加強和改進(jìn)高等數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)一些實踐和體會

加強和改進(jìn)高等數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)

一些實踐和體會同濟(jì)大學(xué)國家工科數(shù)學(xué)基地郭鏡明guojm@加強基本概念教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個永恒主題，是加強“三基”(基本概念、基本理論、基本方法)的基礎(chǔ)。

當(dāng)前出現(xiàn)了某種“弱化”的傾向，原因是多方面的，諸如：教學(xué)時數(shù)的限制新教師缺乏經(jīng)驗，準(zhǔn)備不足，“不會講”概念學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念“平均能力”的下降應(yīng)試教學(xué)傾向的抬頭，把教學(xué)變成了一個講例題、做習(xí)題、答考題的枯燥過程

如何加強基本概念教學(xué)，要考慮具體的課程特點和所面對的學(xué)生情況，就高等數(shù)學(xué)而言：課程特點：基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、與實際聯(lián)系的緊密性學(xué)生情況：一年級新生抽象思維能力較弱，對形式符號不習(xí)慣概念教學(xué)的基本要件１．概念的引入（幾何、物理等應(yīng)用背景或數(shù)學(xué)背景，概念的直觀描述）２．概念的表述（數(shù)學(xué)表述、圖形表述、語言表述）３．對概念的內(nèi)涵、外延的進(jìn)一步說明（例子、注記、比較等）４．概念的應(yīng)用（實際應(yīng)用、數(shù)學(xué)應(yīng)用）概念教學(xué)的基本要求１．準(zhǔn)確性２．透徹性３．生動性（可接受性）（本文側(cè)重后兩點談些體會）加強和改進(jìn)基本概念教學(xué)之一：

努力揭示基本概念的客觀背景及其在解決實際問題中的意義，盡可能給出幾何解釋、物理解釋以及其他聯(lián)系實際的解釋。例１在教學(xué)過程中經(jīng)常強調(diào)導(dǎo)數(shù)f

(x)作為變化率的實際意義，并以此解釋一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論.從變化率角度解釋復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式：反函數(shù)的求導(dǎo)公式：參數(shù)方程求導(dǎo)公式：從變化率角度來解釋近似等式從變化率角度來解釋微分中值定理從變化率角度(如經(jīng)濟(jì)增長率)來說明f

(x)的符號決定函數(shù)的增減從兩種不同的實際變化率，導(dǎo)出二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)概念例２一些聯(lián)系學(xué)生實際經(jīng)驗的解釋(或類比)對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和方法很有好處。例如二重積分中的極坐標(biāo)變換的作用可用下圖說明。此時，“自然”的“求和”法應(yīng)是先向徑后幅角，而不是先垂直后水平。

類比不能牽強附會，簡單化，更不能粗俗加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之二：

努力揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號后面的數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)教育學(xué)奠基人，荷蘭數(shù)學(xué)家H.Freudenthal(1908~1990)有一句名言：

“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以其被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來。一個問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得大熱的思考變成了冰冷的美麗?！?/p>

教學(xué)藝術(shù)就是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)，因此高等數(shù)學(xué)教師的任務(wù)就是：幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)微積分”，即發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷的形式”后面的“大熱的思考”。例３無窮級數(shù)概念的引入第一步以學(xué)生原有知識作為引例，如求曲邊三角形面積時遇到的一個級數(shù);以及2的平方根:問題：如何理解無窮多個數(shù)相加(這是“不可完成”的！)得出一個數(shù)？第二步歷史爭論：Zeno’sParadox(芝諾悖論)Zeno：這是一個沒有終結(jié)的過程，因此永遠(yuǎn)跑不到原點。

實際經(jīng)驗告訴我們：若等速行進(jìn)，跑一半路程化時間T，則跑完全程應(yīng)化時間2T，即有？如何理解此等式?解決此悖論，要引進(jìn)極限方法：先算前n項之和：讓，上述和．(與實際經(jīng)驗相符！)可見，要把無限多項之“和”＝2T理解為前n項之和，當(dāng)時的極限。但是，如果以如下方式減速前進(jìn)：此時需化時？實際經(jīng)驗不能給我們?nèi)魏螁⑹?！若先考慮，則有在這種情況下，Zeno是有道理的：永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點。第三步幾點結(jié)論：

1．無窮級數(shù)是以加法形式出現(xiàn)的極限問題；

2．正由于本質(zhì)是極限，故出現(xiàn)“極限是否存在”的問題，即無窮多項“相加”可能是“沒有和”的；

3．正由于本質(zhì)是極限，故加法的性質(zhì)(如交換律、結(jié)合律等)不可以無條件平移過來；第四步正式定義無窮級數(shù)、部分和、和等概念。加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之三：

作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，注意展示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和相互區(qū)別，讓學(xué)生從比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從而從整體上把握所學(xué)到的諸多概念。

例4微積分以函數(shù)作為研究對象，而研究的主要方法是分析增量x和y的關(guān)系，可以說，增量分析是微積分的核心內(nèi)容。以增量分析為線索，可以串聯(lián)微積分中的諸多基本概念和定理。連續(xù)：；可導(dǎo)：；可微：；微分中值定理：

N-L公式：發(fā)展脈絡(luò)二元函數(shù)相互聯(lián)系存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可微連續(xù)可偏導(dǎo)存在各方向的方向?qū)?shù)與一元函數(shù)相關(guān)概念的比較(特別注意“異”)二重極限VS一元極限偏導(dǎo)數(shù)VS一元導(dǎo)數(shù)全微分VS一元微分二重極限偏導(dǎo)數(shù)全微分方向?qū)?shù)梯度例5多元微分學(xué)中基本概念的相互聯(lián)系例6梯度與多元微分學(xué)其他概念的聯(lián)系：梯度與方向?qū)?shù)；梯度與等量面、等量線；梯度與曲面（曲線）的法向量；梯度與極值；梯度與Lagrange乘子法．梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系ff=-PDf=c3f=c2f=c1(x,y)=0目標(biāo)函數(shù):約束條件:例7對學(xué)得好一些的學(xué)生，還可講講一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的梯度、上的變換的雅可比矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，指出這三者作為“變化率”的相似之處。

對有些相近、相似或相關(guān)的概念，可把它們歸并成組加以比較，以突出相互之間的區(qū)別。

例如一元微積分中如下的這些概念組：數(shù)列極限與函數(shù)極限；發(fā)散量、無界量與無窮大量；一點處的連續(xù)（可導(dǎo)）與一個區(qū)間上的連續(xù)（可導(dǎo)）；左右極限與左右導(dǎo)數(shù)；駐點、極大（?。┲迭c與最大（?。┲迭c；連續(xù)性、可導(dǎo)性與可積性；原函數(shù)、不定積分與定積分；可積性與存在原函數(shù)；定積分與反常積分；無窮小量、微分與微元；離散量的平均值與函數(shù)的平均值，等等

加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之四：

恰當(dāng)利用多媒體等現(xiàn)代教學(xué)手段，充分利用現(xiàn)有資源庫，制作適用的課件，直觀生動地展示數(shù)學(xué)基本概念。例8函數(shù)與它的M-多項式，F(xiàn)-多項式的逼近。

(2)條件極值問題的幾何說明例9

(1)二元函數(shù)極值與一元函數(shù)極值的差別目標(biāo)函數(shù)：約束條件：加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之五：

對比較復(fù)雜的概念，要分解整理，理出所涉及的前期概念，先讓學(xué)生搞清楚;同時找出影響學(xué)生理解概念的難點，作重點講解例10第二類曲線(曲面)積分的定義中涉及“有向曲線(曲面)”的概念，在計算時還涉及有向曲線(曲面)及其切向量(法向量)的分析表示，教材上的處理一般比較簡略，教學(xué)中容易忽略，造成學(xué)生理解上的困難。因此在定義積分前，要先把這些前期概念交代清楚。例如對第二類曲線積分，可取如下的次序講解：有向曲線的幾何說明（分非閉曲線和閉曲線兩種情況)有向曲線上各點處的切向量的指向的規(guī)定有向曲線及其切向量的分析表示(分參數(shù)方程和顯式方程兩種情況)引例:變力沿曲線所作的功第二類曲線積分的定義

(第二類曲面積分的情況相類似)加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之六：

改變目前習(xí)題和考題重技巧、輕概念的情況，設(shè)計簡單而有效的概念測試題，在平時練習(xí)并在考試中使用。例11美國教材中有關(guān)概念題舉例：

ThomasCalculus在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”的章復(fù)習(xí)題中，共出了20道概念問答題，如：

1）函數(shù)在其定義域上的極值和最值的含義是怎樣的？如果兩者都有，那么它們的關(guān)系是怎樣的？試舉例說明。

2）如果函數(shù)f在定義域的內(nèi)點處取得極值，該點處的f會有怎樣的情況？由這一事實可導(dǎo)出怎樣的求f的極值的步驟？

3)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論是什么？對這個定理可作怎樣的物理解釋？

4)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)告訴你有關(guān)函數(shù)圖形的什么信息？(注:對一階和二階導(dǎo)數(shù)的符號和絕對值的作用進(jìn)行比較對照,是很有意義的)5)什么是函數(shù)f(x)在點x=a處的線性逼近？為使f在點a處存在線性逼近，f應(yīng)滿足什么條件？舉例說明線性逼近有何應(yīng)用.

等等例12Stewart編Calculus中的“定性作圖題”：根據(jù)下面左半圖的要求，在右邊畫出相應(yīng)的曲線的圖形。例13Varberg

編Calculus中“一元積分學(xué)”中的有關(guān)概念題。例14我們自己編制的有關(guān)概念的考試題：加強和改進(jìn)基本概念的教學(xué)之七：

從美國微積分教材中吸取加強基本概念教學(xué)的某些好的理念和做法．“４規(guī)則”(RuleofFour):對數(shù)學(xué)對象應(yīng)盡可能地從幾何、數(shù)值、分析、語言四個方面加以闡明“阿基米德原理”(ArchimedesPrinciple)正式的定義和方法應(yīng)根據(jù)對實際問題的探究而得出(即“問題驅(qū)動式”的講授法)“４規(guī)則”舉例：例15函數(shù)的局部線性化圖形顯示：在局部范圍，可微曲線y=x2的性態(tài)就象一條直線分析表示：一般說來，在f(x)可微的點x=a處，曲線y=f(x)的切線方程是：y=f(a)+f(a)(x-a)，切線方程，即線性函數(shù)L(x)=f(a)+f(a)(x-a)，就給出了f(x)的很好的近似。用語言定義”線性化”：如果f在x=a處可微，那么近似函數(shù)L(x)=f(a)+f(a)(x-a)稱為f在x=a處的線性化。數(shù)值驗證：在x=０處，近似式的精度近似值｜真值-近似值｜<10-2<10-3<10-5當(dāng)x的值離開０較遠(yuǎn)時，誤差就加大了，例如對x=2，線性化對的近似值為2，連一位小數(shù)的精度都沒有?！皢栴}驅(qū)動法”舉例例16講了重要極限后，問：若一年分n次計算復(fù)利，則銀行存款現(xiàn)值P和將來值B之間的關(guān)系如何？在連續(xù)復(fù)利下，即，則得：若本金為1，利息為100%，t=1，則得B=e．本題不僅實用，且使學(xué)生對e及其重要極限的感覺親切得多！

關(guān)于“問題驅(qū)動式”數(shù)學(xué)教學(xué)，張奠宙、張蔭南教授也作了很好的闡述，并稱此為NCM（NewConceptMathematics）指出：這種教學(xué)方法的實質(zhì)“是暴露數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不要把活潑的數(shù)學(xué)思想淹沒在形式的海洋里”建議：”在一些基本概念、基本理論和基本定理的建立時，不能滿