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《空間向量及其運(yùn)算》試卷一、選擇題1.(2022·長春模擬)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,eq\f(1,2) B.-eq\f(1,3),eq\f(1,2)C.-3,2 D.2,2答案:A解析:由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ+1,6)=\f(2,2λ),,2μ-1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=2,,μ=\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-3,,μ=\f(1,2).))2.在空間四邊形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=()A.-1 B.0C.1 D.不確定答案:B解析:如圖,令eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(AD,\s\up6(→))=c,則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.3.如圖,已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是對邊OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在線段MN上,且分MN所成的比為2,現(xiàn)用基向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→)),設(shè)eq\o(OG,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→)),則x,y,z的值分別是()A.x=eq\f(1,3),y=eq\f(1,3),z=eq\f(1,3)B.x=eq\f(1,3),y=eq\f(1,3),z=eq\f(1,6)C.x=eq\f(1,3),y=eq\f(1,6),z=eq\f(1,3)D.x=eq\f(1,6),y=eq\f(1,3),z=eq\f(1,3)答案:D解析:設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,∵G分MN所成的比為2,∴eq\o(MG,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→)),∴eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\o(MG,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OM,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)a+eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b+\f(1,2)c-\f(1,2)a))=eq\f(1,2)a+eq\f(1,3)b+eq\f(1,3)c-eq\f(1,3)a=eq\f(1,6)a+eq\f(1,3)b+eq\f(1,3)c.故應(yīng)選D.4.(2022·寶雞模擬)已知四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0,eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0,eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))>0,eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0,則該四邊形為()A.平行四邊形 B.梯形C.長方形 D.空間四邊形答案:D解析:由條件可知四邊形ABCD中,相鄰兩邊的夾角都是鈍角,結(jié)合選項(xiàng)可知其應(yīng)為空間四邊形,故應(yīng)選D.5.(2022·武漢模擬)如圖,二面角α-l-β為60°,A,B是棱l上的兩點(diǎn),AC,BD分別在半平面α,β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,則CDA.2\r(5)aC.a(chǎn)\r(3)a答案:A解析:∵AC⊥l,BD⊥l,∴〈eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(BD,\s\up6(→))〉=60°,且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))=0,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0,∵eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→)),∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|=eq\r(\a\vs4\al(\o(CA,\s\up6(→))+\o(AB,\s\up6(→))+\o(BD,\s\up6(→))2))=eq\r(a2+a2+2a2+2a·2a·cos120°)=2a.6.(2022·杭州摸底考試)已知空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,滿足eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x,y,z∈R),則“x+y+z=1”是“點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)”的()A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:已知空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,滿足eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x,y,z∈R),則“x+y+z=1”是“點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)”的充要條件,證明如下:必要性:依題意,知A,B,C三點(diǎn)不共線,則四點(diǎn)A,B,C,P共面?對空間任一點(diǎn)O,存在實(shí)數(shù)x1,y1,使得eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+x1eq\o(AB,\s\up6(→))+y1eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+x1(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))+y1(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))=(1-x1-y1)eq\o(OA,\s\up6(→))+x1eq\o(OB,\s\up6(→))+y1eq\o(OC,\s\up6(→)).取x=1-x1-y1,y=x1,z=y(tǒng)1,則有eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→)),且x+y+z=1.充分性:對于空間任一點(diǎn)O,存在實(shí)數(shù)x,y,z且x+y+z=1,使得eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→)),所以x=1-y-z,得eq\o(OP,\s\up6(→))=(1-y-z)eq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(AB,\s\up6(→))+zeq\o(AC,\s\up6(→)).即eq\o(AP,\s\up6(→))=y(tǒng)eq\o(AB,\s\up6(→))+zeq\o(AC,\s\up6(→)),所以四點(diǎn)A,B,C,P共面.故應(yīng)選C.二、填空題7.(2022·臺州模擬)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且|a|=5,|b|=6,a·b=30,則eq\f(a1+a2+a3,b1+b2+b3)=________.答案:eq\f(5,6)解析:設(shè)向量a與b的夾角為θ(0≤θ≤π),由已知及向量數(shù)量積的定義,得a·b=|a||b|cosθ=5×6×cosθ=30,所以cosθ=1,所以θ=0°,所以a∥b.又因?yàn)閍與b均為非零向量,且|a|=5,|b|=6,所以可得b=eq\f(6,5)a,即(b1,b2,b3)=eq\f(6,5)(a1,a2,a3),從而有eq\f(a1,b1)=eq\f(a2,b2)=eq\f(a3,b3)=eq\f(5,6),得eq\f(a1+a2+a3,b1+b2+b3)=eq\f(5,6).8.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))為邊的平行四邊形的面積為________.答案:7eq\r(3)解析:由題意,可得eq\o(AB,\s\up6(→))=(-2,-1,3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,-3,2),∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|))=eq\f(-2+3+6,\r(14)×\r(14))=eq\f(7,14)=eq\f(1,2).∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=eq\f(\r(3),2).∴以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))為邊的平行四邊形的面積為S=|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sin〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=14×eq\f(\r(3),2)=7eq\r(3).9.(2022·鄭州模擬)已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)是________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3)))解析:設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))=λeq\o(OP,\s\up6(→))=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ),∴Q(λ,λ,2λ),∴eq\o(QA,\s\up6(→))=(1-λ,2-λ,3-2λ),eq\o(QB,\s\up6(→))=(2-λ,1-λ,2-2λ).∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))=6λ2-16λ+10,故當(dāng)λ=eq\f(4,3)時(shí)有最小值,此時(shí)Q坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(8,3))).10.(2022·徐州模擬)給出下列命題:①eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件;③若a與b共面,則a與b所在的直線在同一平面內(nèi);④若eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)),則P,A,B三點(diǎn)共線.其中正確命題的序號是________.答案:①解析:①顯然成立;②|a|-|b|=|a+b|,符號成立的條件是a,b反向,而a與b共線的方向?yàn)橄嗤蛳喾?,②錯(cuò)誤;③中,任意兩個(gè)向量都是共面向量,顯然③不正確;④中,eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→)),系數(shù)之和eq\f(1,2)+eq\f(1,3)≠1,因此P,A,B不共線,④不成立.綜上,正確命題的序號只有①.三、解答題11.已知空間中三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=eq\o(AB,\s\up6(→)),b=eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求a與b的夾角的余弦值;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求實(shí)數(shù)k的值.解:(1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|=eq\r(12+12+02)=eq\r(2),|b|=eq\r(-12+02+22)=eq\r(5),∴cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(-1,\r(10))=-eq\f(\r(10),10),即a與b的夾角的余弦值為-eq\f(\r(10),10).(2)解法一:∵ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b與ka-2b互相垂直,∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或k=-eq\f(5,2),∴當(dāng)ka+b與ka-2b互相垂直時(shí),實(shí)數(shù)k的值為2或-eq\f(5,2).解法二:由(1),知|a|=eq\r(2),|b|=eq\r(5),a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-eq\f(5,2).12.(2022·汕頭模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,點(diǎn)E在AA1上,點(diǎn)F在CC1上,且AE=FC1(1)求證:E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面;(2)若點(diǎn)G在BC上,BG=eq\f(2,3),點(diǎn)M在BB1上,GM⊥BF,垂足為H,求證:EM⊥平面BCC1B1.解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),E(3,0,1),F(xiàn)(0,3,2),D1(3,3,3),則eq\o(BE,\s\up6(→))=(3,0,1),eq\o(BF,\s\up6(→))=(0,3,2),eq\o(BD1,\s\up6(→))=(3,3,3).所以eq\o(BD1,\s\up6(→))=eq\o(BE,\s\up6(→))+eq\o(BF,\s\up6(→)).故eq\o(BD1,\s\up6(→)),eq\o(BE,\s\up6(→)),eq\o(BF,\s\up6(→))共面.又它們有公共點(diǎn)B,所以E,B,F(xiàn),D1四點(diǎn)共面.(2)設(shè)M(0,0,z0),Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,3),0)),則eq\o(GM,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(2,3),z0)),而eq\o(BF,\s\up6(→))=(0,3,2),由題設(shè),得eq\o(GM,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))=-eq\f(2,3)×3+z0·2=0,解得z0=1.故M(0,0,1),有eq\o(ME,\s\up6(→))=(3,0,0).又eq\o(BB1,\s\up6(→))=(0,0,3),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,3,0),所以eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))=0,eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,從而ME⊥BB1,ME⊥BC.又BB1∩BC=B,故ME⊥平面BCC1B1.13.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的模;(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→)),eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的值;(3)求證:A1B⊥
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