《數(shù)學(xué)建?！肪w論 總結(jié)

《數(shù)學(xué)建?！肪w論總結(jié)(1)[數(shù)學(xué)模型]微分方程模型規(guī)劃模型網(wǎng)絡(luò)模型概率統(tǒng)計(jì)模型下一頁數(shù)學(xué)建模緒論初等模型上一頁微分方程模型規(guī)劃模型網(wǎng)絡(luò)模型概率統(tǒng)計(jì)模型數(shù)學(xué)建模緒論初等模型關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

即將到來的21世紀(jì)是一個(gè)充滿競爭地時(shí)代，競爭的關(guān)鍵是人才培養(yǎng)的競爭。因此，我國教育面臨重大的機(jī)遇和嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)高工專的數(shù)學(xué)教學(xué)在強(qiáng)調(diào)理論系統(tǒng)性的同時(shí)存在知識舊，內(nèi)容單調(diào)和理論脫離實(shí)際的缺陷，迫切需要加以改革。飛速發(fā)展的現(xiàn)代科技與生產(chǎn)具有系統(tǒng)思維，實(shí)踐能力和創(chuàng)造精神的高科技人才，掌握信息技術(shù)和善于解決實(shí)際問題是他們必備的素質(zhì)。返回關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

80年代以來在發(fā)達(dá)國家興起并引起巨大凡響的數(shù)學(xué)建模競賽是適應(yīng)世界性高科技發(fā)展及人才需求而出現(xiàn)的新生事物。在國家教育部高教司的領(lǐng)導(dǎo)和支持下，提出在全國普通高校開展數(shù)學(xué)建模競賽，旨在“培養(yǎng)學(xué)生解決時(shí)間問題的能力和創(chuàng)造精神，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)”?，F(xiàn)在，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽正在健康、迅速的向前發(fā)展，受到廣大同學(xué)的熱烈歡迎。關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

在競賽過程中，大學(xué)生的聰明才智和創(chuàng)造精神得到了充分的發(fā)揮，提交了不少出色的答卷，涌現(xiàn)了一批優(yōu)秀的參賽隊(duì)。這一活動有力的促進(jìn)了高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)改革，數(shù)學(xué)建模競賽的興起是有深刻背景的。近幾十年來，數(shù)學(xué)迅速向自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域滲透，在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)及金融管理等各個(gè)方面發(fā)揮著越來越重要的作用。數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，形成了一種普遍的、可以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)----數(shù)學(xué)技術(shù)，并已成為當(dāng)代高新技術(shù)的一個(gè)重要組成部分。而用數(shù)學(xué)解決各類問題和實(shí)施數(shù)學(xué)技術(shù)，數(shù)學(xué)建模均起這關(guān)鍵的作用。因此，為新世紀(jì)培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次人才，就不能不重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模這一必備技能和素質(zhì)，對理工、經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)科，甚至一些人文、社會學(xué)科的大學(xué)生，都應(yīng)該提出這方面的要求，關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！标P(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

而大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動就應(yīng)運(yùn)而生了。數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，形成了一種普遍的、可以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)----數(shù)學(xué)技術(shù)，并已成為當(dāng)代高新技術(shù)的一個(gè)重要組成部分。而用數(shù)學(xué)解決各類問題和實(shí)施數(shù)學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)建模競賽不是紙上談兵，它的題目是從實(shí)際問題中提煉出來的。解決這些問題，往往沒有現(xiàn)成的方法可以套用，他首先要求將實(shí)際的問題數(shù)學(xué)化，及建立數(shù)學(xué)模型。參賽同學(xué)必須像參加一個(gè)實(shí)際的科研項(xiàng)目那樣，不僅要充分發(fā)揮每個(gè)人的主觀能動性和創(chuàng)造力，而且要全隊(duì)密切配合、協(xié)同作戰(zhàn)，才能盡善盡美地作出解答。這在課堂學(xué)習(xí)中往往是難以做到的。正因?yàn)槿绱?，這項(xiàng)活動才具有強(qiáng)大的生命力，并必將不斷發(fā)展，日臻完善。數(shù)學(xué)建模競賽地開展，推動和促進(jìn)了各類數(shù)學(xué)建模課程地開展，并培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的教練員和組織工作者。關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！标P(guān)于“數(shù)學(xué)建模”

一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)課程也開始反樸歸真、恢復(fù)和補(bǔ)充了許多數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容。在競賽的推動下，不少學(xué)校除了開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程之外，還對整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系提出了種種改革方案。目前一些學(xué)校計(jì)劃開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課和籌備建設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的嘗試。應(yīng)該說與數(shù)學(xué)建模競賽地開展有密切的關(guān)系。所有這些都是對數(shù)學(xué)課程體系和教學(xué)內(nèi)容改革的積極實(shí)踐。相信數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)教學(xué)改革將進(jìn)一步相互促進(jìn)，共同發(fā)展，不斷開創(chuàng)新的局面。關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

自97年以來，我們面向全校開出了“數(shù)學(xué)建?！闭n程和培訓(xùn)，近一百多人接受了數(shù)學(xué)建模教學(xué)，五十余人經(jīng)過了一系列專門模塊式的教學(xué)培訓(xùn)及校內(nèi)選拔，三十人參加了國內(nèi)外數(shù)學(xué)建模競賽。已取得了明顯的效果。凡經(jīng)過數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)的學(xué)生均表現(xiàn)出了較強(qiáng)的綜合能力與素質(zhì)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，絕大多數(shù)同學(xué)的成績優(yōu)秀，很快找到了工作，在工作中絕大多數(shù)學(xué)生為用人單位重用。

關(guān)于“數(shù)學(xué)建?！?/p>

MCM獲獎情況是效果的很好檢驗(yàn)。我校是河南這幾年唯一參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的高工專學(xué)校，也是全國唯一參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的高工專學(xué)校。自97來共獲獎十三項(xiàng)獎勵，先后取得了河南賽區(qū)一等獎一個(gè)，二等獎五個(gè)，成功參賽獎三個(gè)；取得美國MCM了二等獎一個(gè)，成功參賽獎一個(gè)。返回學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模”課程的必要性

高工專數(shù)學(xué)教育應(yīng)使未來的工程技術(shù)人才具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，包括數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力。和國內(nèi)許多高工專學(xué)校的數(shù)學(xué)課程主要是由高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率等幾部分組成，課程內(nèi)容存在重經(jīng)典、輕現(xiàn)代，重連續(xù)、輕離散，重分析推導(dǎo)、輕數(shù)值計(jì)算，重運(yùn)算技巧、輕數(shù)學(xué)思想方法的趨向，而且各部分內(nèi)容自稱體系，過分強(qiáng)調(diào)各自的系統(tǒng)性與完整性，缺乏應(yīng)用型和相互聯(lián)系。返回有必要增加數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，補(bǔ)充數(shù)學(xué)其它分支的有關(guān)內(nèi)容，處理好經(jīng)典數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系，是工科數(shù)學(xué)課程的設(shè)置和教材內(nèi)容，能符合時(shí)代的發(fā)展和培養(yǎng)現(xiàn)代化工程技術(shù)人才的要求。在這種體系下，不僅需要大量的教學(xué)時(shí)數(shù)，而且不利于學(xué)生綜合利用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)，聯(lián)系實(shí)際的領(lǐng)域也不夠?qū)掗?。學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！闭n程的必要性數(shù)學(xué)建模的培訓(xùn)和競賽活動告訴我們，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解，是每一個(gè)工科學(xué)生走向工程技術(shù)崗位所必需的能力。而把數(shù)學(xué)建模的收益面推廣到全體工科學(xué)生，僅靠現(xiàn)行的課程體系是不行的。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格的定理和抽象的邏輯思維，特別是重運(yùn)算技巧的訓(xùn)練，對工科學(xué)生則常常只要求套現(xiàn)成的公式及作繁瑣的計(jì)算。學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模”課程的必要性學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！闭n程的必要性

在學(xué)生畢業(yè)以后，不會或者意識不到可以應(yīng)用數(shù)學(xué)工具去解決他們各自領(lǐng)域的問題。現(xiàn)在重要的是讓廣大的工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等專業(yè)的學(xué)生，確實(shí)體會到數(shù)學(xué)是有用的，培養(yǎng)他們在今后的學(xué)習(xí)和工作中，主動地用數(shù)學(xué)工具分析和解專業(yè)中的實(shí)際問題的意識和能力。從根本上說，那些精通本專業(yè)知識，并且能夠積極主動地應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)工具的各個(gè)領(lǐng)域的專家，才是真正的實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)的技術(shù)轉(zhuǎn)化，在經(jīng)濟(jì)競爭中發(fā)揮其極大的潛力。計(jì)算機(jī)，特別是數(shù)學(xué)軟件的迅速發(fā)展對數(shù)學(xué)科學(xué)也產(chǎn)生了巨大的沖擊，從觀念到研究方法都產(chǎn)生了巨大的影響并引起了激烈的爭論，使人們使用數(shù)學(xué)解決問題的方法發(fā)生了顯著變化,人們的工作將主要是分析問題,明確處理方法，規(guī)劃解決問題的途徑,操作指揮計(jì)算機(jī)進(jìn)行工作，改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的“粉筆加黑板”的教學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！闭n程的必要性學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模”課程的必要性學(xué)方式。把計(jì)算機(jī)引入數(shù)學(xué)課程教學(xué)，對于突出應(yīng)用和動手能力的高工專學(xué)校，利用數(shù)學(xué)建模作為突破口，進(jìn)行數(shù)學(xué)課程改革是時(shí)代的發(fā)展的必然趨勢。返回“數(shù)學(xué)建模”課程的教學(xué)模式

幾年來，我們以面向信息時(shí)代，以培養(yǎng)具有綜合素質(zhì)的競爭性人才為目標(biāo)，以數(shù)學(xué)建模教學(xué)為突破口，針對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的弱點(diǎn)，推動高工專數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)改革方面進(jìn)行了深入的探索，總結(jié)出了多軌并

返回行教學(xué)模式，在教學(xué)內(nèi)容、方法、實(shí)施計(jì)劃及教材方面已形成了初步體系。取得了可喜的成果。工程技術(shù)人員所面臨的都是實(shí)際問題的原貌，而非某種簡化或抽象的形式。學(xué)生及工程技術(shù)人員通常所處的困境是不能順利的將以原始形式的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為他們所熟悉的數(shù)學(xué)形式或數(shù)學(xué)模型。這正是暴露了高工專數(shù)學(xué)的一個(gè)嚴(yán)重的薄弱環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)模型是實(shí)際課題、數(shù)學(xué)知識與計(jì)算機(jī)之間“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式“數(shù)學(xué)建模”課程的教學(xué)模式

的橋梁或接口。我們在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中逐步摸索出了一套“多軌并行”的教學(xué)模式，從多軌上，我們將數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與計(jì)算機(jī)教學(xué)通過案例分析有機(jī)的結(jié)合起來組織教學(xué)，而各種案例多數(shù)是數(shù)學(xué)與其他專業(yè)知識的交叉，具有很強(qiáng)的實(shí)際背景。從流程上，我們將教學(xué)劃分為四個(gè)階段：即數(shù)學(xué)模型+計(jì)算機(jī)+研討練習(xí)+校內(nèi)、外競賽。其特點(diǎn)如下：“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)建模教學(xué)是數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用能力共同提高的最佳結(jié)合點(diǎn)。它有助于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中知識與能力脫節(jié)的弊端。數(shù)學(xué)建模課程具有系統(tǒng)性強(qiáng)、練習(xí)實(shí)際的寬闊、實(shí)際案例的分析占有較大比重的特點(diǎn)。培養(yǎng)的學(xué)生來自多個(gè)專業(yè)。在組織教學(xué)中，我們注意誘導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識、興趣和能力。這對提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與計(jì)算機(jī)解決問題的能力起到了積極作用。。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中及時(shí)引入新的數(shù)學(xué)方法和工具。如定性與定量相結(jié)合的層次分析法、統(tǒng)計(jì)法，還有能夠處理非結(jié)構(gòu)化問題的模糊數(shù)學(xué)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法及數(shù)學(xué)軟件包等。同時(shí)，我們還注意培養(yǎng)學(xué)生自我開拓的能力，使學(xué)生有效的接受不斷涌現(xiàn)的新概念、新思想和新方法。在教學(xué)中開展的研討班是有意識的發(fā)揮學(xué)生的“參與”意識，在研討班上，教師與學(xué)生地位平等，共同討論，對學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式

的口頭表達(dá)，快速反應(yīng)勇于發(fā)表自己的見解將是一個(gè)很好的鍛煉。由于不同知識結(jié)構(gòu)的學(xué)生聚在一起相互討論，彼此的知識可互相補(bǔ)充，往往會產(chǎn)生許多新穎的思想火花與不同見解，經(jīng)過爭論而達(dá)到共識。使學(xué)生的學(xué)習(xí)變“被動”為“主動”，主動參與“教”與“學(xué)”，這極大的調(diào)動了學(xué)生自覺學(xué)習(xí)各種知識的積極性。對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要的影響。

“數(shù)學(xué)建模”課程的教學(xué)模式

組織“綜合訓(xùn)練”的教學(xué)，實(shí)際上是向?qū)W生實(shí)施一項(xiàng)科研工作的模擬訓(xùn)練，它也是學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)的重要補(bǔ)充。如教師準(zhǔn)備實(shí)際課件，學(xué)生要經(jīng)過查閱資料、分析并合理假設(shè)、多方案選擇建立模型、數(shù)值計(jì)算（使用軟件包及編制程序）、檢驗(yàn)并推廣、撰寫論文、排版打印等研究過程，從而使學(xué)生應(yīng)具有的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識能力、用計(jì)算機(jī)處理計(jì)算的能力、系統(tǒng)思維能力與實(shí)踐能力在“實(shí)戰(zhàn)”“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式

中得以鍛煉和提高。認(rèn)真貫徹教育部提出的“重在參與，重在普及”的精神，我們組織校內(nèi)競賽選拔的目的是更多的學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)、參與競爭，親身體驗(yàn)“一次參賽，終生收益”的效果，讓學(xué)生普遍得到綜合素質(zhì)的提高，組織校外（國內(nèi)、國外）競賽，有利于培養(yǎng)學(xué)生快速反應(yīng)能力、創(chuàng)造性思維及競爭意識。參賽本身是參與全國乃至國際的人才競爭，其目的也在于達(dá)成與國內(nèi)外“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式

相互交流，且與國際上的人才培養(yǎng)模式基本接軌。面對科學(xué)研究和工程實(shí)踐的實(shí)際能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)問題，存在長期的爭論和不同的主張。通過開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與競賽，我們總結(jié)了“三大能力，兩個(gè)精神”，的經(jīng)驗(yàn)。既培養(yǎng)學(xué)生從科研問題原形提升為數(shù)學(xué)模型的能力；快速反應(yīng)能力及知識自我開拓與更新的能力。培養(yǎng)學(xué)生競爭意識與協(xié)作精神。重在學(xué)生實(shí)踐能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，為長期爭論不休的知識和能力的問題找到了一個(gè)解決途徑。“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)模式返回教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)

我國高工專數(shù)學(xué)至今基本上沿用前蘇聯(lián)50年代的數(shù)學(xué)內(nèi)容與體系。隨著高科技及計(jì)算機(jī)應(yīng)用迅速發(fā)展越來越來顯露出它們不適應(yīng)現(xiàn)代科技發(fā)展需要的弱點(diǎn)。通過高工專數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐及展數(shù)學(xué)建模的集訓(xùn)與競賽，我們深深感到必須對傳統(tǒng)內(nèi)容進(jìn)行重新審視、加以揚(yáng)棄、保留主要的基本內(nèi)容、基本方法。，樹立理論聯(lián)返回悉實(shí)際的思想和具有初步的分析，解決實(shí)際問題的能力。選用《數(shù)學(xué)建?！罚汉＝帲┳跃幗滩模_設(shè)了數(shù)學(xué)建模選修課程，正式把數(shù)學(xué)建模納入到課程常規(guī)教學(xué)中。使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與應(yīng)用有整體的了解，從教學(xué)內(nèi)容上擴(kuò)大了學(xué)生的知識范圍與應(yīng)用能力。目的是讓學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)階段就接觸一些實(shí)際問題。改革教學(xué)手段，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用。我們在數(shù)學(xué)建模教學(xué)及培訓(xùn)過教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)

程中，注意培養(yǎng)學(xué)生熟練使用軟件包和進(jìn)行數(shù)據(jù)處理及計(jì)算的編程能力。將一些數(shù)學(xué)軟件包（如“Mathematica”、“Matlab”、“Mathcad”等）作為常備軟件，結(jié)合各自選修課內(nèi)容傳授給學(xué)生。這極大的增強(qiáng)了學(xué)生面向信息時(shí)代應(yīng)具有的現(xiàn)代科技的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。與此同時(shí)，我們還將計(jì)算機(jī)包納入技術(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，即將傳統(tǒng)教學(xué)中花費(fèi)大量精力的人工積分、微分、微分方程初等教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)

解法、級數(shù)判定與求和等運(yùn)算用數(shù)學(xué)軟件包來完成。改革“教師講、學(xué)生聽（記筆記）、做習(xí)題，改習(xí)題，考試”的方式，在教學(xué)中適當(dāng)插入討論課，教學(xué)效果會更好。首先，要使學(xué)生充分了解這門課程的意義及學(xué)習(xí)方法，教師主要扮演一個(gè)質(zhì)疑的角色（當(dāng)然答疑、講解仍然是需要的）。這樣做首先是學(xué)生要獨(dú)立學(xué)習(xí)一些材料，可增強(qiáng)獨(dú)立學(xué)習(xí)能力，其次，通過自學(xué)和報(bào)告，學(xué)生能很具體地了解這項(xiàng)題目的具體要求是什么，特別是作為最后成果──論文──應(yīng)怎么寫。以學(xué)生為主展開討論，學(xué)生大多通過自學(xué)，對題目中將會涉及到的數(shù)學(xué)、非數(shù)學(xué)知識有一個(gè)大概的了解，為了在討論課上報(bào)告，也要求學(xué)生自己獨(dú)立查閱有關(guān)文獻(xiàn)，也培養(yǎng)了能力。教師在討論課上要竭力提倡學(xué)生討論、爭辯、勇于提出自己想法的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)

風(fēng)氣，這實(shí)質(zhì)上是培養(yǎng)學(xué)生互相交流、互相學(xué)習(xí)、互相妥協(xié)的能力，這些能力的培養(yǎng)對今后的工作是極為重要的。至于考試，可以由教師自己出題，也可以利用以前的題目，但一定要嚴(yán)格按實(shí)戰(zhàn)要求來做，主要是使學(xué)生有一個(gè)“磨槍”的機(jī)會，看看在三天中能否完成任務(wù)，更重要的是給學(xué)生一個(gè)考驗(yàn)自己臨場應(yīng)變能力“想象”。（要獨(dú)立查找文獻(xiàn)、編制程序、論文寫作等等）、組織能力（如何分工合作，適當(dāng)時(shí)候如何互相妥協(xié)、互相支持、鼓勵）的機(jī)會，從而對將來可能從事的實(shí)際工作以及對自己的能力要求有一個(gè)比較切合實(shí)際的“想象”。教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段及教學(xué)環(huán)節(jié)返回“數(shù)學(xué)建?！闭n程對學(xué)生能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模類似于專業(yè)課程的畢業(yè)設(shè)計(jì)，對學(xué)生來說，是一種綜合練習(xí)，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境。不要求學(xué)生預(yù)先掌握深入的專門知識，只需要學(xué)過普通的高等數(shù)學(xué)課程，更主要的是要靠學(xué)生自己動腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同其他同學(xué)討論研究，齊心協(xié)力完成題目。因此，它對學(xué)生的能力培養(yǎng)是多方面的。應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)進(jìn)行分析、推返回“數(shù)學(xué)建?！闭n程對學(xué)生能力的培養(yǎng)

理、證明和計(jì)算的能力，并能學(xué)習(xí)一點(diǎn)新的數(shù)學(xué)知識（若需要的話），并能理解合理的抽象和簡化，特別是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的重要性?！半p向翻譯”的能力，即把經(jīng)過一定抽象、簡化的實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來形成數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)建模的過程），對應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到的結(jié)果，能用“常人”能懂的“翻譯”語言表達(dá)出來。應(yīng)用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的各種數(shù)學(xué)軟件包的能力。應(yīng)變能力（即獨(dú)立查閱文獻(xiàn)資料、消化和應(yīng)用）的提高。在學(xué)習(xí)和競賽中將會涉及到數(shù)學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、人文等各個(gè)方面的知識，這就需要同學(xué)自己去查閱相關(guān)的資料、文獻(xiàn)，甚至要親自到現(xiàn)場調(diào)研或向有關(guān)專家請教。組織、協(xié)調(diào)、管理特別是及時(shí)妥協(xié)的能力培養(yǎng)。在建模過程中的討論、爭辯，勇于提出自己的想法，這實(shí)質(zhì)上是培養(yǎng)學(xué)生相互交流、“數(shù)學(xué)建?！闭n程對學(xué)生能力的培養(yǎng)“數(shù)學(xué)建模”課程對學(xué)生能力的培養(yǎng)

互相學(xué)習(xí)、互相妥協(xié)的能力，寫作能力、創(chuàng)造力、想象力的鍛煉。發(fā)展聯(lián)想能力。因?yàn)閷τ诓簧偻耆煌膶?shí)際問題，在一定的簡化層次下，他們的數(shù)學(xué)模型是相同的或相似的，這正是數(shù)學(xué)的廣泛性的表現(xiàn)。這就要培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)工作，通過熟能生巧而達(dá)到觸類旁通的境界。逐漸發(fā)展形成一種洞察能力（或叫洞察力）。通俗的講就是一“數(shù)學(xué)建?！闭n程對學(xué)生能力的培養(yǎng)

眼就能抓住（或部分抓?。┮c(diǎn)的能力。在實(shí)際工作中需要具有較強(qiáng)洞察力的人來解決問題。參加數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和競賽，是一項(xiàng)非常艱苦的過程，每一個(gè)題目都面臨新的困難和挑戰(zhàn)，只有意志堅(jiān)強(qiáng)的人才能堅(jiān)持到最后的勝利。返回“數(shù)學(xué)建?！备攀鰪默F(xiàn)實(shí)對象到數(shù)學(xué)模型建模示例一：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？建模示例二：商人們怎樣安全過河建模示例三：如何預(yù)報(bào)人口的增長建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和建模能力的培養(yǎng)數(shù)學(xué)模型的分類返回“數(shù)學(xué)建?！闭n程的內(nèi)容簡介初等模型微分方程模型網(wǎng)絡(luò)模型規(guī)劃模型概率統(tǒng)計(jì)模型返回“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)安排授課內(nèi)容、方式和時(shí)間討論課的模式及評價(jià)考試的內(nèi)容、方式和成績學(xué)生討論的分組討論題目的安排返回“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)安排“數(shù)學(xué)建模”的內(nèi)在規(guī)律使得它的教學(xué)模式不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，在教學(xué)中，教師主要講解各種建模的思路和方法，布置一些建模題目，使學(xué)生通過獨(dú)立的分析、查閱資料、自學(xué)相關(guān)內(nèi)容、解答和驗(yàn)證，形成的建模論文，并在討論課中作出報(bào)告。在討論課中，教師組織學(xué)生講解自己的建模論文和進(jìn)行討論，提倡學(xué)生討論、爭辯、勇“數(shù)學(xué)建模”課程的教學(xué)安排于提出自己想法，主要扮演一個(gè)質(zhì)疑的角色（當(dāng)然答疑、教師還可以根據(jù)學(xué)生的意愿，按3至4人一組，3至4組選擇一個(gè)建模題目，安排每組的每個(gè)學(xué)生在討論課報(bào)告自己的建模論文并解答提問，另外兩組負(fù)責(zé)對報(bào)告提問。類似于畢業(yè)論文答辯。教師根據(jù)每組能否完成建模論文，更重要的是看學(xué)生臨場應(yīng)變能力（要獨(dú)立查找文獻(xiàn)、編制程序、論文寫作等等）、組織能力（如何分工合作，適當(dāng)時(shí)候如何互相妥協(xié)、互相支持、鼓勵），從而給每個(gè)人的平時(shí)成績。“數(shù)學(xué)建?！闭n程的教學(xué)安排初等模型上一頁下一頁回首頁市場平衡問題鋪瓷磚問題夫妻過河問題動物形體問題戰(zhàn)略核武器殺傷力模型雨中行走問題戰(zhàn)略核武器殺傷力模型返回美國和前蘇聯(lián)從60年代起就展開了激烈的核武器競爭，在60年代初期，蘇聯(lián)主張武器往大型化方向發(fā)展，其理由是武器的威力越大，殺傷力越強(qiáng)，但美國有人提出應(yīng)走提高武器精度的道路。他們認(rèn)為，雖然武器的威力越大，殺傷力越強(qiáng)，但武器的殺傷力不只取決于威力，還與精度有關(guān)，如果武器的威力大而精度低，其殺傷力未必就大。反之，雖然威力小些但但精確度高，殺傷力也可能大。因此，對于武器發(fā)展方向的爭論異常而且與精確度C有關(guān)，經(jīng)過大量得模擬試驗(yàn)，將有關(guān)數(shù)據(jù)經(jīng)過處理和分析，利用蒙特卡洛法擬合K、y與c得函數(shù)關(guān)系為：從模型可以推出提高精度合理。因而美國走提高武器精度得道路。當(dāng)時(shí)美國得核武器雖然比前蘇聯(lián)小一些，而且數(shù)量也少一些，但美國的核武器精度高而不懼怕前蘇聯(lián)。激烈，對于這個(gè)爭論可以通過構(gòu)造戰(zhàn)略核武器殺傷力的模型得出結(jié)論殺傷力K不僅與威力y有關(guān)，戰(zhàn)略核武器殺傷力模型雨中行走問題問題提出：人們外出行走途中遇雨，未帶雨傘勢必淋雨，自然就會想到，走多快才會少淋雨呢？問題的分析：嚴(yán)格來說此問題比較復(fù)雜，這里只討論簡單情形，只考慮人在雨中沿一條直線從一處向另一處行進(jìn)時(shí)，雨的速度已知，人的速度多大才能使淋雨量最少。建立函數(shù)關(guān)系問題的解答返回

表示行走的距離，則行走的時(shí)間為，由于為了使問題解決時(shí)簡單，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，用表示人得的速度，表示雨速，人體的外表比較復(fù)雜，我們設(shè)人體為長方體，其前、側(cè)、頂?shù)拿娣e之比為1：L：T.則單位時(shí)間淋雨量為

總淋雨量為其中因此，雨中行走問題可抽象為如下數(shù)學(xué)問題：已知，求u為何值時(shí)R(u)最小？雨中行走問題夫妻過河問題返回問題：有三對夫妻要過河，船最多能載二人，由于封建意識嚴(yán)重，要求任一女子不能在丈夫不在場的情況下與另外的男子在一起。如何安排三對夫妻過河。把問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題

用向量表示有H個(gè)男子，W個(gè)女子在南岸其中一共有10個(gè)可取狀態(tài)，它們是(0,0)、（0,1)(0,2)、(0,3)、(3,0)、(3,1)、(3,2)、(3,3)(1,1)、(2,2)運(yùn)算向量為其中m、n=0、1、2且求由狀態(tài)（3，3）經(jīng)奇數(shù)次可取運(yùn)算轉(zhuǎn)移到（0，0）的轉(zhuǎn)移過程。步驟如下：下面一步是將（3,2),(3,1),(2,2)分別雨運(yùn)算向量進(jìn)行運(yùn)算。如此下去經(jīng)過11次可取運(yùn)算后即可完成。夫妻過河問題市場平衡問題（市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型）返回在自由貿(mào)易的集市上你注意過這樣的現(xiàn)象嗎：一個(gè)時(shí)期由于豬肉的上市量遠(yuǎn)大于需求，銷售不暢導(dǎo)致價(jià)格下降，農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它農(nóng)副業(yè)。過一段時(shí)間后豬肉上市量大減，供不應(yīng)求導(dǎo)致價(jià)格上漲。原來的飼養(yǎng)戶看到有利可圖又重操舊業(yè)，這樣下一個(gè)時(shí)期會重現(xiàn)供大于求、價(jià)格下降的局面。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去。蛛網(wǎng)模型在完全自由競爭的市場經(jīng)濟(jì)中上述現(xiàn)象通常是不可避免的。因?yàn)樯唐返膬r(jià)格是由消費(fèi)者的求關(guān)系決定的，商品數(shù)量越多價(jià)格越低。而下一時(shí)期商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系決定，商品價(jià)格越低生產(chǎn)的數(shù)量就越少。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟(jì)中商品的價(jià)格和數(shù)量必然是振蕩的。在現(xiàn)實(shí)世界里這樣的振蕩會出現(xiàn)不同形式，有的振幅漸小趨向平衡，返回蛛網(wǎng)模型返回蛛網(wǎng)模型返回fgfg圖一圖二返回蛛網(wǎng)模型返回蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型返回圖中折線形似蛛網(wǎng)，于是這種用需求曲線和供應(yīng)曲線分析市場經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的圖示法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱蛛網(wǎng)模型。實(shí)際上，需求曲線f和供應(yīng)曲線g的具體形式通常示根據(jù)各個(gè)時(shí)段商品的數(shù)量和價(jià)格的一系列統(tǒng)計(jì)資料得到的。一般地說，f取決于消費(fèi)者對這種商品地需要程度和他們的消費(fèi)水平，g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力、經(jīng)營水平等因素有關(guān)。一旦需求曲線和供應(yīng)曲線被確定下來，如何判斷它們的交點(diǎn)—的穩(wěn)定性呢？從圖中不難看出，當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)偏離點(diǎn)不大（即較?。r(shí)，點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于f和g在點(diǎn)的斜率。記f在點(diǎn)的斜率的絕對值（因?yàn)樗窍陆档模?，g在的斜率為，則當(dāng)<時(shí)點(diǎn)是穩(wěn)定的，而當(dāng)>點(diǎn)是穩(wěn)定的時(shí)。由此可見，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型返回返回水平低下，則較小。的數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營者者消費(fèi)對商品價(jià)格的敏感程度，如果他們目光短淺，蛛網(wǎng)模型熱衷于追逐一時(shí)的高利潤，價(jià)格稍有上漲立即大量增加生產(chǎn)，那么會比較大；反之，若他們素質(zhì)較高，有長遠(yuǎn)的計(jì)劃，則較小。

蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型返回蛛網(wǎng)模型返回是令，即供應(yīng)曲線豎直，于是不論需求曲線如何（不論多大），也總是穩(wěn)定的。這相當(dāng)于控制市場上的商品數(shù)量，當(dāng)供應(yīng)量少于需求時(shí)，政府從外地收購或調(diào)撥，投入市場；當(dāng)供過于求時(shí)，政府收購過剩部分，維持商品上市量不變。鋪瓷磚問題返回問題：要擁40快方形瓷磚鋪設(shè)如圖所示的地面，但當(dāng)時(shí)商店只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果始終無法完整鋪好。問題在于用20塊長方形瓷磚正好鋪成如圖所示的地面的可能性是否存在？為此，在圖上白、黑相間地染色。然后仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)共有19個(gè)白格和21個(gè)黑格。一塊長方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上19塊長方形瓷磚后（無論用什么方式），總要剩下2個(gè)黑格，唯一的辦法是把最后一塊長方形瓷磚一斷為二。鋪瓷磚問題解決此問題用奇偶校驗(yàn)法：如果兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)或偶數(shù)，則稱具有相同的奇偶性。如果一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，另一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱具有相反的奇偶性。在鋪瓷磚問題中，同色的兩個(gè)格子具有相同的奇偶性，異色兩個(gè)格子具有相反的奇偶性。長方形瓷磚顯然只能覆蓋具有相反奇偶性的一對方格。因此，把19塊長方形瓷磚在地面上鋪好后，只有在剩下的兩個(gè)方格具有相反的奇偶性時(shí)，才有可能把最后一塊長方形瓷磚鋪上。由于剩下的兩個(gè)方格具有相同的奇偶性。因此無法鋪好。鋪瓷磚問題動物形體問題問題的提出：研究四足行走動物軀干的長度（不包括頭和尾）與它的體重的關(guān)系，粗略地估計(jì)動物的體重，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。模型分析：把動物軀干與彈性粱聯(lián)系起來模型建立：彈性理論模型求解模型檢驗(yàn)返回設(shè)動物軀干的幾何尺寸如圖所示。設(shè)表示長度，d表示直徑，A表示橫截面面積，F(xiàn)表示體重，表示動物軀干在自身體重作用下的最大饒曲。假設(shè)動物軀干為一彈性梁，支撐在四肢上，由彈性理論知最大饒曲滿足因?yàn)樗员硎緞游镘|干的相對下垂度。即（1）如果太大，四肢將無法支撐軀干，動物的身軀將會殘廢變形，如果太小，四肢支撐身軀超過了需要，無疑是一種浪費(fèi)。由于長期進(jìn)化的結(jié)果，應(yīng)為一常數(shù)（該常數(shù)因動物種類而異）由（1）式得即較大的動物有較大的身軀又從，將代入得說明動物的體重與軀干長度的四次方成正比。d微分方程模型上一頁下一頁回首頁掠俘問題車輛貫行模型生態(tài)學(xué)模型理查森軍備競賽理論微分方程穩(wěn)定性知識簡介蘭切斯特作戰(zhàn)模型傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型放射性廢物的處理問題傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型

生物醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型分為兩大類：傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型和疾病數(shù)學(xué)模型。人們將傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，發(fā)現(xiàn)在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。這一現(xiàn)象如何解釋呢？傳染病傳播時(shí)涉及的因素很多，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排返回除率的大小，人口的出生和死亡，還要考慮人員的遷出和遷入，潛伏期的長短以及預(yù)防疾病的宣傳等因素，那么傳染病的傳播變的相當(dāng)復(fù)雜。S類：稱為易感類。該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫力，可以被傳染上疾病。I類；稱為傳染類。I類成員已經(jīng)染上了傳染病，而且可以傳播給S類成員。傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型R類：稱為排除類或恢復(fù)類，R類成員或者具有免疫力或者從S類中被隔離等。

S（susceptible),I(infective),R(removed)

模型二：SI模型。模型三：SIR模型。易感類S傳染類I恢復(fù)類RrSII傳染恢復(fù)傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型放射性廢物的處理問題返回以前，美國原子能委員會為了處理濃縮的放射性廢物，他們把廢物裝人密封的圓桶，然后扔到水深為91.5m的海里。一些生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家為此表示擔(dān)心，圓桶是否會在運(yùn)輸過程中破裂而造成放射性污染？幾個(gè)工程師進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)以后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓桶的速度超過12.2m/s,就會因碰撞而破裂。選取坐標(biāo)系，W：圓桶重量（使圓桶朝下）W=239.46kg,W=mg,m表質(zhì)量，g=9.8m/B：水作用在圓桶上的浮力，推圓桶向上。原子能委員會使用的是250.25L的圓桶，體積為0.208，1海水重量為1026.52kg所以B=1026.520.208kg=213.5kg放射性廢物的處理問題D:水作用在圓桶上的阻力，它阻礙圓桶在水中的運(yùn)動，與物體運(yùn)動方向相反，通常與速度成正比。

D=cv,c>0為常數(shù)c=0.119。通過大量實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論：圓桶方位對于阻力影響甚小可以忽略不計(jì)。

放射性廢物的處理問題

F=W-B-cv由牛頓第二定律：F=ma而(1)(2)放射性廢物的處理問題其解為由上式知，圓桶的速度為時(shí)間t的函數(shù)，要確定圓桶同海底的碰撞速度，就必須算出圓桶碰到海底所需的時(shí)間t。遺憾的是，不可能作為y的顯函數(shù)求出t，所以不能用上式求圓桶同海底的碰撞速度。放射性廢物的處理問題但:為圓桶的極限速度顯然有如果極限速度小于12.2m/s,那么圓桶就不可能因同海底碰撞而破裂。而放射性廢物的處理問題這個(gè)數(shù)值太大了，還不能斷定究竟能否超過12.2m/s?下面轉(zhuǎn)而把速度v作為位置的函數(shù)v(y)來考慮.我們有v(t)=v[y(t)]，由復(fù)合函數(shù)微分法:(1)式

放射性廢物的處理問題初始條件為v(0)=0即(4)即放射性廢物的處理問題而：不能從上式中解出v是y的顯函數(shù)來，因此要利用v(y)來計(jì)算v(91.5)>12.2m/s是不可能的了。解法：1.微分方程數(shù)值解法（歐拉公式法，改進(jìn)的歐拉公式，龍格——庫塔法）得v(91.5)=13.75m/s放射性廢物的處理問題解法2：令c=0（即不考慮水的阻力），并用u代替v,以示區(qū)別，得即得u(91.5)13.94m/s放射性廢物的處理問題(2)當(dāng)y增加時(shí)，速度v增加，所以對于y91.5，

有v(y)v(91.5)。由此可以得出水作用在圓桶上的阻力

D總是小于0.119u(91.5)1.66kg(1)當(dāng)不存在與運(yùn)動方向相反的阻力時(shí)，圓桶的速度總會大一些，v(91.5)<u(91.5).放射性廢物的處理問題然而使圓桶向下的合力（W-B）近似為25.9kg,比D大得多，因而忽略D無關(guān)大局。所以可以認(rèn)為u(y)是v(y)的一個(gè)很好近似。因而得出：圓桶能夠因與海底碰撞而破裂。工程師們的說法是對的。返回放射性廢物的處理問題理查森軍備競賽理論問題的提出模型建立模型求解模型檢驗(yàn)返回蘭切斯特作戰(zhàn)模型正規(guī)戰(zhàn)模型混合戰(zhàn)模型游擊戰(zhàn)模型硫磺島戰(zhàn)役返回掠俘問題問題的提出：為什么第一次世界大戰(zhàn)期間地中海捕獲的鯊魚的百分比急劇增加？模型建立：利用馬爾薩斯生物總數(shù)增長定律。模型的推廣返回車輛貫行模型加州準(zhǔn)則車流率-車流密度關(guān)系圖一個(gè)典型問題的解有時(shí)遲的車輛貫行模型非線性車輛貫行模型返回生態(tài)學(xué)模型單種群模型兩種群相互作用的模型三個(gè)或多個(gè)種群的生態(tài)系統(tǒng)模型返回微分方程穩(wěn)定性有關(guān)知識簡介右端不含，稱為自治系統(tǒng)。若使，則稱為方程組的平衡點(diǎn)。

上一頁下一頁返回設(shè)為(1)的平衡點(diǎn)，若對U，存在的一個(gè)屬于U的鄰域(1)的軌線對一切，都有，就稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，否則就稱為不穩(wěn)定的。。如果穩(wěn)定，并且有就稱平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。的任意鄰域，使每一條微分方程穩(wěn)定性有關(guān)知識簡介為簡單起見，不妨設(shè)則可作代換代入方程組得方程組的平衡點(diǎn)即為，與的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性相同。。若，不同時(shí)為0，微分方程穩(wěn)定性有關(guān)知識簡介返回網(wǎng)絡(luò)模型上一頁下一頁最小生成樹及其算法歐拉回路與中國郵遞員問題圖論的基本概念最短路及Dikstra算法回首頁網(wǎng)絡(luò)流及其應(yīng)用

哥尼斯堡是一座城市,位于Pregel上,河中有兩個(gè)島嶼A與D,B與C是陸地.島與島及島與陸地之CBAD一、圖論的基本概念返回間架設(shè)了七座橋梁.每逢節(jié)假日,當(dāng)?shù)厝讼矚g游玩，于是有人提出一個(gè)問題:“能否從某地出發(fā)，走遍七橋，只走一次，最后回到原來的地方？”當(dāng)時(shí)，很多人對這個(gè)有趣的問題做了大量的試驗(yàn)均未成功。這就成了著名的哥尼斯堡問題。瑞士數(shù)學(xué)家Euler也致力于這一問題的研究，并于1736年發(fā)表了圖論的第一篇論文“哥尼斯堡的七座橋”。圖論的基本概念在文中歐拉創(chuàng)造性地將每一塊陸地用一個(gè)點(diǎn)代替，而將每一座橋用連接相應(yīng)兩點(diǎn)的一條線來代替，從而得到了一個(gè)“圖”這樣，此問題就變?yōu)椤皬膱D的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過每條線只一次最后回到原來的地方”。由于每一次通過點(diǎn)的邊總是兩條，即進(jìn)入和離開該點(diǎn)，如果七橋問題有解，則圖中與每個(gè)點(diǎn)相連的邊應(yīng)該為偶數(shù)條，而圖中與各點(diǎn)相連的邊都是奇數(shù)條，因而七橋問題無解。圖論的基本概念名詞解釋：1.圖G（V，E）：由點(diǎn)的集合V和點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線的集合E所組成的集合。V中的元素稱為節(jié)點(diǎn)，E中的元素稱為邊。節(jié)點(diǎn)集V與邊集合E均為有限的圖稱為有限圖。2.自圈：連接同一節(jié)點(diǎn)的邊。圖論的基本概念3.有向圖：圖中的邊是有方向的。在有向圖中，順向的首尾相接的一串邊的集合稱為有向路。在無向圖中首尾相接的一串邊的集合稱為路。路或有向路的表示法：用順次的節(jié)點(diǎn)或邊來表示。4.回路（圈）：起點(diǎn)與終點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)的路。5.連通圖：如果一個(gè)圖中，任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在一條路與之相連。

圖論的基本概念圖論的基本概念5.若一個(gè)連通圖中不存在任何回路，則稱為樹。

樹的性質(zhì)：(1)樹中任意兩節(jié)點(diǎn)之間至多只有一條邊。(2)數(shù)中邊數(shù)比節(jié)點(diǎn)數(shù)少1.(3)樹中任意去掉一條邊，就變?yōu)椴贿B通圖。(4)樹中任意添一條邊，就會構(gòu)成一個(gè)回路畫圖6.任意一個(gè)連通圖或者是樹，或者去掉一些邊后形成一棵樹，這棵樹稱為該連通圖的生成樹。一般地，一個(gè)連通圖的生成樹可能不止一個(gè)。9.如果圖中任一邊，都賦一個(gè)數(shù)稱這個(gè)數(shù)為該邊的權(quán)數(shù)。賦以權(quán)數(shù)的圖稱為賦權(quán)圖。有向圖上各邊賦以權(quán)數(shù)后，稱為有向賦權(quán)圖。根據(jù)不同的實(shí)際情況，權(quán)數(shù)的含義可以各不相同。，圖論的基本概念例1.某倉庫要存放n種化學(xué)藥品，其中有些藥品彼此不能放在一起，因?yàn)橄嗷ブg可能引起化學(xué)藥物反應(yīng)導(dǎo)致危險(xiǎn)，所以必須把倉庫分成若干區(qū)，各區(qū)之間相互隔離。問至少應(yīng)把倉庫分成多少隔離區(qū)，才能確保安全？考慮幾僅有七種藥品的情況。用分別表示七種藥品，已知不能存放在一起的藥品有：圖論的基本概念(Ⅰ)(Ⅱ)(1)(1)(Ⅱ)(Ⅱ)(Ⅲ)圖論的基本概念最短路及Dikstra算法例：8個(gè)城市之間有一個(gè)公路網(wǎng)，每條公路為圖中的邊，邊上的權(quán)數(shù)表示通過該公路所需的時(shí)間。設(shè)你處在城市，那么從到其它各城市，應(yīng)選擇什么路徑使所需的時(shí)間最少？返回(3)(1)(2)(6)(9)(0)(4)(6)23662713251344847最短路及Dikstra算法Dijkstra算法：設(shè)設(shè)S為節(jié)點(diǎn)集V的一個(gè)節(jié)點(diǎn)子集，為從為S的節(jié)點(diǎn)余集。到則必有，使為從到的最短路。設(shè)為從的最短路到若的最短路，到令：為從到的最短路的權(quán)數(shù)，A為V中任意為的最短路的權(quán)數(shù)，則子集，則Dikstra算法一個(gè)連通的賦權(quán)圖G，可能有很多生成樹。設(shè)T為圖G的一個(gè)生成樹，若T中各邊的權(quán)數(shù)相加，則這個(gè)和數(shù)稱為生成樹T的權(quán)數(shù)。G的所有生成樹中，權(quán)數(shù)最小的生成樹為G的最小生成樹。例：把n個(gè)城市用高壓電纜連接起來建立一個(gè)電網(wǎng)使所用的電纜長度之和最短，即費(fèi)用最小就是一個(gè)求最小生成樹的問題。最小生成樹及其算法返回1.Kruskal算法（避圈法）(1)先把G中所有邊按權(quán)數(shù)大小由小至大重新排列，并取最小的一邊為T中的邊。(2)然后每下一步從G中所留下的邊中選出與前次選出的諸邊不構(gòu)成回路的另一條最短的邊。這樣繼續(xù)下去至n-1條邊選出為止。Kruskal算法（避圈法）23334邊名權(quán)選出1221236627132513448477歐拉回路1.歐拉回路：設(shè)G（V，E）為一個(gè)圖，若存在一個(gè)回路，使它經(jīng)過圖中每條邊且只經(jīng)過一次又回到起始節(jié)點(diǎn)，就稱這種回路為歐拉回路。2.在一個(gè)圖中，連接一個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)稱為該節(jié)點(diǎn)的度數(shù)。歐拉回路與中國郵遞員問題返回3.定理：對G（V，E），下列條件是等價(jià)的：(1)G是一個(gè)歐拉圖。(2)G的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)都是偶數(shù)。(3)G的邊集E可以分解為若干個(gè)回路的并。4.定理：連通的有向圖存在歐拉回路的充要條件是對任意節(jié)點(diǎn)，進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)邊數(shù)與離開該節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)相等。

郵遞員所管轄的投遞區(qū)每天要送信，每次每條街巷至少要經(jīng)過一次，其中有些街道要經(jīng)一次以上。采取怎樣的路徑，從每點(diǎn)出發(fā)，每條街巷至少經(jīng)過一次，而總行程最短呢？

中國郵遞員問題返回我國數(shù)學(xué)家管梅谷教授1962年寫了一篇論文解決了這個(gè)問題，國外圖論著作中稱為中國郵遞員問題。用圖論的術(shù)語，即在一個(gè)連通的G（V，E）中，要尋找一條回路，使包含G中每條邊至少一次，且該回路的權(quán)數(shù)最小。本節(jié)的主要目標(biāo)是解決存在奇度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連通圖中尋找最小權(quán)數(shù)的回路的方法。

圖G上形成一個(gè)

疊加在原即把附加邊子集，令若圖G有奇度數(shù)的節(jié)點(diǎn)，必為偶數(shù)個(gè)。我們可以把奇節(jié)點(diǎn)劃分為若干對。每對節(jié)點(diǎn)之間G中有相應(yīng)的最短路，將這些最短路畫在一起構(gòu)成一個(gè)附加的邊子集，這時(shí)中連接兩節(jié)點(diǎn)之間的邊多重圖不止一條。顯然是一個(gè)歐拉圖，因而可以求出的歐拉回路。該歐拉回路不僅通過G中的每條邊，同時(shí)還要通過中的每條邊，且均僅一次。郵遞員問題的難點(diǎn)在于G的奇節(jié)點(diǎn)較多時(shí)，可能有很多配對方法。應(yīng)怎樣選擇配對，能使相應(yīng)的附加邊子集的權(quán)數(shù)最?。慷ɡ恚篏（V，E）為一個(gè)連通的賦權(quán)圖，則使附加邊子集的權(quán)數(shù)為最小的充要條件是中任意邊至多重復(fù)一次，且

中的任意回路中重復(fù)邊的權(quán)數(shù)之和不大于該回路總權(quán)數(shù)的一半。Fleury算法：,(1)任取起始節(jié)點(diǎn)(2)設(shè)路已選出，則從中選邊使與相連，除非沒有其它選擇，不應(yīng)為中的斷邊，即仍應(yīng)連通。3233332231134432例：已知郵遞員問題要投遞的街道如圖所示，試求最優(yōu)郵路。解：奇節(jié)點(diǎn)配對，，需調(diào)整!323333223113443221343223213432231+4+3+3=1111>101+3+4+3+2+2+3+2=2032333322311343233222+3+2=72+3+2+3=107>5332232333322311344324網(wǎng)絡(luò)流及其應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)流與最大流最小截集定理最大流的算法網(wǎng)絡(luò)流的應(yīng)用返回規(guī)劃模型上一頁下一頁線性規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃回首頁線性規(guī)劃線性規(guī)劃的基本概念性規(guī)劃問題的圖解法單純形法利用EXCEL解決輸運(yùn)問題利用EXCEL求解下料問題返回利用EXCEL解決輸運(yùn)問題一某工廠制造A,B兩種產(chǎn)品,制造A每噸需用煤9噸,電力4千瓦,3個(gè)工作日;制造B每噸需用煤5噸,電力5千瓦,10個(gè)工作日。已知制造產(chǎn)品A和B每噸分別獲利7000元和1200元，現(xiàn)在該廠由于條件限制，只有煤360噸，電力200千瓦，工作日300個(gè)可以利用，問A、B兩種產(chǎn)品個(gè)應(yīng)生產(chǎn)多少噸才能獲利最大？返回利用EXCEL解決輸運(yùn)問題二某兩個(gè)煤廠A1、A2每月進(jìn)煤數(shù)量分別為60頓和100噸，聯(lián)合供應(yīng)3個(gè)居民區(qū)B1、B2、B3。3個(gè)居民區(qū)每月對煤的需求量依次為50噸、70噸、40噸，煤廠A1離三個(gè)居民區(qū)B1、B2、B3的距離依次為10、5、6（千米），煤廠A2離三個(gè)居民區(qū)B1、B2、B3的距離依次為4、8、12（千米），文如何分配供煤量使得運(yùn)輸量達(dá)到最??？返回利用EXCEL解決下料問題一、問題的引入下料的最優(yōu)化問題是現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)活動中經(jīng)常遇到的問題，EXCEL的規(guī)劃求解是功能強(qiáng)大的優(yōu)化工具。它可以幫助我們使用最好的方法利用現(xiàn)有的資源，盡量達(dá)成想要的目標(biāo)而避免不想要的目標(biāo)，而不是一再的推測。下面通過用一個(gè)實(shí)例，來說明如何使用EXCEL來解決規(guī)劃問題。返回利用EXCEL解決下料問題某車間又一批長度為180厘米的鋼管（數(shù)量充分多），今為制造零件，要截出三種不同長度的管料（毛坯）：30厘米的、52厘米的及35厘米的。生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定：三種了得需要量分別不少于100根、150根及100根。我們知道，截分鋼管時(shí)不免要產(chǎn)生"邊角料"。為節(jié)約原材料，應(yīng)采取怎樣的截法，才能在完成任務(wù)的前提下，使總的邊角料達(dá)到最小限度？返回利用EXCEL解決下料問題分析這個(gè)問題，首先要弄清楚所有的可能截法。經(jīng)過簡單試算，克的下表所列地八種組合方式：返回利用EXCEL解決下料問題單純選擇一種截法（如一、四）自然可以使邊料較少，但未必能完成規(guī)定的任務(wù)。所以必須同時(shí)采用若干中截法配合起來，在完成任務(wù)的前提下，使總的邊料長度為最小。用x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8表示八種截法的采用的次數(shù)，用f表示邊料得總長度，則

f=5*x1+6*x2+23*x3+5*x4+24*x5+6*x6+23*x7+5*x8返回利用EXCEL解決下料問題由上表可知，截出70厘米的管料的數(shù)目為：（2*x1+x2+x3+x4）根，按規(guī)定任務(wù)，它不得少于100根，即2*x1+x2+x3+x4100類似的有：2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7150x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+5*x8100此外，還要求x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8均大于零且為整數(shù)。返回利用EXCEL解決下料問題綜上所述，問題歸結(jié)為：在上述約束條件下，x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8為何值時(shí)，函數(shù)f達(dá)到最小值。二、創(chuàng)建實(shí)例工作表下面的工作表是為下料問題最優(yōu)化二建立的簡單模型，計(jì)算最優(yōu)截法組合來產(chǎn)生在單元格B10里顯示邊料總長度最小，表中的許多內(nèi)容是文字和常量數(shù)字。弱項(xiàng)建立字工作表，建如如下圖所使得數(shù)字和文字為框架