高教五版高數(shù)(經(jīng)濟類)數(shù)項級數(shù)收斂性判別法隨堂講義

14一月20231第二節(jié)數(shù)項級數(shù)收斂性判別法

第七章（Interrogateofconstanttermseries）一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂四、小結(jié)與思考練習(xí)14一月20232一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”(Interrogateofpositivetermseries)14一月2023314一月20234證

根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是收斂的．14一月20235(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例2

討論p

級數(shù)14一月20236因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若14一月20237解

14一月20238則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時,定理3(比較審斂法的極限形式)14一月20239解

14一月20231014一月20231114一月20231214一月202313設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知定理4比值審斂法(D’Alembert判別法)14一月202314因此所以級數(shù)發(fā)散.時說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而(2)當(dāng)14一月20231514一月20231614一月202317對任意給定的正數(shù)設(shè)為正項級則證明提示:即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.數(shù),且定理5根值審斂法(Cauchy判別法)14一月202318時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.說明:14一月20231914一月202320二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.定理6(Leibnitz

判別法

)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足(Interrogateofstaggeredseries)14一月202321證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故14一月202322收斂收斂收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:14一月202323三、絕對收斂與條件收斂定義對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.(Absoluteconvergenceandconditionalconvergence)14一月202324證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令定理7

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.14一月202325證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.例11證明下列級數(shù)絕對收斂

:（補充題）14一月202326(2)令因此收斂,絕對收斂.14一月20232714一月202328其和分別為*定理8

絕對收斂級數(shù)不因改變項的位置而改變其和.*定理9

(絕對收斂級數(shù)的乘法)則對所有乘積按任意順序排列得到的級數(shù)也絕對收斂,設(shè)級數(shù)與都絕對收斂,其和為絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質(zhì).說明:條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質(zhì).14一月202329內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限14一月202330為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂3.任意項級數(shù)審斂法14一月202331課外練習(xí)習(xí)題7－21-8思考練習(xí)1、設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散