常微分方程基本概念

一、微分方程第六章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念二、微分方程的解2023/1/131.300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時(shí)代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因?yàn)?，微積分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺碜杂谌藗兲角笪镔|(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求.一般地，運(yùn)動(dòng)規(guī)律很難全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾惶赡苡^察到運(yùn)動(dòng)的全過程.然而，運(yùn)動(dòng)物體(變量)與它的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運(yùn)動(dòng)過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個(gè)微分方程.一旦求出這個(gè)方程的解，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會(huì)使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語言.2023/1/132.定義

1凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(或微分)

的方程，一、微分方程稱為微分方程，

有時(shí)簡(jiǎn)稱為方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱做常微分方程，

未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱做偏微分方程.

本教材僅討論常微分方程，并簡(jiǎn)稱為微分方程.(1)

y=kx,k為常數(shù)；例如，下列方程都是微分方程(其中y,v,q

均為未知函數(shù)).(2)(y-2xy)dx+

x2dy=0；(3)

mv(t)=mg-

kv(t)；2023/1/133.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.

例如，方程(1)

-

(3)

為一階微分方程，

通常，n階微分方程的一般形式為F(x,y,y,,y(n))=0，其中x是自變量，y是未知函數(shù)，F(xiàn)(x,y,y,,y(n))是已知函數(shù)，而且一定含有y(n).(4)(5)方程(4)

-

(5)

為二階微分方程.2023/1/134.定義

2

任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)，都叫做該方程的解.二、微分方程的解

若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，

且任意常數(shù)之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定值時(shí)所得到的解，稱為方程的特解.例如方程y=2x的解y

=x2+

C中含有一個(gè)任意常數(shù)且與該方程的階數(shù)相同，

因此，這個(gè)解是方程的通解；

如果求滿足條件y(0)=0的解，代入通解y

=x2+

C中，

得C=0，那么y

=x2

就是方程y=2x的特解.2023/1/135.二階微分方程的初始條件是即y(x0)=y0

與y(x0)=y0，一個(gè)微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為初值問題.求解某初值問題，就是求方程的特解.用來確定通解中的任意常數(shù)的附加條件一般稱為初始條件.通常一階微分方程的初始條件是2023/1/136.例

1

驗(yàn)證函數(shù)y=3e–x–xe–x是方程y+2y+

y=0的解.解求y=3e–x–xe–x的導(dǎo)數(shù)，y=-4e–x+xe-

x,y=5e–x

-

xe-

x,將y，y及y代入原方程的左邊，(5e–x

-

xe-

x)+2(-4e–x+xe-

x)+3e–x–xe–x

=0，即函數(shù)y=3e–x–xe–x

滿足原方程，得有所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解.2023/1/137.

得C=

2，故所求特解為y=2x2.

例

2

驗(yàn)證方程的通解

為y=Cx2(C為任意常數(shù))，并求滿足初始條件y|x=1=

2的特解.解由y=Cx2得y=2Cx,將y及y代入原方程的左、右兩邊，左邊有y=2Cx，所以函數(shù)y=Cx2滿足原方程.又因?yàn)樵摵瘮?shù)含有一個(gè)任意常數(shù)，

所以y=Cx2是一階微分方程將初始條件y|x=1=

2代入通解，2023/1/138.例

3設(shè)一個(gè)物體從A

點(diǎn)出發(fā)作直線運(yùn)動(dòng)，在任一時(shí)刻的速度大小為運(yùn)動(dòng)時(shí)間的兩倍.求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律(或稱運(yùn)動(dòng)方程)解首先建立坐標(biāo)系：取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，物體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向(如圖)，

并設(shè)物體在時(shí)刻t

到達(dá)M點(diǎn)，其坐標(biāo)為s(t).

顯然，s(t)是時(shí)間t

的函數(shù)，它表示物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是本題中待求的未知函數(shù)，

s(t)的導(dǎo)數(shù)s(t)就是物體運(yùn)動(dòng)的速度v(t).由題意，知v(t)=2t，以及s(0)=0.①②ASOMs(t)2023/1/139.因?yàn)?/p>

v(t)=s(t)，因此，求物體的運(yùn)動(dòng)方程已化成了求解初值問題積分后，得通解s(t)=t2+C.

故初值問題的解為s(t)=t2，也是本題所求的物體的運(yùn)動(dòng)方程.

再將初始條件②代入通解中，得C=0，2023/1/1310.例4

已知直角坐標(biāo)系中的一條曲線通過點(diǎn)(1,2)，且在該曲線上任一點(diǎn)P(x,y)

處的切線斜率等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程.解設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題所給出的條件，y=y2，即積分得又由于已知曲線過點(diǎn)(1,2)，代入上式，得所以，求此曲線的方程為得2023/1/1311.一般地，微分方程的每一個(gè)解都是一個(gè)一元函數(shù)y=y(x)，其圖形是一條平面曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線.通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族，

特解的圖形是積分曲線族中的一條確定的曲線.

這就是微分方程的通解與特解的幾何意義.2023/1/1312.一、可分離變量方程第六章微分方程第二節(jié)一階微分方程三、一階線性微分方程二、齊次方程2023/1/1313.一階微分方程的一般形式為F(x,y,y)=0.2023/1/1314.一、可分離變量方程例如：形如y=f(x)g(y)的微分方程，稱為可分離變量方程.(1)

分離變量將方程整理為使方程各邊都只含有一個(gè)變量.的形式，2023/1/1315.(2)

兩邊積分兩邊同時(shí)積分，得故方程通解為我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上.2023/1/1316.例

1

求方程解

分離變量，得兩邊積分，得這就是所求方程的通解．2023/1/1317.例

2

求方程解

分離變量，得兩邊積分，得化簡(jiǎn)得2023/1/1318.另外，y=0也是方程的解，因此C2為任意常數(shù)．求解過程可簡(jiǎn)化為：兩邊積分得即通解為其中C

為任意常數(shù).中的

C2

可以為

0，這樣，方程的通解是分離變量得2023/1/1319.

例

3

求方程dx+

xydy=y2dx+

ydy滿足初始條件y(0)=2的特解.解

將方程整理為分離變量，得兩邊積分，有2023/1/1320.化簡(jiǎn)，得即將初始條件y(0)=2代入，為所求之通解.得

C=3.故所求特解為2023/1/1321.例4解

分離變量得即2023/1/1322.兩邊積分，得經(jīng)整理，得方程的通解為也可寫為2023/1/1323.

形如方程稱為齊次方程,求解方法:二、可化為變量分離方程類型24.例4求解方程解:方程變形為這是齊次方程,即將變量分離后得25.兩邊積分得:即代入原來變量,得原方程的通解為26.例6求下面初值問題的解解:方程變形為這是齊次方程,將變量分離后得27.兩邊積分得:整理后得變量還原得故初值問題的解為28.三、一階線性微分方程一階微分方程的下列形式稱為一階線性微分方程，簡(jiǎn)稱一階線性方程.

其中P(x)、Q(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).

左邊的每項(xiàng)中僅含y

或y，且均為y

或y的一次項(xiàng).①

它的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)，2023/1/1329.稱為一階線性齊次微分方程，簡(jiǎn)稱線性齊次方程，0，則稱方程①為一階線性非齊次微分方程，簡(jiǎn)稱線性非齊次方程.

通常方程②稱為方程①所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程.②若Q(x)若Q(x)0，則方程成為2023/1/1330.1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程是可分離變量方程.兩邊積分，得所以，方程的通解公式為分離變量，得2023/1/1331.例

6

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所給方程是一階線性齊次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解為則2023/1/1332.

例

7

求方程

(y

-2xy)

dx

+

x2dy=0滿足初始條件y|x=1=e的特解.解

將所給方程化為如下形式：這是一個(gè)線性齊次方程，則由通解公式得該方程的通解將初始條件y(1)=e

代入通解，得C=1.故所求特解為2023/1/1333.2.一階線性非齊次方程的解法設(shè)y=C(x)y1

是非齊次方程的解，

將y=C(x)y1

(其中y1是齊次方程y+

P(x)y=0的解)及其導(dǎo)數(shù)y=C(x)y1

+

C(x)y1代入方程則有即2023/1/1334.因y1是對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的解，因此有其中y1與Q(x)均為已知函數(shù)，代入y=

C(x)y1中，得容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程

所以可以通過積分求得2023/1/1335.且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程的通解在運(yùn)算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個(gè)解為于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：上述討論中所用的方法，是將常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)

C(x)，

再通過確定

C(x)而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法.2023/1/1336.例

8

求方程2y

-

y=ex的通解.解法一使用常數(shù)變易法求解．將所給的方程改寫成下列形式：這是一個(gè)線性非齊次方程，它所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解為將y

及y

代入該方程，得設(shè)所給線性非齊次方程的解為2023/1/1337.于是，有因此，原方程的通解為解法二

運(yùn)用通解公式求解．將所給的方程改寫成下列形式：2023/1/1338.則代入通解公式，得原方程的通解為2023/1/1339.例

9

求解初值問題．解

使用常數(shù)變易法求解．將所給的方程改寫成下列形式：則與其對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解為2023/1/1340.設(shè)所給線性非齊次方程的通解為于是，有將y及y代入該方程，得2023/1/1341.因此，原方程的通解為將初始條件y(p)=1代入，得C=p，所以，所求的特解，即初值問題的解為2023/1/1342.例

10

求方程y2dx+(x-2xy

-

y2)dy=0的通解.解

將原方程改寫為這是一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)x=x(y)的一階線性非齊次方程，它的自由項(xiàng)Q(y)=1.2023/1/1343.代入一階線性非齊次方程的通解公式，有即所求通解為2023/1/1344.第七章微分方程第三節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例例

1

設(shè)曲線過點(diǎn)(1,1)，且其上任意點(diǎn)P的切線在y

軸上截距是切點(diǎn)縱坐標(biāo)的三倍，求此曲線方程.

解

設(shè)所求的曲線方程為

y=y(x)，P(x,y)為其上任意點(diǎn)，

則過點(diǎn)

P的切線方程為其中

(X,Y)是切線上動(dòng)點(diǎn),(x,y)是曲線上任意固定的點(diǎn).xyOP(x,y)L2023/1/1345.令

X=0，得切線在y軸上的截距為Y=y

-

xy，y

-

xy=3y，這是一階線性齊次方程，其通解為因曲線過點(diǎn)(1,1).代入方程，得C=1.所以曲線方程為由題意得2023/1/1346.

例

2

設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與他下落的速度成正比(比例系數(shù)為常數(shù)k>0)，起跳時(shí)的速度為0.求下落的速度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)下落速度為

v(t)，

則加速度a=v

(t)運(yùn)動(dòng)，物體所受的外力為：F=mg–kv，于是，由牛頓第二定律可得mg-kv=mv

，

2023/1/1347.又由題意得初始條件v

|t=0=0，可見，初值問題

是一個(gè)一階線性非齊次微分方程，其通解為由

v(0)=0得

C=mg.即為所求的函數(shù)關(guān)系.所以，特解2023/1/1348.例

4

假設(shè)一高溫物體在冷卻劑中均勻地冷卻，物體的初始溫度為200C

，且由200C冷卻到100C需要40s.已知(冷卻定律)：冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫度差成正比.其介質(zhì)(冷卻劑)溫度始終保持為10C，

并求物體溫度降到20C

所需的時(shí)間.解設(shè)物體溫度為q=q(t)，

則物體的冷卻速率為q(t).由冷卻定律可得q(t)應(yīng)滿足的微分方程為q(t)=-

k[q(t)-10](k>0)，試求物體溫度

q

與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系,2023/1/1349.另由題意知q(t)所滿足的初始條件為q|t=0=200.于是，初值問題是解此初值問題，得特解q(t)=10+190e-kt.因此，得由于(40)=100，即100=10+190e-40k，2023/1/1350.最后，將q=20代入上式，即物體溫度降到20C大約需要2min38s.從而得物體溫度q

與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為并解出2023/1/1351.一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第七章微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例2023/1/1352.一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式y(tǒng)+p(x)y+q(x)y=f(x)稱為二階線性微分方程，簡(jiǎn)稱二階線性方程.

f

(x)稱為自由項(xiàng)，當(dāng)f(x)0時(shí)，稱為二階線性非齊次微分方程，簡(jiǎn)稱二階線性非齊次方程.

當(dāng)f(x)恒為0時(shí)，稱為二階線性齊次微分方程，

簡(jiǎn)稱二階線性齊次方程.

方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).

這類方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊每一項(xiàng)含y

或y

或y，

且每項(xiàng)均為y

或y

或y的一次項(xiàng)，

例如y

+

xy+

y=x2

就是二階線性非齊次方程.

而y

+

x(y)2

+

y=x2就不是二階線性方程.2023/1/1353.定理

1

如果函數(shù)y1

與y2

是線性齊次方程的兩個(gè)解，y=C1y1+C2y2仍為該方程的解，

證因?yàn)閥1與y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的兩個(gè)解，與所以有其中C1，

C2

是任意常數(shù).則函數(shù)2023/1/1354.于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=

0的解.2023/1/1355.

定義設(shè)函數(shù)y1(x)和y2(x)

是定義在某區(qū)間I

上的兩個(gè)函數(shù)，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0不失一般性，考察兩個(gè)函數(shù)是否線性相關(guān)，

我們往往采用另一種簡(jiǎn)單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)，

事實(shí)上，當(dāng)y1(x)與y2(x)線性相關(guān)時(shí)，有k1y1+

k2y2=0，

其中k1,k2不全為0，如果存在兩個(gè)不全為0的常數(shù)k1和k2，使在區(qū)間I

上恒成立.則稱函數(shù)y1(x)與y2(x)在區(qū)間上是線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān).2023/1/1356.即y1

與y2

之比為常數(shù).反之，若y1

與y2

之比為常數(shù)，則y1=ly2，即y1-

ly2=0.

所以y1

與y2

線性相關(guān).

因此，如果兩個(gè)函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相關(guān)；例如函數(shù)

y1=ex，y2=e-x，所以，它們是線性無關(guān)的.如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān).2023/1/1357.定理

2如果函數(shù)y1

與y2

是二階線性齊次方程y+p(x)y+q(x)y=0的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，y=C1y1+C2y2是該方程的通解，

證因?yàn)閥1與y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是該方程的解.又因?yàn)閥1與y2線性無關(guān)，即y1與y2之比不為常數(shù)，故C1與C2不能合并為一個(gè)任意常數(shù)，因此

y=C1y1+C2y2是二階線性齊次方程的通解.則其中C1,C2為任意常數(shù).所以它們中任一個(gè)都不能用另一個(gè)(

形如y1=

ky2或y2=

k1y)

來表示.2023/1/1358.定理

3如果函數(shù)y*

是線性非齊次方程的一個(gè)特解，y=Y+y*，是線性非齊次方程的通解.

證因?yàn)閥*與Y分別是線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)

和線性齊次方程y+p(x)y+q(x)y=

0的解，所以有y*+p(x)y*+q(x)y*

=f(x)，Y+p(x)Y+q(x)Y=

0.Y是該方程所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解，則2023/1/1359.又因?yàn)閥=

Y+

y*，

y=Y+

y*，

所以y+p(x)y+q(x)y

=(Y+

y*)+p(x)(Y+

y*)+q(x)(Y+

y*)=(Y+p(x)

Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).2023/1/1360.求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：

(1)

求線性齊次方程y+p(x)y+q(x)y=0的線性無關(guān)的兩個(gè)特解y1與y2，得該方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)

求線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一個(gè)特解y*.那么，線性非齊次方程的通解為y=Y+y*.

又Y是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個(gè)任意常數(shù)，故y=Y+y*中含有兩個(gè)任意常數(shù).

即y=Y+y*是線性非齊次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)

的通解.這說明函數(shù)y=Y+y*

是線性非齊次方程的解，2023/1/1361.y+p(x)y+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y+p(x)y+q(x)y=f1

(x)，和y+p(x)y+q(x)y=f2

(x)則是方程①的特解.定理

4設(shè)二階線性非齊次方程為①②③的特解，2023/1/1362.證因?yàn)閥1*

與y2*

分別是②與③的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*

=f1(x)，與y2*+p(x)y2*+q(x)y2*

=f2(x).于是有=f1(x)+

f2(x)，所以有=[y1*+p(x)y1*+q(x)y1*]+[y2*+p(x)y2*+q(x)y2*]即y1*+y2*

滿足方程①，2023/1/1363.二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法如果二階線性微分方程為y+py+qy=f(x)，其中p、q均為常數(shù)，

則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.2023/1/1364.設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為y+py+qy=

0.考慮到左邊p，q均為常數(shù)，

我們可以猜想該方程具有y=erx形式的解，其中r

為待定常數(shù).

將y=rerx,y=r2erx

及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.

1.二階常系數(shù)線性齊次方程的解法由于erx

0，因此，只要r

滿足方程r2+pr+q=0，即r

是上述一元二次方程的根時(shí)，

y=erx就是④式的解.方程⑤稱為方程④的特征方程.特征方程根稱為特征根.④⑤得2023/1/1365.1特征方程具有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1與r2，2特征方程具有兩個(gè)相等的實(shí)根，這時(shí)，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個(gè)特解y1=erx.還需再找一個(gè)與y1線性無關(guān)的特解y2，為此，設(shè)y2=u(x)y1，其中u(x)為待定函數(shù).

將y2

及其一階、二階導(dǎo)數(shù)y2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x))，y2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x))，代入方程y+py+qy=0中，得因而它的通解為所以y1

與y2

線性無關(guān)，

都是④的解，

即r1

r2.那么，這時(shí)函數(shù)即2023/1/1366.注意到是特征方程的重根，

所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要u(x)滿足則y2=uerx就是④式的解，

為簡(jiǎn)便起見，取方程u(x)=0的一個(gè)解u=x，

于是得到方程④且與y1=erx

線性無關(guān)的解y2=xerx.

因此，④式的通解為2023/1/1367.

3特征方程具有一對(duì)共軛復(fù)根r1=a+ib與r2=a–ib.

這時(shí)有兩個(gè)線性無關(guān)的特解y1=e(a+ib)x與y2=e(a-ib)x.這是兩個(gè)復(fù)數(shù)解，

為了便于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問題，我們?cè)僬覂蓚€(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)解.

由歐拉公式

(這公式我們將在無窮級(jí)數(shù)章中補(bǔ)證)，可得2023/1/1368.于是有由定理1知，以上兩個(gè)函數(shù)eax

cosbx與eaxsinbx

均為④式的解，且它們線性無關(guān).

因此，這時(shí)方程的通解為2023/1/1369.

上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：(1)

寫出所給方程的特征方程；(2)

求出特征根；

(3)

根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對(duì)應(yīng)的特解，并寫出其通解.2023/1/1370.特征根方程的通解

一對(duì)共軛復(fù)根r1,2=i兩個(gè)不等的實(shí)根r1,r2兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2=r(0)71.例

1

求方程y-2y-3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

-2r–3=0,它有兩個(gè)不等的實(shí)根r1=-1，r2=3,

其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為y1=e-

x

與y2=e3x,所以方程的通解為2023/1/1372.

例

2

求方程y-4y+4y=0

的滿足初始條件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

該方程的特征方程為r2

-4r

+4=0，求得將y(0)=1，y(0)=4代入上兩式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.

其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解為y1=e2x

與y2=xe2x，所以通解為因此，所求特解為

它有重根r=2.2023/1/1373.例

3

求方程2y+2y+3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為2r2

+2r

+3=0，它有共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解為所以方程的通解為2023/1/1374.例

4

求方程y+4y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

+4=0，它有共軛復(fù)根r1,2=2i.即a=0，b=2.

對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)的解

y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解為2023/1/1375.

2.二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法1自由項(xiàng)

f(x)為多項(xiàng)式Pn(x).設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y+

py+

qy=Pn(x),其中Pn(x)為x

的n

次多項(xiàng)式.

當(dāng)原方程⑥中y

項(xiàng)的系數(shù)q

0時(shí)，k

取

0；當(dāng)q

=0，但

p

0時(shí)，k

取

1；當(dāng)p

=0，q

=0時(shí)，k取2.⑥

因?yàn)榉匠讨衟、q均為常數(shù)且多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式，

所以可設(shè)⑥式的特解為其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項(xiàng)式，2023/1/1376.例

5

求方程y-2y+y

=x2

的一個(gè)特解.解

因?yàn)樽杂身?xiàng)f(x)

=x2

是x的二次多項(xiàng)式，則代入原方程后，有且y

的系數(shù)q=10，取k=0.所以設(shè)特解為2023/1/1377.比較兩端x

同次冪的系數(shù)，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解為2023/1/1378.例

6

求方程y+

y

=x3–x+

1的一個(gè)特解.

解

因?yàn)樽杂身?xiàng)f(x)

=x3–x+

1是一個(gè)x的三次多項(xiàng)式，則代入原方程后，有且y

的系數(shù)q=0，p=10，取k=1.所以設(shè)方程的特解為2023/1/1379.比較兩端x

同次冪的系數(shù)：解得故所求特解為2023/1/1380.2自由項(xiàng)

f(x)為Aeax

型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y+

py+

qy=Aeax，其中a，A

均為常數(shù).由于p，q

為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，其中B為待定常數(shù)，

當(dāng)a

不是⑦式所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的特征方程

r2+pr+q=0的根時(shí)，取k=0；當(dāng)a

是其特征方程單根時(shí)，取k=1；

當(dāng)是其特征方程重根時(shí)，取k=2.⑦因此，我們可以設(shè)⑦的特解2023/1/1381.例

7

求方程y+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設(shè)特解為.B72=2023/1/1382.例

8

求方程y+2y-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的單根，取k=1，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設(shè)特解為,41=B2023/1/1383.3自由項(xiàng)

f(x)為eax

(Acoswx+Bsinwx)型設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y+

py+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A

，B

均為常數(shù).由于p，q

為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，因此,我們可以設(shè)⑧有特解⑧其中C，D

為待定常數(shù).取k=0，是根時(shí)，取k=1，代入

⑧式，求得C

及D.

當(dāng)a+wi

不是

⑧式所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根時(shí)，2023/1/1384.例9

求方程y+3y-

y

=excos2x

的一個(gè)特解.

解

自由項(xiàng)f(x)=excos2x

為eax(Acoswx+Bsinwx)

型的函數(shù)，則

且a

+

wi

=

1+2i，它不是對(duì)應(yīng)的常系數(shù)線性齊次方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以設(shè)特解為2023/1/1385.代入原方程，得比較兩端cos2x與sin2x的系數(shù)，得解此方程組，得故所求特解為2023/1/1386.例

10

求方程y+

y

=sinx

的一個(gè)特解.

解

自由項(xiàng)f(x)

=sinx

為eax(Acoswx+Bsinwx)型的函數(shù)，且a

=

0，w=1，則代入原方程，得

且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，設(shè)特解為2023/1/1387.比較兩端sinx

與cosx

的系數(shù)，得故原方程的特解為而對(duì)應(yīng)齊次方程y+

y=0的通解為Y=C1cosx+C2sinx