北師大版九年級上冊數(shù)學《1.3 正方形的性質(zhì)與判定 第2課時 正方形的判定》課件

第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質(zhì)與判定第2課時正方形的判定1.正方形的四個角都是______，四條邊______．2.正方形的對角線相等且______________．3.正方形的一條對角線長為4，則這個正方形的面積是(

)A.8

B.4

C.8

D.16直角相等互相垂直平分A舊知回顧自學互研探索正方形的判定方法將一長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？活動1答：剪下一個等腰直角三角形．滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形1.一組鄰邊相等2.對角線互相垂直問題1猜想：證一證已知：如圖,在矩形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形,

∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.

∵AC⊥DB,

∴AD=AB=BC=CD,

∴四邊形ABCD是正方形.把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀．量量看是不是正方形．活動2

滿足怎樣條件的菱形是正方形？問題2菱形正方形1.一個角是直角2.對角線相等猜想：證一證已知：如圖,在菱形ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.

∵AC=DB,

∴AO=BO=CO=DO,

∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,

∴四邊形ABCD是正方形.歸納總結(jié)正方形的判定定理：(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形．(2)

對角線互相垂直的矩形是正方形．(3)

有一個角是直角的菱形是正方形．(4)對角線相等的菱形是正方形．練一練在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（

）A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠A=∠CC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO自主探究正方形判定定理的應用1.將一張矩形紙片對折兩次(兩條折痕互相垂直)，然后剪下一個角后，打開這個角，如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成

(

)

A.22.5°

B.30°

C.45°

D.60°2.下列說法不正確的是

(

)

A.對角線互相垂直的矩形是正方形

B.對角線相等的菱形是正方形

C.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

D.一組鄰邊相等的矩形是正方形CC典例講解在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎？為什么？證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，

∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.例1在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是正方形．證明：∵BF∥CE,CF∥BE,

∴四邊形BECF是平行四邊形,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC＝90°,∠DCB＝90°,

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB

,

∴∠EBC=

∠ABC=45°,∠ECB=

∠DCB=45°,

∴∠EBC=ECB,∴EB=EC,

∴□BECF是菱形（菱形的定義）,

∵△EBC中∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠BEC=90°,

∴菱形BECF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.例2FABECD證明：∵DE⊥AC，DF⊥BC

，∴∠DEC=∠DFC=90°.

又∵∠C=90°，

∴四邊形CEDF是矩形.

過點D作DG⊥AB，垂足為G.

∵AD是∠CAB的平分線,

DE⊥AC，DG⊥AB，

∴DE=DG.同理得DG=DF，

∴ED=DF，

∴四邊形CEDF是正方形.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D．DE⊥AC，DF⊥AB．求證：四邊形CEDF為正方形．ABCDEF例3G已知：如圖,D是△ABC的BC邊上的中點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別是E、F,且BF＝CE.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當∠A＝90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論．解：(1)∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD＝∠CED＝90°，

又∵BD＝CD，BF＝CE，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴∠B＝∠C，故△ABC是等腰三角形．練一練(2)四邊形AFDE是正方形；證明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四邊形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF＝DE，∴矩形AFDE是正方形．菱形有一個內(nèi)角是直角正方形對角線垂直平行四邊形有一個內(nèi)角有一組鄰邊相等對角線相等一組鄰邊相等定方法5種判四邊形一個角是直角且一組鄰邊相等三個角是直角四條邊相等矩形課堂小結(jié)是直角1.下列條件中，能判定四邊形是正方形的是(

)A.4個角都是直角

B.對角線互相平分且垂直

C.對角線相等且互相平分

D.對角線相等、互相垂直且互相平分2.已知平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，若AB＝BC，且AC＝BD，則平行四邊形ABCD是________．檢測反饋D正方形3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形．證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.

又∵∠ACB＝90°，

∴四邊形CEDF是矩形．

∴矩形CEDF是正方形．4.如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．(1)請判斷四邊形EFGH的形狀，并說明為什么？(2)若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對角線應具有怎樣的性質(zhì)？解：(1)四邊形EFGH是平行四邊形．理由是：連BD，EH、FG分別是△ABD和△CBD的中位線，∴EH∥BD∥FG，EH＝BD＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；(2)四邊形ABCD的對角線垂直且相等．5.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分ABC

,

P是BD上一點,過點P作PMAD

,

PNCD

,垂足分別為M、N.(1)求證：ADB=CDB；(2)若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：(1)∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.又∵BD=BD∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.

∵∠ADB=∠CDB;∴DB平分∠ADC.

又∵∠PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN.∴四邊