53 收斂性與穩(wěn)定性

第五章常微分方程的差分方法5.3線性多步法一、 教學(xué)目標(biāo)及基本要求通過(guò)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握常微分方程、常微分方程方程組的線性多步法。二、 教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配本節(jié)課主要介紹常微分方程的數(shù)值解法。具體內(nèi)容如下：講授內(nèi)容：歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式。三、 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：開(kāi)型求解公式，閉型求解公式。教學(xué)難點(diǎn)：收斂性與穩(wěn)定性。四、 教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題多媒體課堂教學(xué)為主。適當(dāng)提問(wèn)，加深學(xué)生對(duì)概念的理解五、 正文線性多步法及其收斂性與穩(wěn)定性、方程組與高階方程1引言收斂性問(wèn)題微分方程數(shù)值解法的基本思想是：通過(guò)某種離散化手段，將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程（代數(shù)方程）來(lái)求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差分問(wèn)題的解七，當(dāng)hT0時(shí)是否會(huì)收斂到微分方程的準(zhǔn)確解火七），需要注意的是，如果只考慮hT0，那么節(jié)點(diǎn)氣=%*nh對(duì)固定的n將趨向于X，這時(shí)討論收斂性是沒(méi)有意義的，因此，當(dāng)hT0時(shí)，同時(shí)nF時(shí)才合理。定義：若一種數(shù)值方法對(duì)于任意固定的氣=Xo+nh，當(dāng)hT0（同時(shí)nF）時(shí)，有七T貝氣），則稱該方法是收斂的。

考察歐拉公式〉=〉+hf3，〉）（i）考察歐拉公式n+1 n nn（1）設(shè)七+1為在'n=火七）條件下按歐拉公式計(jì)算的結(jié)果，yn+1=y（Xn）+hf（Xn,y（Xn）） （2）y（Xn+i）—yn+1即為局部截?cái)嗾`差。T"L(Xn+1)-七+1=2y?，存在常數(shù)C使y(Xn+1)-yn+1VCh2 (3)考慮整體截?cái)嗾`差￡?。╔n+1）-'n+J（無(wú)尸變）條件），由于"(氣+1)—"(氣+1)—yn+1vy(氣+1)—yn+1+'n+1—七+1（4）（1）-（2）得:y—y=y(x)—y+h(f(x,y)—f(x,y(x)))n+1 n+1 nn nn nn由常微分方程李普希茲條件得：y—yV|y(x)—y|+hL|(y(x)—y)|=(1+hL)|(y(x)—y)|n+1 n+1 nn nn nn (5)由(3)，(4)，(5)式得e1<(1+hL)e+Ch2e<(1+hL)ne+史[(1+hL)—1]遞推得n 0L又1+hL<ehL，設(shè)xnfo=nh<T(T為定數(shù))，則(1+hL)n<enhL<eTLe<eTLe+C(eTL—1)h故n0L若初值準(zhǔn)確，則h-0時(shí)enT0,歐拉公式是收斂的。進(jìn)一步考察一般的單步法：所謂單步法，就是在計(jì)算’n+1時(shí)只用到它前一步的信息yn。顯式單步法的共同特征是，它們都是將yn加上某種形式的增量得出> 其計(jì)算公式的形式為.>=>+h3，>，h）中3,>,h）稱為增量函數(shù)n+1，其計(jì)算公式的形式為：n+1n nn，nn稱為增量函數(shù)，不同的單步法，對(duì)應(yīng)不同的增量函數(shù)。定理：?jiǎn)尾椒M足條件1甲（無(wú)又h）一甲（乙又h）|-七1>—y1（李普希茲條件），且設(shè)初值y0是準(zhǔn)確的，即*=火％），則該單步法是收斂的。2穩(wěn)定性問(wèn)題對(duì)于一個(gè)數(shù)值方法，即使是收斂的，由于初始值一般都帶有誤差，同時(shí)，在計(jì)算過(guò)程中還常常產(chǎn)生舍入誤差，這些誤差又必然會(huì)傳播下去，對(duì)后續(xù)的計(jì)算結(jié)果都將產(chǎn)生影響，數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題是討論這種誤差的積累和傳播能否得到控制的問(wèn)題。 — ..二定義若用某一數(shù)值方法計(jì)算^n時(shí)，所得到的實(shí)際計(jì)算結(jié)果為^n，且由擾8=|y—ylm【、【u攵甘占y（m>n） 5 16K|8I,動(dòng)nnn弓I起以后各節(jié)點(diǎn)'m ，的擾動(dòng)為m，如果總有mn則稱該方法是穩(wěn)定的。一種數(shù)值方法是否穩(wěn)定，不僅與該數(shù)值方法本身有關(guān)，而且還與微分方程的右端函數(shù)f（X，y），以及步長(zhǎng)h有關(guān)，因此穩(wěn)定性問(wèn)題比較復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化討論只考慮模型方程y,=^yx<0，y（0）=y0歐拉公式穩(wěn)定性：y=（1+hX）yn+1 nyn處有擾動(dòng)8n，它的傳播使節(jié)點(diǎn)七+1產(chǎn)生擾動(dòng)8n+1，假設(shè)歐拉公式計(jì)算中不再引入新誤差，則8n+廣E"）8n如果原差分方程七廣（1+""Rn的解不增長(zhǎng)，即有頃〃+1囪七'，就能保證歐拉方法的穩(wěn)定性。yn+1=（1+"^）yn的解不增長(zhǎng)，h需要充分小，使11+源^1。故歐拉方法是條件穩(wěn)定的。

隱式歐拉公式穩(wěn)定性:1yn+1=yn+辦yn+1^ +1=布<1,從而頃〃/'1、」，隱式歐拉公式是恒穩(wěn)定的。3方程組與高階方程(1)一階方程組直接推廣各種算法到方程組z)，=如[z'=g3y,z),z(%)=zo令x廣xo+nh，?z表示節(jié)點(diǎn)七上的近似解。改進(jìn)的歐拉公式為:y=y+hf(x,y,z)/n+1 n nnn預(yù)報(bào)】"=z+hg(x,y,z)校正n+1n nnnh…， 、一 、、y=y+=[f(x,y,z)+f(x,y,z)]n+1n2nnn n+1n+1n+1h「， 、/ z=z+[g(x,y,z)+g(x,y,z)]n+1n+1 n2nnn n+1nn+1四階龍格一庫(kù)塔方法為:hy1hy1=y+g[%+2K2+2K3+K4]hz=z+-[L+2L+2L+L]

n+1 n61 2 3 4K=f(x,y,z),L=g(x,y,z)1K2=fjy2K=f(x,yn+1 n2K=f(x,yn+1 nnnnnn+2L')L2h+-L)L3=g(x「y2 n+ '2n1+1K知h+22z+hK,z+hL),L=g(x,y+hK,z+hL)3n34 n+1n3n3+2Kzn+2勺h h丁、+2氣,zn+22(2)化高階方程為一階方程組p"=f3y,y)對(duì)〔火*-咋y(*-y0，引入新變量Z=y即可化為一階方程組：y-z,y(