24質(zhì)數(shù)、合數(shù)與因數(shù)分解

24.質(zhì)數(shù)、合數(shù)與因數(shù)分解知識縱橫一個大于1的正整數(shù)，若除了1與它自身,再沒有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù);一個大于1的正整數(shù)，除了1與它自身，若還有其他的約數(shù)，這樣的正整數(shù)稱為合數(shù),這樣，我們可以按約數(shù)個數(shù)將正整數(shù)分為三類：單位1正整數(shù)｛質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下面常用的性質(zhì)：1.1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù);2是惟一的偶質(zhì)數(shù).若質(zhì)數(shù)p|ab,則必有p|a或p|b.若正整a,b的積是質(zhì)數(shù)p,則必有a=p或b=p.算術基本定理:任意一個大于1的整數(shù)N能分解成k個質(zhì)因數(shù)的乘積，若不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序,則這種分解是惟一的，從而N可以寫成標準分解形式：N=pN=pia1其中p1<p2<?<pk，pi為質(zhì)數(shù),氣為非負整數(shù).(i=1,2,?k).例題求解【例1】已知三個不同的質(zhì)數(shù)a,b,c滿足abbc+a=2000,那么a+b+c=.(第15屆江蘇省競賽題)思路點撥運用乘法分配律、算術基本定理，從因數(shù)分解入手，突破a的值.解:42提示：由a(bbc+1)=24X53.【例2】不超過100的所有質(zhì)數(shù)的乘積減去不超過60且個位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)的乘積所得之差的個位數(shù)字是().A.3 B.1 C.7 D.9思路點撥從尋找適合題意的質(zhì)數(shù)入手.解:選D提示2與5的積為10,不超過60且個位數(shù)字為7的所有質(zhì)數(shù)共4個，它們是7,17,37,47,10-1=9?！纠?】求這樣的質(zhì)數(shù)，當它加上10和14時，仍為質(zhì)數(shù). (上海市競賽題)思路點撥由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)劃，不妨從最小的質(zhì)數(shù)進行實驗，但這樣的質(zhì)數(shù)惟一嗎?還需按剩余類的方法進行討論.解:3符合要求提示：當p=3k+1時，p+10=3k+11,P+14=3(k+5),顯然p+14是合數(shù)；當p=3k+2時，p+10=3(k+4)是合數(shù)，當p=3k時，只有k=1才符合題意?！纠?】⑴將1,2,?,2004這2004個數(shù)隨意排成一行，得到一個數(shù)N,求證:N一定是合數(shù);(2)若n是大于2的正整數(shù)，求證:2n-1與2n+1中至多有一個是質(zhì)數(shù).思路點撥(1)將1到2004隨意排成一行的數(shù)有很多,不可能一一排出,不妨能找出無論怎樣排,所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；(2)只需說明2n-1與2n+1中必有一個是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可.解:提示：(1)因1+2+?+2004=1X2004(1+2004)=1002X2005為3的倍數(shù)，故無論怎樣交換這2004個數(shù)的順序，所得數(shù)都有3這個約數(shù)。(2)因n為大于2的正整數(shù)，貝02n-137,2n-1、2n、2n+1是不小于7的三個連續(xù)的正整數(shù)，其中必有一個被3整除，但3不整除2n?！纠?】用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地選用邊長為xcm規(guī)格的地磚,恰用n塊;若選用邊長為ycm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x、y、n都是正整數(shù)，且(x,y)=1,試問這塊地有多少平方米？(湖北省荊州市競賽題)思路點撥雖然同一塊地有不同的鋪法，但是這塊地的面積不變，利用面積不變建立x、y、n的等式，尋找解題的突破口.解:提示:設這塊地面積為S,則S=nx2=(n+124)y2,得n(x2-y2)=124y2Vx>y,(x,y)=1,「?(x2,y2)=1,(x2-y2,y2)=1,得(x2-y2)|124*.*124=22X31,x2-y2=(x+y)(x-y)x+y>x-y且x-y奇偶性相同[x+j=31 [x+j=2x31 124y2「?〈 1或〈 -解得x=16,y=15,此時n= =900[x-y=1 [x-y=2 x2-y2故這塊地面積為S=nx2=900X162=23.04(米)2學力訓練一、基礎夯實在1,2,3,…,n這n個自然數(shù)中，已知共有p個質(zhì)數(shù),q個合數(shù),k個奇數(shù),m個偶數(shù)，則(q-m)+(p-k)=.p是質(zhì)數(shù)，并且p6+3也是質(zhì)數(shù)，則pii-52=. (北京市競賽題)若a、b、c、d為整數(shù)，且(a2+b2)(c2+d2)=1997,則a2+b2+c2+d2=.已知a是質(zhì)數(shù),b是奇數(shù)，且a2+b=2001,則a+b=.(第16屆江蘇省競賽題)以下結論中()個結論不正確.(1)1既不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)；(2)大于0的偶數(shù)中只有一個數(shù)不是合數(shù);(3)個位數(shù)字是5的自然數(shù)中,只有一個數(shù)不是合數(shù)；(4)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的自然數(shù),個個都是合數(shù).A.1 B.2 C.3 D.4 (2001年“五羊杯”競賽題)若p為質(zhì)數(shù),p3+5仍為質(zhì)數(shù),p5+7為().A.質(zhì)數(shù)B.可為質(zhì)數(shù)也可為合數(shù)C.合數(shù)D.既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù) （湖北省黃岡市競賽題）超級計算機曾找到的最大質(zhì)數(shù)是2859433-1,這個質(zhì)數(shù)的末尾數(shù)字是（）.A.1 B.3 C.7 D.9若正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2=c2,a為質(zhì)數(shù)，那么b、c兩數(shù)（）.A.同為奇數(shù) B.同為偶數(shù)C.一奇一偶 D.同為合數(shù)設n為自然數(shù),n+3與n+7都是質(zhì)數(shù)，求n除以3所得的余數(shù).試證明：形如111111+9X10n（n為自然數(shù)）的正整數(shù)必為合數(shù).二、能力拓展pp+qq若p、q為質(zhì)數(shù),m,n為正整數(shù),p=m+n,q=mn，則 =.mn—nm若質(zhì)數(shù)m、n滿足5m+7n=129,則m+n=. （河北省競賽題）已知三個質(zhì)數(shù)m、n、p的積等于這三個質(zhì)數(shù)的和的5倍，則m2+n2+p2=.（2004年武漢市選拔賽試題）一個兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后仍是一個兩位質(zhì)數(shù)我們稱它為“無暇質(zhì)數(shù)”，則所有“無暇質(zhì)數(shù)”之和等于.機器人對自然數(shù)從1開始由小到大按如下的規(guī)則進行染色：凡能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1992個數(shù)是. （北京市“迎春杯”競賽題）證明有無窮多個n,使多項式n2+n+41。（1）表示合數(shù)；（2）為43的倍數(shù).已知正整數(shù)p、q都是質(zhì)數(shù)，且7p+q與pq+11也都是質(zhì)數(shù)，試求pq+qp的值.(湖北省荊州市競賽題)三、綜合創(chuàng)新18.1與0交替排列，組成下面形式的一串數(shù)101,10101,1010101,101010101,……請你回答:在這串數(shù)中有多少個質(zhì)數(shù)?并證明你的結論.(2002年北京市競賽題)19.41名運動員所穿運動衣號碼是1,2,?,40,41這41個自然數(shù)，問：能否使這41名運動員站成一排，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和是質(zhì)數(shù)？能否讓這41名運動員站成一圈，使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和都是質(zhì)數(shù)?若能辦到，請舉一例;若不能辦到,請說明理由.答案-12.19963.1998提示：1997為質(zhì)數(shù)4.1999提示：a=2,b=1997.5.A6.C7.A提示:2859433=24x214858,2859444末位數(shù)字為2.C提示:a2=(c+b)(c-b)提示:若余數(shù)為0,即n=3k(k為自然數(shù))，則n+3=3(k+1),3|n+3得n+3不是質(zhì)數(shù),與題設矛盾；若余數(shù)為2,即n=3k+2，則n+7=3(k+3),不是質(zhì)數(shù),與題設矛盾,所以n除以3所得的余數(shù)只能為1.提示:3|11111,3|9X10n-3提示:p=1+q,p=3,q=2,m與n中一個為1,一個為2.12.19或2513.78提示：由mnp=5(m+n+p),得m、n、p中必有一個是5,設m=5,則np=5+n+p,n=—~-,從而p=2,n=7或p=7,n=2.P-114.42915.2001提示：(1)當n=41k時，(k=1,2…)時，原式=(41k)2+41k+41=41(41k2+k+1).(2)當n=1+43k(k=0,1,2…)時，原式=(43k2)+3X43k+43提示:pq+11>11且pq+11是質(zhì)數(shù)知,pq+11必為正奇數(shù)，從而p=2或q=2.若p=2,此時7p+q與2q+11均為質(zhì)數(shù)，設q=3k+1，則q+14=3(k+5)不是質(zhì)數(shù)；設q=3k+2，則2q+11=3(2k+5)不是質(zhì)數(shù)，因此,q應為3k型的質(zhì)數(shù)，當然只能是q=3.當q=2,此時7p+q與2p+11均為質(zhì)數(shù)，設p=3k+1，則7p+2=3(7k+3)不是質(zhì)數(shù)；設p=3k+2，則2p+11=3(2k+5)不是質(zhì)數(shù)，q=3,故pq+qp=q=3,故pq+qp=17.10101QTO1當k33時都是合數(shù),上個1注意到N是由k個1與k-1個0組成的2k-1位數(shù)，則11N=11xi0ioi皿01=mmi=mil-(10k+1)(k^3),上個1 2上個1 k個即11N是一個由2k個1組成的2k位數(shù).①當k為不小于3的奇數(shù)時,1111QJ11,k個1綜合(1)、(2)知p=3,q=2或p=2,提示:顯然，101是個質(zhì)數(shù),下面證明N=0k+1因此必有11|10k+1,即]]=M>1,所以N=[1,1]XM是個合數(shù).上個1z_^個^11-11②當k是不小于3的偶數(shù)時,11|11^，即F-=m②當k是不小于3的偶數(shù)時,11|k個1所以N=M2X(10k+1)是個合數(shù).綜合①、②,當k33時,N=10101…01必為合數(shù)，所以，在101、10101、1010101- V 'k個中只有101是一個質(zhì)數(shù).提示：(1)能辦到注意到41到43都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)，顯然，它們只能都是奇數(shù)，因此，在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列，不妨先將奇數(shù)排成一排：1,3,5,7,?,4