第四章 過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電容和電感元件一階電路二階電路

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電容和電感元件電容元件電感元件電容、電感的串聯(lián)和并聯(lián)過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電容元件電容在實(shí)際電路中很常見(jiàn)，它主要分為獨(dú)立電容元件和器件的寄生電容，獨(dú)立電容元件由不同的電介質(zhì)構(gòu)成，通常有云母、陶瓷、氧化膜、及其它電介材料（如氧化鋁等）如圖4.1-1所示，器件的寄生電容通常出現(xiàn)PN結(jié)上，如MOS管、BJT，實(shí)際上在電路中只要有電荷儲(chǔ)存與釋放的功能就存在電容。電容的用途也非常廣泛。

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法

圖4.1-1電容元件示意圖

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電感元件

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電容、電感的串聯(lián)和并聯(lián)

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法一階電路一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的完全響應(yīng)一階電路的三要素分析法過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法一階電路的零輸入響應(yīng)對(duì)于一階電路，可用一階微分方程來(lái)描述，設(shè)電路的輸出響應(yīng)為，電路的初儲(chǔ)能（）用起始狀態(tài)（為常數(shù)）表征，即過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法零輸入響應(yīng)及其求解方法

由圖（a）可知，開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后初瞬，即時(shí)，電容初始電壓為即得這就是電容兩端在時(shí)的電壓。因而電阻中電流由開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換前的零值一躍而為開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后的初瞬值。而充電到的電容減小到零，電流也隨之從減小到零。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法由開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后得電路圖（b），根據(jù)KVL得又（非關(guān)聯(lián)參考方向）得微分方程為初始條件為一個(gè)一階齊次微分方程，它的解為指數(shù)函數(shù)，設(shè)它的特征方程為過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法特征根為所以有故有注意，在時(shí)（即開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換時(shí)）是連續(xù)的，沒(méi)有躍變?？闪⒓辞蟮眠^(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法討論零輸入響應(yīng)：在給定電容電壓初始值的情況下，電容C越大，電容中儲(chǔ)存的電荷量越多，放電需要的時(shí)間越長(zhǎng)；電阻R越大，放電電流越小，放電需要的時(shí)間也越長(zhǎng)。因此電容電壓和電流衰減的快慢，取決于電路參數(shù)R和C的乘積。另外由于電路中的零輸入響應(yīng)是隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)，函數(shù)中的指數(shù)必須是無(wú)量綱的，因此乘積具有時(shí)間的量綱，以表示故稱為該電路的（指開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后）的時(shí)間常數(shù)。電容電壓和電流衰減的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù)。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法以電壓為例，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有

可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，電壓已下降到初始電壓值的1.84%以下，一般已可以近似認(rèn)為衰減到零（理論上，僅當(dāng)時(shí)，）。實(shí)際上，由于過(guò)時(shí)曲線上的點(diǎn)作衰減曲線的切線，必交于時(shí)間軸上的點(diǎn)如圖所示。因而越小，與衰減越快；越大，與衰減越慢。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法另一種典型的一階電路為RL電路，下面就來(lái)研究它的零輸入響應(yīng)。設(shè)在時(shí)電路圖如（a）所示，開(kāi)關(guān)K1與b端相接，開(kāi)關(guān)K2打開(kāi)，電感L由電流源供電，由于為常數(shù)，即這就是圖（a）中電感電流和電感電壓的開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換前的穩(wěn)態(tài)值。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法轉(zhuǎn)換后，由圖（b）可得而又由VCR得有初始條件有可解得其中為圖（b）電路的時(shí)間常數(shù)。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電感電壓為、波形如下圖所示，它們都是隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)曲線。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于一階電路，設(shè)電路激勵(lì)信號(hào)為，電路的起始狀態(tài)為。則該非齊次微分方程的零初始條件的解，就叫作電路的零狀態(tài)響應(yīng)，用表示。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法

下面通過(guò)具有零起始狀態(tài)的RC電路，來(lái)討論一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)及其求解方法。如圖4-2-5所示。先從電路概念上定性討論開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后的變化趨勢(shì)。在轉(zhuǎn)換前C被開(kāi)關(guān)K短路，所以，，，電路處于初始穩(wěn)態(tài)。在開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后初瞬，電容電壓不會(huì)躍變，即，電容如同短路，又因，可知在時(shí)，。顯然，在時(shí)電流源電流全部流向電容C，對(duì)電容C充電，即過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法這時(shí)，電容電壓將發(fā)生變化，其變化率為 以后，電容電壓由零逐漸增長(zhǎng)，流過(guò)電阻R上的電流隨之增長(zhǎng)。由于總電流恒為，使得電容器的充電電流以逐漸減小，直至最后時(shí)，全部電流流過(guò)電阻，，電容器如同開(kāi)路，充電停止，電容電壓不再變化，即

電路達(dá)到了另外一種穩(wěn)態(tài)。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法現(xiàn)在來(lái)定量計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)，在開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后，根據(jù)KCL可得電路方程為整理得（4.2.10）初始條件為 方程式（4.2.10）是一個(gè)一階非齊次線性微分方程，其完全解由對(duì)應(yīng)的齊次方程通解和非齊次微分方程的特解組成，即過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法首先由齊次方程求通解。可求出通解為，（4.2.11b）然后由非齊次方程求特解。 激勵(lì)為常量，特解設(shè)為常數(shù)，即，并將其代入式（4.2.10）可得

即得：（4.2.11c）所以，原方程的全解為過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法最后由初始條件確定全解中的系數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得故 由此可得電路的零狀態(tài)響應(yīng)為

這里

、波形如圖4-2-6所示。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法另一種求解零狀態(tài)響應(yīng)的典型電路是電壓源通過(guò)電阻對(duì)具有零初始條件的電感在時(shí)充電如圖4-2-7（a）所示。即電路零狀態(tài)響應(yīng)的意義可用圖4-2-7（b）表示。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法一階電路的完全響應(yīng)對(duì)于一階電路，可以表示為則該非齊次常微分方程的非零初始條件的解，就叫作電路的完全響應(yīng)。完全響應(yīng)的解為：過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法下面舉例說(shuō)明一階電路完全響應(yīng)的求解方法。由圖4-2-8可知，開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換后，按KCL可得方程為：

（4.2.15a）初始條件為（4.2.15b）方程式（4.2.15a）的解為（4.2.16a）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法代入初始條件有所以完全響應(yīng)為（4.2.16b）由式（4.2.15b）可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，即得零輸入響應(yīng)（4.2.16c）如果，即得零狀態(tài)響應(yīng)（4.2.16d）所以式（4.2.15b）也可寫(xiě)為（4.2.16e）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法響應(yīng)可改寫(xiě)的為圖4-2-9所示響應(yīng)可改寫(xiě)的為圖4-2-10所示過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法一階電路的三要素分析法

設(shè)一階電路，在電路中動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能和恒定輸入激勵(lì)信號(hào)共同作用下的完全響應(yīng)為，則電路的完全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)或自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)由此可見(jiàn)，電路的完全響應(yīng)由、、三個(gè)要素決定，只要求出這三個(gè)要素，即可求得一階電路在恒定輸入信號(hào)激勵(lì)下的完全響應(yīng)。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法二階電路線性RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)線性RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)線性RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)一般二階電路的響應(yīng)過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法線性RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)對(duì)圖4-3-1所示電路列出KVL方程（4.3.1）

若取電流作為要討論的零輸入響應(yīng)，則將上式對(duì)求導(dǎo)一次，并注意到則有（4.3.2）給定的初始條件是（4.3.3）（4.3.4）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法將代入式（4.3.1），得（4.3.5）以式（4.3.4）和（4.3.5）為初始條件的微分方程（4.3.2）的解便是零輸入響應(yīng)。令此解為（4.3.6）于是有（4.3.7）和（4.3.8）將它們代入式（4.3.2），則式（4.3.2）的特征方程為（4.3.9）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法特征根為（4.3.10）特征根又稱為固有頻率。若令（4.3.11）（4.3.12）則特征根又可寫(xiě)成（4.3.13）（4.3.14）二階齊次常微分方程的通解即零輸入響應(yīng)為（4.3.15）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（1），即的情況兩個(gè)固有頻率和為不等負(fù)實(shí)根，電容器在全部時(shí)間內(nèi)一直是在放電。電容器的這種單向放電稱為非周期性（非振蕩性）放電或者稱為過(guò)阻尼放電。

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（2），即的情況 兩個(gè)固有頻率和為相等的負(fù)實(shí)數(shù)，即。響應(yīng)為電阻值稱為臨界電阻。電感器電壓電容器電壓過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（3），即的情況 兩個(gè)固有頻率和為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。則有（4.3.30a）和（4.3.30b）響應(yīng)為（4.3.31）待定常數(shù)和可根據(jù)給定的初始條件式（4.3.4）和（4.3.5）求出。將及代入式（4.3.31），得（4.3.32）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法將對(duì)求導(dǎo)，有

再將初始條件及代入，得

（4.3.33）由式（4.3.32）和（4.3.33）可解得（4.3.34）

（4.3.35）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法于是（4.3.36）根據(jù)可求出電感器的電壓（4.3.37）其中

（4.3.38）（4.3.39）（4.3.40）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法根據(jù)KVL可知從，和的表達(dá)式中都含有可以看出，，和的放電情況是一種周期性（振蕩性）的衰減放電，或稱欠阻尼放電。過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法結(jié)論： （1）當(dāng)電路的固有頻率位于平面的負(fù)實(shí)軸上，電路的零輸入響應(yīng)是衰減非周期性（非振蕩性）的，或是過(guò)阻尼型的（其中包括臨界阻尼型的）。 （2）當(dāng)電路的固有頻率位于左半平面內(nèi)，但不在負(fù)實(shí)軸上，電路的零輸入響應(yīng)是衰減周期性（振蕩性）類型的，或是欠阻尼型的。 （3）當(dāng)電路的固有頻率位于平面的虛軸上，電路的零輸入響應(yīng)是無(wú)衰減周期性（振蕩性）類型的；或是無(wú)阻尼型的。再定義一個(gè)表征電路固有特性的輔助參數(shù)（品質(zhì)因數(shù)）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法線性RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)1、線性串聯(lián)電路的階躍響應(yīng)列出電路的KVL方程為過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法則將代入上式，得出

（4.3.47）給定的初始條件為（4.3.48）（4.3.49）其中（4.3.50）根據(jù)階躍函數(shù)的定義，式（4.3.47）在時(shí)可以寫(xiě)成（4.3.51）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法電路在階躍電壓輸入下，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間之后，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，電容器的端電壓維持恒定，因此及由式（4.3.51）可知，穩(wěn)態(tài)分量（4.3.53）暫態(tài)分量是二階齊次微分方程（4.3.54）的解。設(shè)此解為：（4.3.55）將它代入式（4.3.54），可得特征方程為過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法特征方程的根，即電路的固有頻率為（4.3.56）若令和則式（4.3.56）又可以寫(xiě)成（4.3.57）（4.3.58）于是，可求得電容器端電壓的暫態(tài)分量（4.3.59）將式（4.3.53）和（4.3.59）代入式（4.3.52），便有（4.3.60）將初始條件代入式（4.3.60），得（4.3.61）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法將式（4.3.60）對(duì)求導(dǎo)，又有在將初始條件代入上式，得（4.3.62）由式（4.3.61）和（4.3.62）可定出常數(shù)和，即，將其代入式（4.3.60），可得到的表達(dá)式：（4.3.63）同時(shí)可求出過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法根據(jù)及的相對(duì)大小，也可以分為（），（），（）和（）四種情況。（1），即的情況過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（2），即的情況 有進(jìn)而又可根據(jù)和導(dǎo)出過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（3），即的情況此時(shí)電路的固有頻率為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)：（4.3.69）（4.3.70）將式（4.3.69）和（4.3.70）代入式（4.3.63），便有（4.3.71）

根據(jù)關(guān)系式，式（4.3.71）可以寫(xiě)成下列形式：（4.3.72）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法若令，則上式中的和又可以分別表示為，于是，式（4.3.72）又可寫(xiě)成（4.3.73）

根據(jù)和可導(dǎo)出

（4.3.74）

（4.3.75）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法（4），即的情況 此時(shí)因，而，電路的兩個(gè)固有頻率是一對(duì)共軛虛根，即和因?yàn)椋藭r(shí)的將，和的值代入式（4.3.73），（4.3.74）和（4.3.75），可得（4.3.76）（4.3.77）（4.3.78）

過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法2、線性定常串聯(lián)電路的沖激響應(yīng)它應(yīng)是滿足微分方程（4.3.79）和初始條件為（4.3.80）（4.3.81）的解。根據(jù)式（4.3.79）可知應(yīng)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。又有（4.3.82）和（4.3.83）過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法現(xiàn)在來(lái)確定沖激電壓源為圖4-3-13上的電路所建立的初始狀態(tài)。根據(jù)式（4.3.82）和（4.3.80），有（4.3.84）對(duì)方程（4.3.79）兩邊進(jìn)行到的積分，有過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法即（4.3.85）將式（4.3.81），（4.3.82）和（4.3.83）代入上式，可得出

即（4.3.86）式（4.3.84）和（4.3.86）即為初始狀態(tài)。這樣，時(shí)電路的微分方程為（4.3.87）和初始條件及過(guò)渡過(guò)程的經(jīng)典解法齊次微分方程（4.3.87）和初始條件可等效于具有由式（4.3.80）和（4.3.81）所給定初始條件的非齊次常系數(shù)線性微分方程（4.3.79）；即可通過(guò)解齊次微分方程（4.3.87）來(lái)求沖激響應(yīng)。對(duì)于方程（4.3.87），其解可以寫(xiě)成