麥克斯韋分子速率分布定律

§7-5麥克斯韋分子速率分布定律重點(diǎn)：麥克斯韋氣體分子速率分布律、三種統(tǒng)計(jì)速率

N個(gè)理想氣體分子，當(dāng)氣體處于溫度為T的平衡態(tài)時(shí)宏觀：微觀：各分子不停運(yùn)動(dòng)且頻繁碰撞，不斷變化，無規(guī)運(yùn)動(dòng)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為：分子的方均根速率rootmeansquarespeed～對(duì)給定氣體來說，當(dāng)其T恒定時(shí)，也是恒定。表明：從大量分子整體看來，在一定條件下，處于熱平衡狀態(tài)的氣體的速度遵從一定統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律的。

麥克斯韋1859年氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)定律概率理論玻耳茲曼1877年經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)1920年施持恩(O.Stern,1888-1969)1934年我國(guó)物理學(xué)家葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)氣體分子以各種大小的速度沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)著，由于這種碰撞使得每個(gè)分子的速度大小和方向時(shí)刻不停地發(fā)生變化。

在某一特定時(shí)刻去考察某一特定分子，其速度的大小、方向完全是偶然的。

一、測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)圓盤B與C：速率選擇器實(shí)驗(yàn)指出，當(dāng)圓盤以不同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從屏上可測(cè)量出每次所沉積的金屬層的厚度，各次沉積的厚度對(duì)應(yīng)于不同速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比較這些厚度的比率，就可以知道在分子射線中，不同速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)之比（概率）。實(shí)驗(yàn)表明:在實(shí)驗(yàn)條件不變的情況下，分布在給定速率區(qū)間內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)則是完全確定的。二、麥克斯韋氣體分子速率分布定律速率分布函數(shù)

～為了定量地描述氣體分子按速率分布的規(guī)律，引入速率分布函數(shù)概念。

設(shè)在平衡狀態(tài)下，一定量氣體的分子總數(shù)為N，其中速率在v～v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為dNdN/N為N個(gè)氣體分子中，在速率v附近處于速率區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子數(shù)dN與總分子數(shù)N的比值，也表示分子在速率v～v+dv區(qū)間內(nèi)的概率。說明：①在不同的v附近取相等的間隔dv，

一般的值是不同的；

即與v有關(guān)，它與v的一定函數(shù)成正比。

②在給定的v附近，若dv增加，則分布在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN及也是增加的。若dv足夠小，總可以認(rèn)為。

總之有：

～速率分布函數(shù)

～分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。對(duì)處在一定溫度下的氣體，其僅為速率v的函數(shù)。

其物理意義：氣體分子在速率v附近單位速率間隔的概率，也叫做概率密度。

任一有限速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：

∵全部分子N分布在0～∞速率范圍內(nèi)，

即上式中，令～速率分布函數(shù)的歸一化條件

作業(yè)：P267問題7-72.麥克斯韋氣體分子速率分布定律～1859年麥克斯韋首先從理論上導(dǎo)出在平衡狀態(tài)下，分子間的相互作用力可忽略不計(jì)時(shí)，分布在任一速率區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子的比率為：面積=dNv/N式中:T為氣體的溫度，m為分子的質(zhì)量，k為玻耳茲曼常量

～麥克斯韋速率分布定律。表示在速率區(qū)間的相對(duì)分子數(shù)，或分子處于此速率區(qū)間的概率。圖線，圖中的矩形面積，曲線下的總面積表示速率分布在由零到無限大整個(gè)區(qū)間內(nèi)的全部相對(duì)分子數(shù)的總和；麥克斯韋氣體分子速率分布定律是氣體動(dòng)理論的基本規(guī)律之一。

三、三種統(tǒng)計(jì)速率1）最概然速率

令Ovf(v)vp在的關(guān)系曲線中，與的極大值相對(duì)應(yīng)的速率叫做最概然速率，也稱為最可幾速率。的物理意義是：如把氣體分子的速率分成許多相等速率間隔，則氣體在一定溫度下分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最多。即，分子分布在附近的概率最大。2）平均速率式中：Ni(i=1,2,3…)具有速率vi(i=1,2,3…)

～一定量氣體的分子數(shù)為N，則所有分子速率的算術(shù)平均值。

用dN代表氣體分子速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，則

令利用積分式：

～大量氣體分子速率平方的平均值的平方根。

3)方均根速率：～與平均平動(dòng)動(dòng)能與溫度關(guān)系式所得相同結(jié)論：①氣體的三種速率均與成正比，與(或)成反比；

②Ovf(v)vp討論分布研究碰撞計(jì)算平動(dòng)能～以上三種速率都具有統(tǒng)計(jì)平均的意義，都反映了大量分子作熱運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。①m一定,分布曲線隨m,T

變化討論曲線峰值右移，總面積不變，曲線變平坦②T一定,～曲線峰值左移，總面積不變，曲線變尖銳。Ovf(v)vp2vp1m1m2>m1T一定練習(xí)1:①②③④下列答案中正確的是：Ovf(v)v0SASB練習(xí)2求速率在區(qū)間的分子的平均速率解一：解二：哪一種解法對(duì)？作業(yè)：P269習(xí)題7-117-14歷史上，曾因氣體分子的方均根速率(或平均速率)具有數(shù)百米每秒這一計(jì)算結(jié)果，引起一些人對(duì)早期的氣體動(dòng)理論的懷疑和責(zé)難。

例（P247）計(jì)算在0℃時(shí)，氧氣、氫氣和氮?dú)夥肿拥姆骄俾省Ｕf明氣體～100m/s克勞修斯為說明這類分子碰撞問題，還提出了分子碰撞次數(shù)和自由程的概念，它不僅解決了上述質(zhì)疑，而且使氣體動(dòng)理論建立在更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上，并向前推進(jìn)了一步。在科學(xué)史上，像這一類因受到質(zhì)疑而使理論獲得發(fā)展的事例是很多的。

§7-7分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程

討論分子間的碰撞～氣體動(dòng)理論的重要問題之一。氣體分子通過碰撞來實(shí)現(xiàn)動(dòng)量、能量等交換，由非平衡態(tài)變?yōu)槠胶鈶B(tài)。

一基本概念自由程λ：

分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路徑。

在單位時(shí)間內(nèi)分子與其它分子碰撞的平均次數(shù)～分子每秒平均碰撞次數(shù)。

分子連續(xù)兩次碰撞間所經(jīng)過的路程的平均值。平均碰撞頻率：

平均自由程:

三者之間的關(guān)系：

二與氣體的性質(zhì)、狀態(tài)之間的關(guān)系

建立剛性模型：

兩個(gè)分子質(zhì)心間最小距離的平均值認(rèn)為是鋼球的直徑，即分子的有效直徑；分子間的相互作用過程均視為完全彈性碰撞。

為了確定，設(shè)想“跟蹤”一個(gè)分子，數(shù)一數(shù)該分子在時(shí)間t內(nèi)與多少個(gè)分子相碰，其主要是分子間相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

“跟蹤”一個(gè)分子A，認(rèn)為其它分子不動(dòng)，A以平均相對(duì)速率

相對(duì)其它分子運(yùn)動(dòng)。A球心軌跡：折線質(zhì)心與折線距離≤

d

的分子將與A相碰；時(shí)間

t

內(nèi)，A通過的折線長(zhǎng)以折線為軸的曲折圓柱體積圓柱內(nèi)分子數(shù)質(zhì)心與折線距離>d

的分子將不與A相碰單位時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù)平均相對(duì)速率ABABAB～可利用麥克斯韋氣體分子速率分布定律證明

平均碰撞頻率一般：常溫常壓下：為分子有效直徑d的數(shù)百倍分子平均自由程～每秒鐘一個(gè)分子竟發(fā)生幾十億次碰撞！作業(yè)：P270習(xí)題7-18思考題：P268問題7-12～7-15氣體處于平衡態(tài)時(shí)，各部分的溫度和壓強(qiáng)都是相同的，氣體內(nèi)各氣層之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)?！?-8氣體的遷移現(xiàn)象氣體處于非平衡狀態(tài)時(shí)，氣體內(nèi)或許各部分的溫度不相等，或許各部分的壓強(qiáng)不相同，或許各氣層之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，或許這三者同時(shí)存在?！诜瞧胶鉅顟B(tài)下氣體的遷移現(xiàn)象即，當(dāng)系統(tǒng)各部分的物理性質(zhì)如流速、溫度或密度不均勻時(shí)，系統(tǒng)則處于非平衡態(tài)。在不受外界干預(yù)時(shí)，系統(tǒng)總是要從非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡。這種過渡稱為輸運(yùn)過程。從非平衡態(tài)向平衡態(tài)過渡時(shí)，氣體內(nèi)將有能量、質(zhì)量或動(dòng)量從一部分向另一部分定向遷移的現(xiàn)象。氣體的輸運(yùn)過程(遷移的現(xiàn)象)有三種：粘滯現(xiàn)象(內(nèi)摩擦)、熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散。本節(jié)分別簡(jiǎn)要地介紹其基本規(guī)律。一、粘滯現(xiàn)象物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)要受到粘滯(內(nèi)摩擦)力的作用；氣體中各氣層間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，氣層間也有粘滯力的作用?！珰怏w內(nèi)部各氣層之間相互作用的力。注意：②效果：它可使流動(dòng)速度較快的氣層變慢，而使流動(dòng)速度較慢的氣層變快。①粘滯力是成對(duì)出現(xiàn)的。由于氣體內(nèi)各氣層間存在相對(duì)流動(dòng)速度，而使氣體內(nèi)部產(chǎn)生流動(dòng)速度變化的現(xiàn)象，叫做氣體粘滯現(xiàn)象如圖所示，設(shè)氣體的溫度和分子數(shù)密度均為恒定值。將氣體分成許多平行于0yz平面的氣層，各氣層在y軸方向的流動(dòng)速度是不同的，且沿x軸的正向增大。在x軸上取A、B兩點(diǎn):～速度梯度實(shí)驗(yàn)表明:粘度(又稱粘性系數(shù))國(guó)際單位制中，η的單位：～氣體粘度與氣體的性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān)，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)定微觀機(jī)制(氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn))氣體流動(dòng)時(shí)，氣體分子除具有熱運(yùn)動(dòng)的速度外，還具有定向運(yùn)動(dòng)速度(即氣體的流動(dòng)速度)．由于,假定氣體的溫度T=C(即氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)平均速率為一常量)，氣體分子數(shù)密度n=C。～在任意時(shí)間內(nèi)，ΔS兩側(cè)的分子通過ΔS所交換的分子數(shù)亦相等。氣體粘滯現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是分子定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的遷移，而這種遷移是通過氣體分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。二、熱傳導(dǎo)～設(shè)氣體內(nèi)各氣層之間沒有相對(duì)流動(dòng)速度，且各處氣體分子數(shù)密度均相同,物體內(nèi)各部分溫度不均勻時(shí)，將有熱量由溫度較高處傳遞到溫度較低處的現(xiàn)象。在x軸上取A、B兩點(diǎn):～溫度梯度實(shí)驗(yàn)表明:熱量傳遞的方向與溫度梯度的方向相反熱導(dǎo)率國(guó)際單位制中，κ的單位：微觀機(jī)制(氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn))當(dāng)ΔS右側(cè)氣體的溫度高于左側(cè)氣體的溫度時(shí)，右側(cè)氣體分子的平均動(dòng)能要大于左側(cè)氣體分子的平均動(dòng)能。因?yàn)闅怏w分子的數(shù)密度n處處相等在dt時(shí)間內(nèi)，由于熱運(yùn)動(dòng)的原故，ΔS兩側(cè)的分子通過ΔS所交換的分子數(shù)亦相等。右側(cè)分子的平均動(dòng)能比左側(cè)的大，因而ΔS左、右兩側(cè)的氣體分子穿過ΔS交換的平均動(dòng)能是不等值的。宏觀來看，能量從溫度高的地方傳遞到溫度低的地方氣體熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是分子熱運(yùn)動(dòng)能量的定向遷移，這種遷移是通過分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來完成的。三、擴(kuò)散現(xiàn)象擴(kuò)散的原因：一種氣體可以滲透到另一種氣體中去，或者從氣體某一部分滲透到其他部分，前者稱為互擴(kuò)散，后者稱為自擴(kuò)散①容器中氣體的分子數(shù)密度不同；②溫度不同；③氣體中各氣層流動(dòng)速度不同。只討論由于分子數(shù)密度不同而產(chǎn)生的擴(kuò)散在x軸上取A、B兩點(diǎn):～分子數(shù)密度梯度實(shí)驗(yàn)表明:分子擴(kuò)散的方向與分子數(shù)密度梯度的方向相反國(guó)際單位制中，D的單位：擴(kuò)散系數(shù)如以分子質(zhì)量m乘上式：氣體的密度梯度氣體的質(zhì)量微觀機(jī)制(氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn))由于分子的無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，ΔS左右兩側(cè)都會(huì)有氣體分子穿過ΔS，但是在