計算機組成原理第4章 浮點數運算方法

第4章浮點運算規(guī)則浮點加減運算浮點乘除法運算1編輯課件浮點數的表示機器中任何一個浮點數可寫成：Mx為浮點數的尾數，一般為絕對值小于1的規(guī)格化數(補碼表示時允許為-1)，機器中可用原碼或補碼表示。Ex為浮點數的階碼，一般為整數，機器中大多用補碼或移碼表示。R為浮點數的基數，常用2、8、10或16表示。以下以基數為2進行討論。2編輯課件浮點加減運算設兩個浮點數尾數的加減運算規(guī)則與定點數完全相同。當兩浮點數階碼不等時，因兩尾數小數點的實際位置不一樣，尾數部分無法直接進行加減運算。如：x=0.123×103y=4.56×102=0.456×1033編輯課件浮點加減運算的步驟對階，使兩數的小數點位置對齊。尾數求和，將對階后的兩尾數按定點加減運算規(guī)則求和(差)。規(guī)格化，為增加有效數字的位數，提高運算精度，必須將求和(差)后的尾數規(guī)格化。舍入，為提高精度，要考慮尾數右移時丟失的數值位。判斷結果，即判斷結果是否溢出4編輯課件1.對階這一步操作是將兩個加數的小數點對齊。小階向大階看齊，階碼較小的數，其尾數向右移，每右移一位，階碼加“1”，直到兩數階碼相同為止。尾數右移時可能會發(fā)生數碼丟失，影響精度。

5編輯課件例：兩浮點數x=0.1101×201，y=-(0.1010)×211，求x+y。

（1）首先寫出x、y在計算機中的補碼表示。[x]補=00,01;00.1101，[y]補=00,11;11.0110階碼EX尾數MxEyMy（2）在進行加法前，必須先對階，故先求階差：[ΔE]補=[Ex]補-[Ey]補=[Ex]補+[-Ey]補=00,01+11,01=11,10即ΔE=-2，表示x的階碼比y的階碼小，再按小階向大階看齊的原則，將x的尾數右移兩位，其階碼加2。得[x]’補=00,11;00.0011(01)此時，ΔE=0，表示對階完畢。6編輯課件2.尾數求和將對階后的兩個尾數按定點加(減)運算規(guī)則進行運算。注意：并不考慮溢出——溢出由階碼決定

接上例，兩數對階后得：[x]ˊ補=00,11;00.0011(01)[y]補=00,11;11.0110則[Mx+My]補=00.0011+11.0110=11.1001(01)即[x+y]補=00,11;11.1001(01)7編輯課件3.規(guī)格化如果采用雙符號位的補碼，則當M>0時，其補碼規(guī)格化形式為[M]補=00.1××…×當M<0時，其補碼規(guī)格化形式為[M]補=11.0××…×但對M<0時，有兩種情況需特殊處理。M=-1/2，則[M]補=11.100…0。對于補碼而言，它不滿足于上面的規(guī)格化表示式。為了便于硬件判斷，特規(guī)定-1/2是規(guī)格化的數(對補碼而言)。M=-1，則[M]補=11.000…0。因小數補碼允許表示-1，故-1視為規(guī)格化的數。8編輯課件規(guī)格化又分左規(guī)和右規(guī)兩種。左規(guī)。當尾數出現00.0××…×或11.1××…×時，需左規(guī)。左規(guī)時尾數左移一位，階碼減1，直到符合補碼規(guī)格化表示式為止。右規(guī)。當尾數出現01.××…×或10.××…×時，表示尾數溢出，這在定點加減運算中是不允許的，但在浮點運算中這不算溢出，可通過右規(guī)處理。右規(guī)時尾數右移一位，階碼加1。接上例，求和結果為[x+y]補=00,11;11.1001(01)尾數的第一數值位與符號位相同，需左規(guī)，即將其左移一位，同時階碼減1，得[x+y]補=00,10;(1)11.0010(1)。9編輯課件4.舍入在對階和右規(guī)的過程中，可能會將尾數的低位丟失，引起誤差，影響精度，為此可用舍入法來提高尾數的精度。進行舍入時應滿足兩個要求首先，對每一次運算的結果而言，要保證誤差不超過給定的范圍。比如，設機器尾數長39位，要求每次運算誤差不超過末位（即第39位）的“1”，即小于2-39。其次在大量的運算過程中要保證誤差的平衡，即在每一次運算時，由于舍入處理，可能使運算結果增大了，也可能減少了。但總的說來，增加和減少的機會必需是均等的，否則會產生很大的積累誤差。10編輯課件4.舍入—常用的舍入方法“0舍1入”法：“0舍1入”法類似于十進制運算中的“四舍五入”法，即在尾數右移時，被移去的最高數值位為0，則舍去；被移去的最高數值位為1，則在尾數的末位加1。這樣做可能使尾數又溢出，此時需再做一次右規(guī)。特點：最大誤差是最低位上的-1/2到接近于1/2之間，正誤差可以和負誤差抵消。屬于比較理想的方法，但實現起來比較復雜。

如上例：

[x+y]補=00,10;(1)11.0010(1)=00,10;11.0011“恒置1”法：尾數右移時，不論丟掉的最高數值位是“1”或“0”，都使右移后的尾數末位恒置“1”。這種方法同樣有使尾數變大和變小的兩種可能。特點：誤差范圍擴大，但正負誤差可以相互抵消，實現相對容易。11編輯課件5.溢出判斷在浮點規(guī)格化中已指出，當尾數之和(差)出現01.××…×或10.××…×時，并不表示溢出，只有將此數右規(guī)后，再根據階碼來判斷浮點運算結果是否溢出。若機器數為補碼，尾數為規(guī)格化形式，并假設階符取2位，階碼取7位，數符取2位，尾數取n位，則它們能表示的補碼在數軸上的表示范圍如下圖。A最小負數2+127×(-1)

B最大正數2+127×(1-2-n)

a最大負數2-128×(-2-1-2-n)

b最小正數2-128×2-1

12編輯課件浮點機的溢出與否可由階碼的符號決定。即階碼[E]補=01，××…×為上溢。階碼[E]補=10，××…×為下溢，按機器零處理。當階符為“01”時，需做溢出處理。下溢時，浮點數值趨于零，故機器不做溢出處理，僅把它作為機器零。上溢時才是浮點數真正溢出，機器需停止運算，作溢出中斷處理。一般所說的浮點溢出，均是指上溢。13編輯課件例：設x=2-101×(-0.101000),y=2-100×(+0.111011)，并假設階符取2位，階碼取3位，數符取2位，尾數取6位，求x-y。

解：由x=2-101×(-0.101000)，y=2-100×(+0.111011)得[x]補=11,011;11.011000，[y]補=11,100;00.111011①對階[ΔE]補=[Ex]補-[Ey]補=11,011+00,100=11,111即ΔE=-1,則x的尾數向右移一位，階碼相應加1，即[x]ˊ補=11,100;11.101100②求和[Mx]ˊ補-[My]補=[Ex]補+[-Ey]補=11.101100+11.000101=10.110001即[x-y]補=11,100;10.110001尾數符號位出現“10”，需右規(guī)。14編輯課件（續(xù)）：即[x-y]補=11,100;10.110001，尾數符號位出現“10”，需右規(guī)。③規(guī)格化右規(guī)后得[x-y]補=11,101;(1)1.011000(1)④舍入處理采用0舍1入法，其尾數右規(guī)時末位丟1，則[x-y]補=11,101;11.011001⑤溢出判斷經舍入處理后階符為“11”，不溢出，故最終結果：x-y=2-011×(-0.100111)15編輯課件浮點數加減運算流程圖16編輯課件浮點加減法運算大型計算機和高檔微型機中，浮點加減法運算是由硬件完成的。低檔的微型機浮點加減法運算是由軟件完成的，但無論用硬件實現或由軟件實現加減法運算，基本原理是一致的。浮點加減法運算要經過對階、尾數求和、規(guī)格化、舍入和溢出判斷五步操作。其中尾數運算與定點加減法運算相同，而對階、舍入、規(guī)格化和溢出判斷，則是浮點加減法與定點加減法運算不同的操作。在補碼浮點運算中，階碼與尾數可以都用補碼表示。在硬件實現的運算中，階符和數符常常采取雙符號位，正數數符用00表示，負數數符用11表示。17編輯課件18編輯課件浮點乘除法運算設兩浮點數則階碼運算尾數運算19編輯課件1.階碼運算若階碼用補碼運算，乘積的階碼為[jx]補+[jy]補，商的階碼為[jx]補-[jy]補。若階碼用移碼運算，則[jx]移=2n+jx-2n≤jx<2n(n為整數的位數)[jy]移=2n+jy-2n≤jy<2n(n為整數的位數)

所以[jx]移+[jy]移=2n+jx+2n+jy=2n+(2n+(jx+jy))=2n+[jx+jy]移可見，直接用移碼求階碼和時，其最高位多加了一個2n，要得到移碼形式的結果，必須減去2n。

20編輯課件由于同一個真值的移碼和補碼其數值部分完全相同，而符號位正好相反，即[jy]補=2n+1+jy(mod2n+1)因此如果求階碼和可用下式完成：

[jx]移+[jy]補=2n+jx+2n+1+jy=2n+[2n+(jx+jy)]=[jx+jy]移(mod2n+1)則直接可得移碼形式。

同理，當作除法運算時，商的階碼可用下式完成：

[jx]移+[-jy]補=[jx-jy]移21編輯課件階碼運算階碼運算方法：進行移碼加減運算時，只需將移碼表示的加數或減數的符號位取反(即變?yōu)檠a碼)，然后進行運算，就可得階和(或階差)的移碼。溢出判斷：在原有移碼符號位的前面(即高位)再增加位符號位，并規(guī)定該位恒用“0”表示，而加數或減數的補碼的兩位符號位則一致。溢出的條件是運算結果移碼的最高符號位為1。此時若低位符號位為0，表示上溢；低位符號位為1，表示下溢。如果運算結果移碼的最高符號位為0，即表明沒溢出。此時若低位符號位為1，表明結果為正：低位符號位為0，表示結果為負。22編輯課件階碼運算溢出判斷舉例：設階碼取三位（不含符號位），

當jx=+101，jy=+110時，有[jx]移=01,101，[jy]補=00,110則：[jx+jy]移=[jx]移+[jy]補=01,101+00,110=10,001結果上溢[jx-jy]移=[jx]移+[-jy]補=01,101+11,100=01,001結果+123編輯課件2.尾數運算（1）浮點乘法尾數運算（2）浮點除法尾數運算24編輯課件（1）浮點乘法尾數運算預處理：檢測兩個尾數中是否有一個為0，若有一個為0，乘積必為0，不再作其他操作；如果兩尾數均不為0，則可進行乘法運算。相乘：兩個浮點數的尾數相乘可以采用定點小數的任何一種乘法運算來完成。規(guī)格化：相乘結果可能要進行左規(guī)，左規(guī)時調整階碼后如果發(fā)生階下溢，則作機器零處理；如果發(fā)生階上溢，則作溢出處理。25編輯課件尾數截斷：尾數相乘會得到一個雙倍字長的結果，若限定只取1倍字長，則乘積的若干低位將會丟失。如何處理丟失的各位值，通常有兩種辦法。截斷處理：無條件的丟掉正常尾數最低位之后的全部數值。舍入處理：按浮點加減運算討論的舍入原則進行舍入處理。

26編輯課件（1）浮點乘法尾數運算舍入處理對于原碼，采用0舍1入法時，不論其值是正數或負數，“舍”使數的絕對值變小，“入”使數的絕對值變大。對于補碼，采用0舍1入法時，若丟失的位不是全0，對正數來說，“舍”、“入”的結果與原碼正好相同；對負數來說，“舍”、“入”的結果與原碼分析正好相反，即“舍”使絕對值變大，“入”使絕對值變小。為了使原碼、補碼舍入處理后的結果相同，對負數的補碼可采用如下規(guī)則進行舍入處理。①當丟失的各位均為0時，不必舍入；②當丟失的各位數中的最高位為0時，且以下各位不全為0；或丟失的各位數中的最高位為1，且以下各位均為0時，則舍去被丟失的各位；③當丟失的各位數中的最高位為1，且以下各位又不全為0時；則在保留尾數的最末位加1修正。

27編輯課件舍入操作實例[x]補舍入前舍入后對應的真值1.011100001.011110001.011101011.011111001.0111（不舍不入）1.0111（舍）1.0111（舍）1.1000（入）-0.1001-0.1001-0.1001-0.1000對負數的補碼可采用如下規(guī)則進行舍入處理。①當丟失的各位均為0時，不必舍入；②當丟失的各位數中的最高位為0時，且以下各位不全為0；或丟失的各位數中的最高位為1，且以下各位均為0時，則舍去被丟失的各位；③當丟失的各位數中的最高位為1，且以下各位又不全為0時；則在保留尾數的最末位加1修正。

[x]原舍入前舍入后對應的真值1.100100001.100010001.100010111.100001001.1001（不舍不入）1.1001（入）1.1001（入）1.1000（舍）-0.1001-0.1001-0.1001-0.100028編輯課件浮點乘法運算舉例例：設機器數階碼取3位(不含階符)，尾數取7位(不舍數符)，要求階碼用移碼運算，尾數用補碼運算，最后結果保留1倍字長。設x=2-101×0.0110011)，y=2011×(-0.1110010)求：x?y。解：[x]補=11，011；00.0110011[y]補=00，011；11.0001110①階碼運算[jx]移=00，011,[jy]補=00，011[jx+jy]移=[jx]移+[jy]補=00，011+00，011=00，110對應真值-229編輯課件浮點乘法運算舉例（續(xù)）②尾數相乘（采用Booth算法）其過程如下表所示。部分積乘數yn+1說明00.0000000

00.0000000

+11.10011011.0001110

010001110

0→1位

+[-Sx]補11.1001101

11.1100110

11.1110011

11.1111001

+00.01100110

10100011

01010001

10101000111→1位

→1位

→1位

+[Sx]補00.0101100

00.0010110

00.0001011

00.0000101

+11.10011011010

01010100

00101010

100101010

0

0→1位

→1位

→1位+

+[-Sx]補11.10100101001010

相乘的結果為：[Sx?Sy]補=11.10100101001010

30編輯課件浮點乘法運算舉例（續(xù)）即[x?y]補=11,110;11.10100101001010③規(guī)格化。左規(guī)后[x?y]補=11,101;11.01001010010100

④舍入處理。尾數為負，按負數的補碼的舍入規(guī)則，取1倍字長，丟失的7位為0010100,應“舍”。故最終的結果為：[x?y]補=11,101;11.0100101即：xy=2-011×(-0.1011011)

31編輯課件（2）浮點除法尾數運算步驟：檢測被除數是否為0，若為0，則商為0；再檢測除數是否為0，若為0，則商為無窮大，另作處理。若兩數均不為0，則可進行除法運算。兩浮點數尾數相除同樣可采取定點小數的任何一種除法運算來完成。對已規(guī)格化的尾數，為了防止除法結果溢出，可先比較被除數和除數的絕對值，如果被除數的絕對值大于除數的絕對值，則先將被除數右移一位，其階碼加1，再作尾數相除。此時所得結果必然是規(guī)格化的定點小數。

32編輯課件浮點除法尾數運算—例題例：x=2101×0.1001,y=2011×(-0.1101)，按補碼浮點運算方法求x／y。解：[x]補=00,101;00.1001,[y]補=00,011;11.0011，[-Sy]補=00.1101①階碼相減。[jx]補-[jy]補=00,101-00,011=00,101+11,101=00,010

②尾數相除（采用補碼除法）。33編輯課件浮點除法尾數運算—例題（續(xù)）②尾數相除（采用補碼除法）。結果為[Sx／Sy]=1.0101③規(guī)格化。尾數相除結果已為規(guī)格化數。所以[x／y]補=00,010;11.0101，則[x／y]=2010×(-0.1011)被除數（余數）商說明00.1001

+11.0011[Sx]補與[Sy]補異號，+[Sy]補11.1100

11.1000

+00.1101

1

1[R]補與[Sy]補同號，上商1

←1位

+[-Sy]補00.0101

00.1010

+11.001110

10[R]補與[Sy]補異號，上商0

←1位

+[Sy]補11.1101

11.1010

+00.1101101

101[R]補與[Sy]補同號，上商1

←1位

+[-Sy]補00.0111

+00.11101010

10101[R]補與[Sy]補異號，上商0

←1位，末位商恒置134編輯課件浮點乘除法運算兩浮點數相乘其乘積的階碼為相乘兩數階碼之和,其尾數應為相乘兩數的尾數之積。兩個浮點數相除，商的階碼為被除數的階碼減去除數的階碼得到的差，尾數為被除數的尾數除以除數的尾數所得的商。參加運算的兩個數都為規(guī)格化浮點數，乘除運算都可能出現結果不滿足規(guī)格化要求的問題，因此也必須進行規(guī)格化、舍入和溢出判斷等操作。規(guī)格化時要修改階碼。35編輯課件浮點運算所需的硬件配置浮點運算器主要由兩個定點運算部件組成：階碼運算部件：用來完成階碼加、減，以及控制對階時小階的尾數右移次數和規(guī)格化時對階碼的調整。尾數運算部件：用來完成尾數的四則運算以及判斷尾數是否已規(guī)格化。此外，還需有判斷運算結果是否溢出的電路等?，F代計算機可把浮點運算部件做成獨立的選件，稱為協(xié)處理器。浮點協(xié)處理器Intel80287可與Intel80286或80386微處理器配合處理浮點數的算術運算和多種函數計算。也可用編程的辦法來完成浮點運算，不過這會影響機器的運算速度。36編輯課件２算術邏輯單元ALU電路、快速進位鏈37編輯課件ALU電路Ai和Bi為輸入變量；Ki為控制信號，Ki的不同取值可決定該電路作哪一種算術運算或哪一種邏輯運算；Fi是輸出函數。

38編輯課件74181—ALU集成電路芯片74181是能完成四位二進制代碼的算邏運算部件，其外特性如下圖所示。正邏輯工作方式負邏輯工作方式正邏輯中，“1”用高電平表示，“0”用低電平表示，而負邏輯剛好相反。正邏輯與負邏輯的關系為：正邏輯的“與”到負邏輯中變?yōu)椤盎颉?，即?”、”·”互換。39編輯課件74181—ALU集成電路芯片注意：ALU為組合邏輯電路，因此實際應用ALU時，其輸入端口A和B必須與鎖存器相連，而且在運算的過程中鎖存器的內容是不變的。其輸出也必須送至寄存器中保存。40編輯課件29C101芯片將寄存器和ALU集成導一個芯片內。41編輯課件快速進位鏈問題：隨著操作數位數的增加，電路中進位的速度對運算時間的影響也越大。并行加法器——多位加法器串行進位鏈并行進位鏈單重分組跳躍進位即：單級分組雙重分組跳躍進位42編輯課件快速進位鏈問題：隨著操作數位數的增加，電路中進位的速度對運算時間的影響也越大。并行加法器——多位加法器串行進位鏈并行進位鏈單重分組跳躍進位即：單級分組雙重分組跳躍進位43編輯課件半加器（halfadder）COSCAB不考慮進位將兩個一位二進制數A和B相加。44編輯課件全加器（fulladder）其輸入不僅有兩個1位二進制數相加，還需加上低位送來的進位。COSCABCICI45編輯課件雙全加器74LS182的1/2邏輯圖46編輯課件1.并行（多位）加法器n+1個全加器級聯，就組成了一個n+1位的并行加法器（行波進位加法器）。由于每位全加器的進位輸出是高一位全加器的進位輸入，因此當全加器有進位時，這種一級一級傳遞進位的過程，將會大大影響運算速度。47編輯課件并行加法器分析：由全加器的邏輯表達式可知，Ci進位有兩部分組成：本地進位AiBi，可記作di，與低位無關；傳遞進位（Ai＋Bi）Ci-1，與低位有關，稱（Ai＋Bi）為傳遞條件，記作ti，則：由Ci的組成可以將逐級傳遞進位的結構轉換為以進位鏈的方式實現快速進位。目前進位鏈通常采用串行和并行兩種。48編輯課件2.串行進位鏈串行進位鏈是指并行加法器中的進位信號采用串行傳遞。以四位并行加法器為例，每一位的進位表達式可示為：由上式可見，采用與非邏輯電路可方便地實現進位傳遞，如下圖所示。注意：A+B=－（-A*-B）49編輯課件串行進位鏈延遲時間分析：若設與非門的級延遲時間為ty，那么當di、ti形成后，共需8ty使可產生最高位的進位。實際上每增加一位全加器，進位時間就會增加2ty。n位全加器的最長進位時間為2nty。

50編輯課件3.并行進位鏈并行進位鏈是指并行加法器中的進位信號是同時產生的，又稱先行進位、跳躍進位等。超前進位加法器通常并行進位鏈有單重分組和雙重分組兩種實現方案。理想的并行進位鏈是n位全加器的n位進位同時產生，但實際實現有困難。51編輯課件（1）單重分組跳躍進位單重分組跳躍進位：將M位全加器分成若干小組，小組內的進位同時產生，小組與小組之間采用串行進位。又稱為“組內并行、組間串行”進位。以四位并行加法器為例，對其進位表示式稍作變換，便可獲得并行進位表達式：52編輯課件四位一組并行進位對應的邏輯圖為：設與或非門的級延遲時間為1.5ty，與非門的級延遲時間仍為1ty，則di、ti形成后，只需2.5ty就可產生全部進位。

53編輯課件單重分組跳躍進位如果將16位的全加器按四位一組分組，便可得單重分組跳躍進位鏈框圖在di、ti形成后，經2.5ty可產生C3、C2、C3、C3四個進位信息，經10ty就可產生全部進位。如前所示，n=16的串行進位鏈的全部進位時間為32ty，則16位全加器的單重分組方案進位時間僅約為串行進位鏈的三分之一。54編輯課件單重分組跳躍進位缺點：但隨著n的增大，其優(yōu)勢便很快減弱。例如，n=64，4位分組，共為16組：組間有16位串行進位，在di、ti形成后，還需經16×2.5＝40ty才能產生全部進位，顯然進位時間太長。如果能使組間進位也同時產生，必然會更大地提高進位速度，這就是組內、組間均為并行進位的方案。55編輯課件（2）雙重分組跳躍進位雙重分組跳躍進位原理：將n位全加器分成幾個大組每個大組又包含幾個小組每個大組內所包含的各個小組的最高位進位是同時形成的，大組與大組間采用串行進位。各小組最高位進位是同時形成的，小組內的其他進位也是同時形成的故又有“組內并行、組間并行”之稱注意：兩小組內的其他進位與小組的最高位進位并不是同時產生的，。56編輯課件雙重分組跳躍進位32位并行加法器雙重分組跳躍進位鏈的框圖分兩大組，每個大組內包含4個小組，第一大組內的4個小組的最高位進位C31、C27、C23、C19是同時產生的；第二大組內4個小組的最高位進位C15、C11、C7、C3也是同時產生的，而第二大組向第一大組的進位C15采用串行進位方式。

57編輯課件雙重分組跳躍進位32位并行加法器雙重分組跳躍進位鏈的框圖以第二大組為例，分析各進位的邏輯關系。D8與本小組內的di、ti有關，不依賴外來進C-1，故稱D8為第八小組的本地進位，T8是將低位進位C-1傳到高位小組的條件，故稱T8為第八小組的傳送條件。

58編輯課件雙重分組跳躍進位32位并行加法器雙重分組跳躍進位鏈的框圖以第二大組為例，分析各進位的邏輯關系。同理可寫出第五、六、七小組的最高位進位表達式：

59編輯課件雙重分組跳躍進位進一步展開又得：

可得大組跳躍進位鏈：

由圖可見，當Di、Ti(i=5～8)及外來進位C-1形成后，再經過2.5ty便可同時產生Cl5、C11，C7、C3。

60編輯課件雙重分組跳躍進位Di和Ti它們都是由小組產生的，按其邏輯表達式可畫出相應的電路如下圖所示。

每小組可產生本小組的本地進位Di和傳送條件Ti以及組內的各低位進位，但不能產生組內最高位進位，即第五組形成D5、T5、C14、C