精密儀器設計隨機信號處理

關于精密儀器設計隨機信號處理第一頁，共五十五頁，2022年，8月28日隨機信號處理雷達、通信、自動控制、隨機振動、地震信號處理、圖像處理、氣象預報、生物電子等第二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

測量過程就是信號與噪聲通過測量系統(tǒng)的過程。在實際應用中，不僅僅是噪聲，就連信號也可能是隨機的，因此對隨機信號與隨機噪聲的分析是必須的。

隨機過程：

定義：把隨時間而變化的隨機變量稱為隨機過程。

特點：1不可預知；2不能用時間函數(shù)描述；

隨機信號處理第三頁，共五十五頁，2022年，8月28日如：某通信機，在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄其的輸出噪聲波形，所得記錄為如圖無窮多個記錄中的一個。隨機信號處理第四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

[概念一]：每一個波形稱為某個記錄（實現(xiàn)、或樣本）。它們均以某一概率出現(xiàn)。這無窮多個記錄的總和，構(gòu)成了隨機過程隨機信號處理第五頁，共五十五頁，2022年，8月28日[概念二]：某一時刻t1的取值只能是 中的某一個值（不可預知），構(gòu)成了一個隨機變量；同理，亦是一個隨機變量；這無窮多個隨機變量 的集合，亦構(gòu)成了隨機過程；

隨機信號處理第六頁，共五十五頁，2022年，8月28日[結(jié)論]：隨機過程可視為：隨機信號處理第七頁，共五十五頁，2022年，8月28日振動信號

隨機信號處理第八頁，共五十五頁，2022年，8月28日可重復性，可以在同一條件下多次重復隨機信號處理第九頁，共五十五頁，2022年，8月28日結(jié)果的可限定性，具有確定的結(jié)果范圍隨機信號處理第十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

如果隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間而改變，則稱為平穩(wěn)隨機過程，否則稱為非平穩(wěn)隨機過程。若一個隨機過程在某一時刻的所有樣本的統(tǒng)計特征和單一樣本在長時間內(nèi)的統(tǒng)計特征一致，則稱為各態(tài)歷經(jīng)（或各態(tài)遍歷）的隨機過程，否則是非各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程。隨機信號處理第十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日對于平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程，從總體各樣本中所能獲得的信息并不比從單個樣本獲得的信息多，因此在實際應用中，只要對一個樣本進行分析計算，就可以得知隨機過程的統(tǒng)計特征。隨機信號處理第十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

主要內(nèi)容均值、均方值、方差一

概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)二

相關函數(shù)和協(xié)方差三功率譜密度四白噪聲和有色噪聲信號五第十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日一、均值、均方值、方差

對于各態(tài)歷經(jīng)連續(xù)隨機信號x(t)的數(shù)學期望E[x(t)]，可以用一個樣本的時間平均即均值求得，即

數(shù)學期望E[x(t)]也稱隨機信號的均值，描述了隨機信號中的靜態(tài)分量或稱直流分量。由于不同時刻有不同的數(shù)學期望，所以是x(t)在各個時刻的擺動中心，故又稱為一階原點矩。第十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

描述隨機信號隨時間變化的量有均方值和方差。均方值表示為

均方值反映了隨機信號x(t)的強度和功率，它也可看作是隨機信號對零值波動的分量，因此也稱為x(t)的二階原點矩。均方值的正平方根稱為均方根值，又稱有效值，它也是信號平均能量的一種表達。一、均值、均方值、方差第十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日

方差是隨機信號x(t)相對均值波動的分量，表示為

方差反映了隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，方差又稱為x(t)的二階中心矩。方差越大，隨機信號x(t)各樣本值的分散程度也越大。一、均值、均方值、方差第十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

均值、均方值、方差之間有如下關系一、均值、均方值、方差第十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

對于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機信號序列x(n)的均值、均方值和方差分別定義為一、均值、均方值、方差第十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)

概率密度函數(shù)表示隨機信號x(t)瞬時值落在x值附近Δx范圍內(nèi)的概率密度，若對某一隨機信號x(t)進行觀察，T為觀察時間，Tx為T時間內(nèi)x(t)落在(x，x+Δx)區(qū)間內(nèi)的總時間，其幅值落在(x，x+Δx)區(qū)間內(nèi)的慨率可以用Tx/T反映，當T→∞，其概率為

而隨機信號x(t)的概率密度函數(shù)定義反映了信號幅值落在某一極小范圍（Δx→0）內(nèi)的概率，其表達式第十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

概率分布函數(shù)是信號瞬時值小于或等于某指定值的概率，表示為

因此有二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

在測試技術中，許多隨機信號服從或近似服從正態(tài)分布，并且大量獨立隨機分量的疊加近似服從正態(tài)分布，正態(tài)分布是最常用的一種分布，其概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

連續(xù)隨機信號的均值、均方值、方差與概率密度之間存在如下關系（一階原點矩） （二階原點矩） （二階中心矩） 二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

對于離散隨機信號序列的情況，如果信號序列x(n)在幅值上是量化了的，設量化單位為Q，是幅值落在到之間的序列點數(shù)，N是被觀察序列的總長度，則概率密度函數(shù)為

在數(shù)字信號處理中，常用無因次表示概率密度，即為二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日

概率分布函數(shù)為

二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

若被觀察信號的長度N有限，則只能得到均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)在該序列長度內(nèi)的估計值二、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)第二十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差平穩(wěn)隨機信號x(t)的自相關函數(shù)定義為

自相關函數(shù)反映了x(t)的幅值在t和t+

兩個不同時間點上瞬時值之間的關聯(lián)性。在實際計算中，不可能對無限長信號進行積分計算，一般用有限長樣本作其估計第二十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差

若將x(t)的均值扣除，則所得的自相關函數(shù)稱為自協(xié)方差，表示為第二十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差第三十頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差

兩個不同隨機信號x(t)和y(t)之間的互相關聯(lián)的特性用互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)表示，互相關函數(shù)定義為

互協(xié)方差函數(shù)定義為第三十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差

由于信號x(t)和y(t)本身的取值大小導致計算相關函數(shù)結(jié)果取值的大小，因而在比較不同的兩組隨機信號相關程度時，僅視其相關函數(shù)值大小是不確切的。為了避免信號本身幅值對其相關性程度量的影響，就將相關函數(shù)作歸一化處理，引入一個無量綱的函數(shù)：相關系數(shù)函數(shù)，其定義是若，說明x(t)與y(t)完全相關；

若，說明x(t)與y(t)完全不相關；若說明x(t)與y(t)部分相關。第三十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日

三、相關函數(shù)和協(xié)方差隨機信號序列x(n)的自相關函數(shù)定義為自協(xié)方差函數(shù)定義為隨機信號序列x(n)和y(n)的互相關函數(shù)定義為第三十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日三、相關函數(shù)和協(xié)方差互協(xié)方差函數(shù)定義為第三十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

四、功率譜密度

隨機信號是在時間上無始無終地向正負方向無限延伸的、具有無限大能量的信號，它顯然不滿足狄里赫利條件，不存在傅里葉變換，因此不可能用頻譜在頻域上對隨機信號進行分析處理，但可以認為它是一種功率信號，這與確定性周期信號相似，可以用信號的平均功率相對頻率的分布情況，即功率譜密度來分析描述隨機信號在頻域上的特性。第三十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日

設x(t)為平穩(wěn)隨機信號，則x(t)的自相關函數(shù)為

自相關函數(shù)的傅里葉變換為

其反變換為

當

=0時，由式（1）和（2）可得（1）（2）（3）（4）四、功率譜密度第三十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度上式左邊可理解為隨機信號電壓x(t)通過單位電阻時產(chǎn)生的平均功率，因此，由積分的意義，

可看成x(t)的平均功率相對頻率的分布函數(shù)，所以稱為雙邊自功率譜密度，簡稱功率譜密度。第三十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度則

令，則

上式中的也是功率譜密度，它反映了x(t)在正頻率軸上的功率分布狀況，稱之為單邊功率譜密度。由于是實偶函數(shù)，有第三十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

四、功率譜密度第三十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度

兩個隨機信號頻域特性的相互關系用互功率譜密度來描述，互功率譜密度與互相關函數(shù)也是一對傅里葉變換對，為

同樣為雙邊互功率譜密度，是單邊功率譜密度。第四十頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度

由于互相關函數(shù)不一定是偶函數(shù)，也不一定是奇函數(shù)，所以互功率譜密度具有復數(shù)形式上式中

稱為共譜密度函數(shù)，稱為重譜密度函數(shù)。第四十一頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度

對于離散隨機信號序列的自功率譜密度

與自相關函數(shù)為

其中Ω=ωTs，Ts為采樣周期。第四十二頁，共五十五頁，2022年，8月28日四、功率譜密度

為實偶函數(shù)，從而有

同樣地，互功率譜密度與互相關函數(shù)也是一對傅里葉變換對

第四十三頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

在測試系統(tǒng)中，除有用信號外的一切不需要的信號和干擾都可稱為噪聲。但通常，噪聲是指隨機產(chǎn)生的各種干擾。如某些電氣設備在工作時發(fā)出的電磁干擾，自然界的雷電干擾，以及電子元器件中由于電子等的無規(guī)則運動而產(chǎn)生的起伏噪聲等。各種噪聲按其不同的發(fā)生機制而有不同的特性。這里主要討論測試系統(tǒng)中最常見的噪聲信號即白噪聲和有色噪聲。第四十四頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

理想的白噪聲是指對所有的頻率其功率譜密度都是一非零常數(shù)的隨機過程，即

其自相關函數(shù)為第四十五頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

白噪聲信號的自相關函數(shù)和功率譜密度如圖所示。白噪聲在τ=0時，其自相關函數(shù)為無窮大，在τ≠0時，Rx(τ)=0，即表明白噪聲x(t)在t1≠t2（t2=t1+τ）時，x(t1)與x(t2)是不相關的。白噪聲信號的自相關函數(shù)和功率譜密度第四十六頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

如果噪聲不是白噪聲，功率譜為有限帶寬，通常稱為有色噪聲，有色噪聲的情況有多種多樣，若設某類有色噪聲的自相關函數(shù)為

對Rn(τ)作傅里葉變換，可得該有色噪聲的功率譜為第四十七頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

該有色噪聲的功率譜和自相關函數(shù)如圖所示。利用相關函數(shù)的特性從背景噪聲中提取周期信號。如一個周期信號，其相關函數(shù)也是周期的，而白噪聲的自相關函數(shù)是非周期的。有色噪聲的功率譜和自相關函數(shù)第四十八頁，共五十五頁，2022年，8月28日

五、白噪聲和有色噪聲信號

設信號是由周期信號p(t)和白噪聲n(t)所構(gòu)成，為且信號p(t)和白噪聲n(t)相互統(tǒng)計獨立，從而有當τ≠0時，則有所以，可以通過測算Rx(τ)，就能確定周期信號p(t)是否存在。第四十九頁，共五十五頁，2022年，8月28日五、白噪聲和有色噪聲信號

若信號

是隨機相位正弦波，則其自相關函數(shù)為若信號p(t)和有色噪聲n(t)相互統(tǒng)計獨立，則第五十頁，共五十五頁，2022年，8月28日五、白噪聲和有色噪聲信號

上式運算所得的自相關函數(shù)表示成如圖所示。由圖和上式可知，τ增加到足夠大時，信號x(t)的自相關函數(shù)只取決于周期信號p(t)的自相關函數(shù)，可以利用這一結(jié)果的特征判斷周期信號是否存在