型y=abxy=abt序號(hào)名稱非線性回歸函數(shù)非線性趨勢(shì)函數(shù)6對(duì)數(shù)模型y=a+blnxlny=a+bxlny=a+blnxy=a+blntlny=a+btlny=a+blnt7雙曲函數(shù)模型y=a+b/xy=a+b/t8修正指數(shù)模型y=k+abt9邏輯斯蒂模型10龔伯茲模型⑴指數(shù)函數(shù)模型

yt

=(4.1)b>0和b<0兩種情形的圖形分別見(jiàn)圖4.1和4.2。顯然xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得

Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)令Lnyt=yt*,Lna=a*,則

yt*=a*+bxt+ut(4.3)變量yt*和xt已變換成為線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。

圖4.1yt

=,(b>0)圖4.2yt

=,(b<0)⑵對(duì)數(shù)函數(shù)模型

yt=a+bLnxt

+ut(4.4)b>0和b<0兩種情形的圖形分別見(jiàn)圖4.3和4.4。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=Lnxt,則

yt=a+bxt*+ut(4.5)變量yt

和xt*已變換成為線性關(guān)系。圖4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)圖4.4yt=a+bLnxt

+ut

,(b<0)

半對(duì)數(shù)模型半對(duì)數(shù)模型指的是因變量和解釋變量中一個(gè)為對(duì)數(shù)形式而另一個(gè)為線性的模型。因變量為對(duì)數(shù)形式的稱為對(duì)數(shù)-線性模型(log-linmodel)。解釋變量為對(duì)數(shù)形式的稱為線性-對(duì)數(shù)模型(lin-logmodel)。

我們先介紹前者，其形式如下：對(duì)數(shù)-線性模型中，斜率的含義是Y的百分比變動(dòng)，即解釋變量X變動(dòng)一個(gè)單位引起的因變量Y的百分比變動(dòng)。這是因?yàn)?，利用微分可以得出?/p>

這表明，斜率度量的是解釋變量X的單位變動(dòng)所引起的因變量Y的相對(duì)變動(dòng)。將此相對(duì)變動(dòng)乘以100，就得到Y(jié)的百分比變動(dòng)，或者說(shuō)得到Y(jié)的增長(zhǎng)率。由于對(duì)數(shù)-線性模型中斜率系數(shù)的這一含義，因而也叫增長(zhǎng)模型(growthmodel)。增長(zhǎng)模型通常用于測(cè)度所關(guān)心的經(jīng)濟(jì)變量（如GDP）的增長(zhǎng)率。例如，我們可以通過(guò)估計(jì)下面的半對(duì)數(shù)模型

得到一國(guó)GDP的年增長(zhǎng)率的估計(jì)值，這里t為時(shí)間趨勢(shì)變量。案例3.1測(cè)算1978-2010中國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率

名義值不變價(jià)t

名義值不變價(jià)t19783645.2173645.2171199448197.8616480.331719794062.5793921.2642199560793.7318280.81819804545.6244228.7483199671176.5920110.441919814891.5614472.2764199778973.0321980.112019825323.3514877.3245199884402.2823701.892119835962.6525406.6596199989677.0525507.942219847208.0526227.1757200099214.5527658.582319859016.0377065.73882001109655.229954.3324198610275.187690.892002120332.732674.8125198712058.628581.645102003135822.835950.5826198815042.829549.705112004159878.339576.2127198916992.329937.729122005184937.444052.2928199018667.8210319.24132006216314.449636.629199121781.511194.06142007265810.356666.3330199226923.4812788.18152008314045.462125.9431199335333.9214573.96162009340902.867530.932

201040326074013.8733名義值不變值案例3.2：1949－2003年的中國(guó)人口增長(zhǎng)率斜率0.01685表示，平均而言，中國(guó)人口的年增長(zhǎng)率為0.01685，即人口以每年1.685％的速度增長(zhǎng)。截距項(xiàng)10.924可解釋為：10.924＝log（Y0），即Y0

＝55475.68,可解釋為1948年的人口數(shù)。 線性趨勢(shì)模型斜率1489.92表示，在樣本區(qū)間內(nèi)，中國(guó)人口以每年1489.92萬(wàn)的絕對(duì)速度增長(zhǎng)。截距項(xiàng)50377.6可解釋為1948年的人口數(shù)。 增長(zhǎng)模型與線性趨勢(shì)模型實(shí)踐中，線性趨勢(shì)模型和增長(zhǎng)模型應(yīng)用得十分廣泛。但相對(duì)而言，增長(zhǎng)模型更有用些。人們通常關(guān)注的是經(jīng)濟(jì)變量的相對(duì)變化而不是絕對(duì)變化。但應(yīng)注意的是，不能比較這兩個(gè)模型的r值，因?yàn)閮蓚€(gè)模型因變量不同。近來(lái)，新一代時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)家對(duì)這兩個(gè)模型引入時(shí)間趨勢(shì)t提出了質(zhì)疑。他們認(rèn)為，只有在隨機(jī)項(xiàng)u是平穩(wěn)的條件下，引入時(shí)間趨勢(shì)t才合理。Eviews命令create…dataYt

genrt＝@trend(起始年份)genr

lnYt=log(Yt)ls

lnYtct線性-對(duì)數(shù)模型的形式如下：與前面類似，我們可用微分得到這表明因此

上式表明，Y的絕對(duì)變動(dòng)量等于乘以X的相對(duì)變動(dòng)量。因此,線性-對(duì)數(shù)模型通常用于研究解釋變量每變動(dòng)1%引起的因變量的絕對(duì)變動(dòng)量是多少這類問(wèn)題。當(dāng)X變動(dòng)1%時(shí)，y變動(dòng)1/100或0.011。⑶冪函數(shù)模型

yt

=axtb(4.6)b取不同值的圖形分別見(jiàn)圖4.5和4.6。xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得

Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,則上式表示為

yt*=a*+bxt*+ut

(4.8)變量yt*和xt*之間已成線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。(4.7)式也稱作全對(duì)數(shù)模型。

圖4.5yt=axt

b

圖4.6yt=axt

b⑷雙曲線函數(shù)模型1/yt=a+b/xt

+ut(4.9)也可寫成，yt=1/(a+b/xt

+ut)(4.10)b>0情形的圖形見(jiàn)圖4.7。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得

yt*=a+bxt*+ut

已變換為線性回歸模型。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。圖4.7yt=1/(a+b/xt

),(b>0)雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)b>0情形的圖形見(jiàn)圖4.8。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt*=1/xt，得

yt=a+bxt*+ut上式已變換成線性回歸模型。圖4.8yt=a+b/xt

,(b>0)⑸多項(xiàng)式方程模型一種三次多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1

xt+b2

xt2+b3

xt3+ut(4.12)其中b1>0,b2>0,b3>0和b1<0,b2>0,b3<0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.9和4.10。令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式變?yōu)閥t=b0+b1

xt1+b2

xt2+b3

xt3+ut(4.13)這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本曲線與圖4.9相似。

圖4.9圖4.10另一種二次多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt=b0+b1

xt+b2

xt2+ut(4.14)其中b1>0,b2>0和b1<0,b2<0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式線性化為，yt=b0+b1

xt1+b2

xt2+ut(4.15)如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖4.11相似。

圖4.11b1>0,b2>0圖4.12b1<0,b2<0⑹生長(zhǎng)曲線(logistic)模型

yt=(4.16)一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常見(jiàn)形式為f(t)=a0-a

t

yt==(4.17)其中b=。a>0情形的圖形分別見(jiàn)圖4.13和4.14。其中k和0分別為yt的生長(zhǎng)上限和下限。

=k,=0。a,b

為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（,），曲線的上下兩部分對(duì)稱于拐點(diǎn)。美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearl和Reed廣泛研究了有機(jī)體的生長(zhǎng)，得到了上述數(shù)學(xué)模型。生長(zhǎng)模型（或邏輯斯諦曲線，Pearl-Reed曲線）常用于描述有機(jī)體生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程，也常用于表示科技變化的普及程度（如y可能是有計(jì)算機(jī)的家庭中擁有最新型計(jì)算機(jī)的比例或售出的音樂(lè)錄制品中CD所占的比例或全美原鋼產(chǎn)量中以電子弧光鍛鋼法產(chǎn)出原鋼的比例等）。

圖4.13yt=k/(1+)圖4.14yt=k/(1+)案例例1：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（摘自《數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理》1988.4,p.16）某硫酸廠生產(chǎn)的硫酸的透明度一直達(dá)不到優(yōu)質(zhì)指標(biāo)。經(jīng)分析透明度低與硫酸中金屬雜質(zhì)的含量太高有關(guān)。影響透明度的主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等。通過(guò)正交試驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度的最主要原因。測(cè)量了47個(gè)樣本，得硫酸透明度（y）與鐵雜質(zhì)含量（x）的散點(diǎn)圖如下：

（1）y=121.59-0.91x(10.1)(-5.7)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(18.6)(-11.9)R2=0.76,s.e.=0.009,F=142

（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(22.0)(21.6)

R2=0.91,s.e.=0.22,F=468還原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)y=7.33（3）y=-54.40+6524.83(1/x)(-7.2)(16.3)

R2=0.86,s.e.=18.2,F=266例2中國(guó)鉛筆需求預(yù)測(cè)模型中國(guó)從上個(gè)世紀(jì)30年代開(kāi)始生產(chǎn)鉛筆。1985年全國(guó)有22個(gè)廠家生產(chǎn)鉛筆。產(chǎn)量居世界首位（33.9億支），占世界總產(chǎn)量的1/3。改革開(kāi)放以后，鉛筆生產(chǎn)增長(zhǎng)極為迅速。1979-1983年平均年增長(zhǎng)率為8.5%。鉛筆銷售量時(shí)間序列見(jiàn)圖4.21。1961-1964年的銷售量平穩(wěn)狀態(tài)是受到了經(jīng)濟(jì)收縮的影響。文革期間銷售量出現(xiàn)兩次下降，是受到了當(dāng)時(shí)政治因素的影響。1969-1972年的增長(zhǎng)是由于一度中斷了的中小學(xué)教育逐步恢復(fù)的結(jié)果。1977-1978年的增長(zhǎng)是由于高考正式恢復(fù)的結(jié)果。1981年中國(guó)開(kāi)始生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆，對(duì)傳統(tǒng)鉛筆市場(chǎng)沖擊很大。1979-1985年的緩慢增長(zhǎng)是受到了自動(dòng)鉛筆上市的影響。圖4.21初始確定的影響鉛筆銷量的因素有全國(guó)人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計(jì)人員數(shù)、居民消費(fèi)水平、社會(huì)總產(chǎn)值、自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量、價(jià)格因素、原材料供給量、政策因素等。經(jīng)過(guò)多次篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定的被解釋變量是yt（鉛筆年銷售量，千萬(wàn)支）；解釋變量分別是xt1（自動(dòng)鉛筆年產(chǎn)量，百萬(wàn)支）；xt2（全國(guó)人口數(shù)，百萬(wàn)人）；xt3（居民年均消費(fèi)水平，元）；xt4（政策變量）。因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時(shí)，政策變量取負(fù)值。例如1967、1968年的xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年的xt4值取-1）。由圖4.22知中國(guó)自生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆起，自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。由圖4.23知全國(guó)人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。說(shuō)明人口越多，對(duì)鉛筆的需求就越大。由圖4.24知居民年均消費(fèi)水平與鉛筆銷量存在近似對(duì)數(shù)的關(guān)系。散點(diǎn)圖