名師面對面中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題等腰三角形探究講義

名師面對面中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題等腰三角形探究講義等腰(邊)三角形是最常見的特殊三角形．在各類測試卷中，常常以它為載體，與其他知識結(jié)合編制成綜合性較強(qiáng)的問題，是中考中必考的一個熱點問題，往往在綜合題中出現(xiàn)，是函數(shù)、方程與幾何的綜合運用，形式廣泛，在中考命題中?？汲Ｐ拢皇菍⑺c圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合探究數(shù)形結(jié)合與分類討論的問題；二是將它與反比例函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)結(jié)合探究函數(shù)、方程思想的應(yīng)用問題；三是將它與運動問題結(jié)合，涉及三角形全等、三角形相似、特殊四邊形等知識，探究等腰三角形的存在性問題．等腰三角形存在性問題的重點和難點在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類．等腰三角形中體現(xiàn)的分類思想1．(2014·呼和浩特)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為

．【解析】第1題分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù)；

63°或27°2．在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC

，D為BC邊上的一點，連結(jié)AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，求∠C的度數(shù)．【解析】第2題△ACD和△ABD都是等腰三角形，但沒有指明相等的邊，所以要分兩種情況討論：①AD＝DC，AC＝AD；②AB＝BD，CD＝AD，分別畫出圖形并求解．分兩種情況：①AD＝BD，DC＝AD，如圖1，則△ADB和△ADC是全等三角形，可求得∠ADC＝90°，∴∠C＝45°；②AB＝BD，CD＝AD，如圖2，則∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C，然后用∠C表示出△ABC的內(nèi)角和，可得5∠C＝180°，∴∠C＝36°3．(2013·玉林)如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點，已知A(4，3)，P是坐標(biāo)軸上的一點，若以O(shè)，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有____個，寫出其中一個點P的坐標(biāo)是

.__．84．(2014·瀘州)已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個實數(shù)根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個實數(shù)根，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得m＝－4或m＝6，當(dāng)m＝－4時原方程無解，∴m＝6

(2)已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．當(dāng)7為底邊時，此時方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2，∴方程變?yōu)閤2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，∵3＋3＜7，∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)7為腰時，設(shè)x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4，當(dāng)m＝10時方程變?yōu)閤2－22x＋105＝0，解得x＝7或15，∵7＋7＜15，∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)m＝4時方程變?yōu)閤2－10x＋21＝0，解得x＝3或7，此時三角形的周長為7＋7＋3＝17由于等腰三角形邊或角的不確定性，在沒有明確哪兩條邊是腰、哪兩個角是底角時，就需要分類，一般分類時可以按邊分類．變換探究等腰三角形1．如圖①，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G，H點，如圖②.(1)始終與△AGC相似的三角形有

及

；(2)設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖②的情形說明理由)；△HAB△HGA(3)當(dāng)x為何值時，△AGH是等腰三角形．2．(2013·株洲)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖①)或線段AB的延長線(如圖②)于點P.(1)當(dāng)點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ACB；(2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求AP的長．(1)∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，

∴∠APQ＝∠C.在△APQ與△ABC中，

∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB

(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得AC＝5.(Ⅰ)當(dāng)點P在線段AB上時，如題圖①所示．∵∠BPQ為鈍角，∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，只可能是PB＝PQ，由(1)可知，△APQ∽△ABC，∴PAAC＝PQBC，即3－PB5＝PB4，解得PB＝43，∴AP＝AB－PB＝3－43＝53；(Ⅱ)當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如題圖②所示，∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，

∴點B為線段AB中點，∴AP＝2AB＝2×3＝6.綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，AP的長為53或6

畫出各種變化中的圖形，以邊或角進(jìn)行分類探究其等腰三角形存在的可能．函數(shù)探究等腰三角形1．(2014·達(dá)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O(0，0)，A(5，0)，B(4，4)．(1)求過O，B，A三點的拋物線的解析式；拋物線的解析式可設(shè)為y＝ax(x－5)．∵點B(4，4)在該拋物線上，∴a×4×(4－5)＝4，∴a＝－1，∴該拋物線的解析式為y＝－x(x－5)，即y＝－x2＋5x

(2)作直線x＝m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求m的值．【解析】第(2)小題△PQB為等腰三角形時，有三種情形，需要分類討論：①若點B為頂點，即BP＝BQ；②若點P為頂點，即PQ＝PB；③若點Q為頂點，即PQ＝QB.2．(2014·益陽)如圖，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點A，B，拋物線y＝a(x－2)2＋k經(jīng)過點A，B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P.(1)求a，k的值；(2)拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標(biāo)．3．(2014·樂山)如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象l與坐標(biāo)軸分別交于點E，F(xiàn)，與雙曲線y＝－4x(x＜0)交于點P(－1，n)，且F是PE的中點．

(1)求直線l的解析式；(2)若直線x＝a與l交于點A，與雙曲線交于點B(不同于A)，問a為何值時，PA＝PB?用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．操作探究等腰三角形1．(2014·無錫)已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫()A．6條B．7條C．8條D．9條B【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．2．(2011·杭州)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，過點C作直線l∥AB，F(xiàn)是l上的一點，且AB＝AF，求點F到直線BC的距離．操作轉(zhuǎn)化為圖形，通過畫圖，畫出存在等腰三角形的所有可能情況．運動探究等腰三角形1．(2013·涼山州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標(biāo)分別為(10，0)，(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．【解析】當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論．由題意，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，有三種情況：①如答圖①所示，PD＝OD＝5，點P在點D的左側(cè)，過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4，在Rt△PDE中，由勾股定理得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，∴此時點P坐標(biāo)為(2，4)；

②如答圖②所示，OP＝OD＝5，過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4，在Rt△POE中，由勾股定理得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，∴此時點P坐標(biāo)為(3，4)；

③如答圖③所示，PD＝OD＝5，點P在點D的右側(cè)，過點P作PE⊥x軸于點E，則PE＝4，在Rt△PDE中，由勾股定理得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，∴此時點P坐標(biāo)為(8，4)．綜上可知，點P的坐標(biāo)為(2，4)或(3，4)或(8，4)

2．(2014·金華)如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA＝OC＝4，以直線x＝1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)已知直線l的解析式為y＝x＋m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P.①當(dāng)m＝0時，如圖①，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；②當(dāng)m＝－3時，如圖②，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F(xiàn).是否存在這樣的點P，使以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(2)①如圖1，PH⊥直線l，有ON＝MN＝1，PM＝3，由△PMH為等腰直角三角形得HM＝PH＝322，

所以S△OPH＝12OH×PH＝12×522×322＝154

②存在四種情況：如圖2，當(dāng)點P在邊OC上時，此時點E與點O重合，點F與點G重合，△PEF為等腰直角三角形，EP＝EF＝3，∴P1(0，3)．

如圖3，當(dāng)點P在邊BC上時，PE＝PF,則點P為∠OGD的角平分線與BC的交點，有GE＝GF，過點F分別作FH⊥PE于點H，F(xiàn)K⊥x軸于點K,∵∠OGD＝135°，∴∠EPF＝45°，即△PHF為等腰直角三角形，設(shè)GE＝GF＝t，則GK＝FK＝EH＝22t，∴PE＝PH＋EH＝t＋22t＋22t＝4，∴t＋2t＝4，解得t＝42－4，則OE＝3－t＝7－42，∴P2(7－42，4)．當(dāng)點P在邊AB上，分兩種情形：情形1：如圖4，當(dāng)點E與點G重合時，△PEF為等腰直角三角形，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，則有?íì4k＋b＝0，2k＋b＝4，解得?íìk＝－2，b＝8，∴直線AB的解析式為y＝－2x＋8，OE＝3，PE＝－2×3＋8＝2，∴P3(3，2)．

情形2：如圖5，PE＝PF，過點F作x軸的平行線，與過點G作x軸的垂線相交于點N，與EP的延長線相交于點M，則四邊形MNGE是矩形，△NGF與△PMF都是等腰直角三角形，設(shè)PE＝PF＝t，則PM＝MF＝22t，NG＝NF＝ME＝22t＋t，所以GE＝NF＋FM＝2t＋t，∴OE＝OG＋GE＝3＋2t＋t，∴P(3＋2t＋t，t)代入y＝－2x＋8，得t＝－2(3＋2t＋t)＋8，解得t＝6－42，∴OE＝3＋2t＋t＝22＋1，∴P4(22＋1，6－42)．綜上可知，以點P，E，F(xiàn)三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為(0