2011高考數(shù)學(xué)一輪 第六章含絕對值的不等式學(xué)案課件4 新人教A版

進(jìn)入學(xué)案4含有絕對值的不等式名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

1.實(shí)數(shù)的絕對值的意義a(a≥0)-a(a<0)，根據(jù)上面定義，對a,b∈R，有|ab|=

,=

(b≠0).對x∈R，a∈R+，有|x|<ax2<a2

;|x|>ax2>a2

.在實(shí)數(shù)集R中，有|a|=|a|·|b|-a<x<ax>a或x<-a名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

2.和差的絕對值與絕對值的和差的關(guān)系定理1

.定理1的推論|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.定理2

.3.含有絕對值的不等式的解法（同解性）（1）|f(x)|<g(x)等價(jià)于

；（2）|f(x)|>g(x)等價(jià)于

；（3）|f(x)|<|g(x)|等價(jià)于

.f2(x)<g2(x)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b||a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|-g(x)<f(x)<g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一絕對值的基本性質(zhì)【例1】設(shè)xy<0,x,y∈R，那么下列各式正確的是（）A.|x+y|>|x-y|B.|x-y|<|x|+|y|C.|x+y|<|x-y|D.|x-y|<|x|-|y|【分析】作為選擇題，可以用特殊值法進(jìn)行判斷，避免復(fù)雜的論證，也可以利用熟悉的絕對值不等式來判斷.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【解析】解法一：（特殊值法）取x=1,y=-2,則滿足xy=-2<0，這樣有|x+y|=|1-2|=1,|x-y|=|1-(-2)|=3,|x|+|y|=1+2=3,||x|-|y||=|1-2|=1.∴只有C成立，而A,B,D不成立.解法二：由xy<0x≠y|x-y|>0.∴|x+y|>|x-y|>0(x+y)2>(x-y)2xy>0與已知矛盾.∴A不成立，易知C成立，也易知B，D不成立.故應(yīng)選C.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評析】這里的不等關(guān)系是對一切滿足xy<0的任意實(shí)數(shù)x,y都成立，因此判斷其不真，只要對滿足條件的某個(gè)x,y指出其不真即可，這是解法一取特殊值的出發(fā)點(diǎn)，解法二是通過將所給的不等關(guān)系進(jìn)行邏輯推理，作出等價(jià)變形，由此等價(jià)的不等關(guān)系來推斷出原不等關(guān)系的真?zhèn)?名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對應(yīng)演練＊已知|a+b|<-c(a,b,c∈R)，給出下列不等式：①a<-b-c;②a>-b+c;③a<b-c;④|a|<|b|-c;⑤|a|<-|b|-c.其中一定成立的不等式是

.（注：把成立的不等式的序號都填上）①②④(由|a+b|<-c得c<a+b<-c.∴-b+c<a<-b-c,∴①②正確，③錯(cuò)誤.由|a|-|b|≤|a+b|<-c得|a|<|b|-c.∴④正確，⑤錯(cuò)誤.故應(yīng)填①②④.)①②④名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考點(diǎn)二絕對值不等式的解法【例2】解下列不等式：（1）|x-x2-2|>x2-3x-4;（2）.【分析】按解絕對值不等式的方法求解.【解析】（1）解法一：原不等式等價(jià)于x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4),∴原不等式的解集為{x|x>-3}.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

解法二：∵|x-x2-2|=|x2-x+2|,而x2-x+2=∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2,故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4x>-3.∴原不等式的解集為{x|x>-3}.（2）9x2≤(x2-4)2(x≠±2)x4-17x2+16≥0x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≤-4或x≥4.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評析】（1）若|f(x)|中的f(x)的值的范圍可確定（包括恒正或恒非負(fù)、恒負(fù)或恒非正），就可直接脫掉絕對值符號，從而簡化解題過程.（2）的解法也可將原不等式轉(zhuǎn)化為-1≤≤1求解，但過程較繁，不如上面的解法簡捷.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對應(yīng)演練＊設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-4|.（1）解不等式f(x)>2;（2）求函數(shù)y=f(x)的最小值.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

（1）令y=|2x+1|-|x-4|,則y=-x-5,x≤-3x-3,-<x<4x+5,x≥4.作出函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象如上圖.它與直線y=2的交點(diǎn)為(-7,2)和(,2)，所以|2x+1|-|x-4|>2的解集為(-∞,-7)∪(,+∞).（2）由函數(shù)y=|2x+1|-|x-4|的圖象可知，當(dāng)x=-時(shí)，y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

考點(diǎn)三絕對值不等式的證明【分析】（1）將x=0，1代入f(x)驗(yàn)證可得.（2）代入，因式分解出|x1-x2|再判定其余部分的大小.（3）添加項(xiàng)并利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮.（4）轉(zhuǎn)化為求f(x)的最大值和最小值問題.【例3】已知f(x)=x2-x+c定義在區(qū)間［0,1］上，x1,x2∈［0,1］，且x1≠x2，證明：（1）f(0)=f(1);（2）|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;（3）|f(x1)-f(x2)|<;（4）|f(x1)-f(x2)|≤.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【證明】（1）f(0)=c,f(1)=c,故f(0)=f(1).（2）|f(x2)-f(x1)|=|-x2+c-+x1-c|=|x2-x1||x2+x1-1|,∵0≤x1≤1,0≤x2≤1,0<x1+x2<2(x1≠x2),∴-1<x1+x2-1<1,∴|f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|.（3）不妨設(shè)x2>x1,由（2）知|f(x2)-f(x1)|<x2-x1①而由(1)知f(0)=f(1),從而|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤|f(x2)-f(1)|+|f(0)-f(x1)|<|1-x2|+|x1|=1-x2+x1②①+②得2|f(x2)-f(x1)|<1,即|f(x1)-f(x2)|<.（4）|f(x2)-f(x1)|≤f最大-f最小=f(0)-f()=.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

【評析】①對于（3）把絕對值符號內(nèi)的式子，采用加減某個(gè)式子后，重新組合，運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)變形，是證明絕對值不等式的典型方法.②高考題關(guān)于絕對值不等式的考查常常和一元二次函數(shù)、一元二次方程結(jié)合在一起作為壓軸題出現(xiàn).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

＊對應(yīng)演練＊已知f(x)=，設(shè)a≠b，求證：|f(a)-f(b)|<|a-b|.證明：∵|f(a)-f(b)|又∵a≠b,∴|a-b|≠0，且>|a|+|b|≥|a+b|.∴|f(a)-f(b)|<≤|a-b|.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

1.解絕對值符號里是一次式的不等式，其一般步驟是：（1）令每個(gè)絕對值符號里的一次式為零，并求出相應(yīng)的根.（2）把這些根由小到大排序，并把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間.（3）由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集.（4）取這些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.2.對于形如|x-a|+|x-b|＞c或|x-a|+|x-b|＜c的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡捷，這又一次體現(xiàn)了數(shù)