計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)03教程文件

計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)03基本要求掌握函數(shù)的單調(diào)性并理解期意義。

了解簡(jiǎn)章最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

掌握如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線(xiàn)的凹向、拐點(diǎn)問(wèn)題。

了解邊際與彈性的概念，并會(huì)解答相關(guān)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。

掌握羅爾定理與拉格朗日中值定理，并能熟練運(yùn)用兩定理證明有關(guān)命題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線(xiàn)的凹向、拐點(diǎn)問(wèn)題。簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題的解法。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則。三個(gè)中值定理的應(yīng)用、函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。3.1函數(shù)的單調(diào)性3.1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理：設(shè)y＝f(x)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，P(a，f(a))與Q(b，f(b))是曲線(xiàn)y＝f(x)上任意兩點(diǎn)，將直線(xiàn)段PQ平行移動(dòng)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)總能找到一個(gè)位置，使之與曲線(xiàn)恰好相切(如圖)。定理3.1

設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則在

(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得推論若在區(qū)間I上f′(x)≡0，則f(x)≡C。證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，則容易看出f(x)在以x1，x2為端點(diǎn)的區(qū)間上滿(mǎn)足定理3.1的條件，所以必有ξ∈(x1，x2)，使

f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)，而由條件f′(x)≡0知f′(ξ)＝0，從而有

f(x1)＝f(x2)。由x1，x2的任意性可知，在區(qū)間I上一切不同點(diǎn)的函數(shù)值均相等，所以存在常數(shù)C使f(x)≡C。證畢。3.1.2函數(shù)單調(diào)性的判定定理3.2

設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。

(1)若對(duì)任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加；

(2)若對(duì)任意x∈(a，b)，恒有f′(x)＜0，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)減小。證在區(qū)間(a，b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2且x1＜x2，由拉格朗日中值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使f(x2)－f(x1)＝f′(ξ)(x2－x1)。

(1)若對(duì)任意x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，從而f(x2)＞f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增；

(2)若對(duì)任意x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則f′(ξ)＜0，從而f(x2)＜f(x1)，所以，f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)減。證畢。3.2函數(shù)的極值3.2.1函數(shù)極值的定義定義3.1設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義。若對(duì)該鄰域內(nèi)任意的x，總有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值(或極小值)，稱(chēng)x0為f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))。極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。3.2.2函數(shù)極值的判定與求法定理3.3(極值存在的必要條件)如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有極值f(x0)，且f(x)在x0處可導(dǎo)，則f′(x0)＝0。定理3.4(第一充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域(x0－δ，x0+δ)內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)(但f′(x0)可以不存在)。

(1)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時(shí)，f′(x)＞0，而當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，

f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(x0)；

(2)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時(shí)，f′(x)＜0，而當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，

f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在x0處取得極小值f(x0)；

(3)若當(dāng)x∈(x0－δ，x0+δ)(x≠x0)時(shí)，恒有f′(x0)＞0或恒有

f′(x0)＜0，則f(x)在x0處無(wú)極值。定理3.5(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0存在二階導(dǎo)數(shù)，且f′(x0)＝0，f″(x0)≠0。

(1)若f″(x0)＞0，則f(x)有極小值f(x0)；

(2)若f″(x0)＜0，則f(x)有極大值f(x0)。3.3函數(shù)曲線(xiàn)的凹向與漸近線(xiàn)3.3.1曲線(xiàn)的凹向與拐點(diǎn)

凹向：如圖，曲線(xiàn)y＝f(x)在［a，b］內(nèi)一直是上升的，但其彎曲方向是變化的，在A(yíng)點(diǎn)的左側(cè)曲線(xiàn)向下凹，而在A(yíng)點(diǎn)的右側(cè)曲線(xiàn)向上凹。曲線(xiàn)的這種向上凹或向下凹的性質(zhì)。定義3.2如果在某區(qū)間內(nèi)的一段連續(xù)且處處有切線(xiàn)的曲線(xiàn)弧總位于其上任意一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)的切線(xiàn)的上方(或下方)，那么稱(chēng)該曲線(xiàn)段是上凹(或下凹)的。

切線(xiàn)斜率與凹向的關(guān)系：如圖(a)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)從左向右移動(dòng)時(shí)，曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率單調(diào)增加，此時(shí)的曲線(xiàn)總位于切線(xiàn)的上方，即曲線(xiàn)是上凹的。反之，當(dāng)切線(xiàn)斜率單調(diào)減小時(shí)，曲線(xiàn)總位于切線(xiàn)的下方，即曲線(xiàn)是下凹的。如圖(b)。定理3.6(曲線(xiàn)凹向判定定理)

函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)。

(1)若對(duì)任意的x∈(a，b)，有f′(x)＞0，則曲線(xiàn)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)是上凹的；

(2)若對(duì)任意的x∈(a，b)，有f′(x)＜0，則曲線(xiàn)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)是下凹的。定義3.3曲線(xiàn)的上凹與下凹部分的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。3.3.2曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)定義3.4

如果曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與某直線(xiàn)的距離趨于零，那么稱(chēng)此直線(xiàn)為曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。曲線(xiàn)有漸近線(xiàn)條件：

(1)水平漸近線(xiàn)

(2)鉛直漸近線(xiàn)

(3)斜漸近線(xiàn)3.4簡(jiǎn)單最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型區(qū)間［a,b］上的函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)xi(i＝1,2,…，n)，則f(x)在［a,b］的最大值M和最小值m分別是：M＝max{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}，m＝min{f(a),f(b),f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}。若f(x)在［a,b］內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0(如圖)，則容易看出f(x0)就是f(x)在［a,b］上的最小值(圖(a))或最大值(圖(b))。3.5演示與實(shí)驗(yàn)三3.5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

1.學(xué)習(xí)用Mathematica分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、凹向、拐點(diǎn)；

2.學(xué)習(xí)用Mathematica直接求函數(shù)的極值，解簡(jiǎn)單最優(yōu)化問(wèn)題。3.5.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康拇蠹抑?，只要?huà)出了函數(shù)圖形，函數(shù)的幾何形態(tài)就一目了然，但僅憑觀(guān)察幾何圖形不能準(zhǔn)確地找出極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等，況且計(jì)算機(jī)繪圖有時(shí)也會(huì)有一些偏差，因此，只有將數(shù)值計(jì)算與幾何圖形結(jié)合起來(lái)綜合