【全程復(fù)習(xí)方略】2013版高中數(shù)學(xué) 3.2同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式配套課件 蘇教版

第二節(jié)同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式內(nèi)容

要求ABC同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

√正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式

√…………三年2考高考指數(shù):★★★sin2α+cos2α=1【即時(shí)應(yīng)用】（1）若sinθ=tanθ<0,則cosθ=______.（2）已知θ為第三象限角且tanθ=則sinθ=______.【解析】（1）由sinθ=tanθ<0,可得θ為第四象限角，∴

（2）由由sin2θ+cos2θ=sin2θ+=1,得sinθ=又θ為第三象限角,∴sinθ=答案：2.誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角α+2kπ(k∈Z)-απ-απ+α正弦sinα-sinαsinα-sinαcosαcosα余弦cosαcosα-cosα-cosαsinα-sinα正切tanα-tanα-tanαtanα口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限【即時(shí)應(yīng)用】（1）思考:給定一個(gè)任意角的三角函數(shù),如何選取誘導(dǎo)公式化為一個(gè)銳角三角函數(shù)?提示:一般先把任意角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù),再化為0°到360°角的三角函數(shù),最后化為銳角的三角函數(shù).（2）sin（）=______.【解析】答案：（3）cos（-60°）-sin（-210°）=______.【解析】原式=cos60°+sin（180°+30°）=cos60°-sin30°==0.答案：0（4）sin（π+α）=則cosα等于______.【解析】sin（π+α）=-sinα=∴cosα=答案:同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】同角三角函數(shù)關(guān)系式的理解（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的基本用途：①根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；②化簡(jiǎn)同角三角函數(shù)式，證明同角的三角恒等式．（2）注意公式的逆用和變形應(yīng)用：sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，sinα=cosα·tanα.【例1】已知（1）求sinx-cosx的值；（2）求的值.【解題指南】先利用平方關(guān)系解第一問，然后利用商數(shù)關(guān)系的值求解第二問即可.【規(guī)范解答】（1）由sinx+cosx=平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=∵（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=又∵＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故sinx-cosx=（2）【反思·感悟】1.在利用同角三角函數(shù)關(guān)系式解題的時(shí)候，變形非常關(guān)鍵，同時(shí)“1”的代換也經(jīng)常巧妙地用在里面，使問題得以解決.2.有些題目還用到方程思想、函數(shù)思想.【變式訓(xùn)練】已知求sinα-cosα的值.【解析】∵∴sinα＜0，cosα＜0，由∴利用誘導(dǎo)公式求值【方法點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用方法（1）誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系式是求值問題的常用工具,“切化弦”是解含有正切函數(shù)問題的常用方法.（2）解題時(shí)注意已知角或三角函數(shù)名稱與所求角或三角函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系,要向所求角和三角函數(shù)進(jìn)行化歸.【提醒】誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號(hào).【例2】（1）已知tanα=2,sinα+cosα<0,則=______.（2）已知α為第三象限角,①化簡(jiǎn)f（α）；②若求f（α）的值.【解題指南】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)已知條件求值.【規(guī)范解答】（1）原式=∵tanα=2>0,∴α為第一象限角或第三象限角，又sinα+cosα<0,∴α為第三象限角.由tanα==2,得sinα=2cosα代入sin2α+cos2α=1,解得sinα=答案：

②∵∴-sinα=從而sinα=又α為第三象限角,∴cosα=即f（α）的值為【互動(dòng)探究】把本例中（1）的已知條件改為tanα=3,sinα+cosα>0,再求所給式子的值.【解析】∵tanα=3,sinα+cosα>0,∴α為第一象限角,tanα==3,得sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,解得:【反思·感悟】利用誘導(dǎo)公式求值的方法與技巧在利用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，一般要先化簡(jiǎn)，再根據(jù)條件求值，掌握誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是對(duì)“函數(shù)名稱”和“正負(fù)號(hào)”的正確判斷.另外，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用非常靈活，可以正用、逆用和變形應(yīng)用,但是要盡量避開平方關(guān)系.【變式備選】已知sin（）=a（a≠±1,a≠0）,求的值.【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)證明【方法點(diǎn)睛】1.化簡(jiǎn)的方法和技巧(1)化簡(jiǎn)是一種不指定答案的恒等變形,其結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值.(2)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負(fù)化正、大化小,化到銳角為止.(3)化簡(jiǎn)前,注意分析角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)墓胶突?jiǎn)順序.2.三角恒等式證明的常用方法(1)從左向右證或從右向左證(以從繁化到簡(jiǎn)為原則).(2)兩邊向中間證.(3)證明一個(gè)與原等式等價(jià)的式子,從而推出原等式成立.【例3】(2012·無錫模擬)(1)化簡(jiǎn):(2)求證:對(duì)于任意的整數(shù)k,【解題指南】(1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，一般思路是根據(jù)公式逐一化簡(jiǎn)，特別要注意名稱和符號(hào).(2)由于此題中的k不明確，需要對(duì)其分偶數(shù)和奇數(shù)討論.【規(guī)范解答】(1)原式=(2)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),設(shè)k=2n，n∈Z當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1,n∈Z，故對(duì)任意的整數(shù)k,【互動(dòng)探究】將本例(1)化簡(jiǎn)式變?yōu)槿绾位?jiǎn)?【解析】【反思·感悟】1.公式符號(hào)的判斷看象限,在用誘導(dǎo)公式時(shí),注意把任意角α看成銳角來處理.2.把異角利用誘導(dǎo)公式化為同角,再用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)是求解的關(guān)鍵.【變式備選】(1)化簡(jiǎn)(2)求證:【解析】(1)因?yàn)樗栽?-sinα+sinα=0.(2)因?yàn)樽筮?所以原等式成立.

【易錯(cuò)誤區(qū)】同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用誤區(qū)【典例】(2011·重慶高考)若cosα=且α∈(π，)，則tanα=______.【解題指南】根據(jù)角所在的范圍，先求出sinα的值，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出正切值.【規(guī)范解答】因?yàn)棣痢?π，

)，cosα=所以sinα=

所以答案：【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示求解本題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)以下兩種失誤：1.易忽視題目中已知條件α的范圍，求得sinα的兩個(gè)值而致錯(cuò).2.雖注意到α的范圍，但判斷錯(cuò)sinα的符號(hào)而導(dǎo)致tanα的值錯(cuò)誤.備考建議由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，要注意以下兩點(diǎn)：1.題目中若沒有限定角α的范圍，則sinα或cosα的符號(hào)應(yīng)有兩種情況，不可漏掉.2.若已給出α的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)sinα或cosα的符號(hào)，不合題意的一定要舍去.1.(2012·無錫模擬)已知且α為第二象限角，則實(shí)數(shù)m的值為______.【解析】由sin2α+cos2α=1得解得:m=4或∵α為第二象限角，∴sinα>0,當(dāng)m=時(shí)，sinα<0,故m=4.答案：42.(2011·大綱版全國(guó)卷)已知α∈(π,),tanα=2,則cosα=______.【解析】∵tanα=2,∴sinα=2cosα,代入sin2α+cos