參數(shù)估計計算

正態(tài)分布正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計學中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實際應用中，均占有重要的地位。正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機變量x服從正態(tài)分布(normaldistribution)，記為x～N(μ,σ2)。相應的概率分布函數(shù)為

標準正態(tài)分布

由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ2(或σ)的分布，正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨μ和σ2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，需將一般的N(μ，σ2)轉換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布。標準正態(tài)分布我們稱μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作ψ(u)和Φ(u)

：

隨機變量u服從標準正態(tài)分布，記作u～N(0，1)。標準正態(tài)分布對于任何一個服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量x，都可以通過標準化變換：

u=(x-μ)／σ

將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量u。

u稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差(standardnormaldeviate)。

正態(tài)分布的概率計算

例如，u=1.75，1.7放在第一列,0.05放在第七行。1.7所在行與0.05所在列相交處的數(shù)值為0.9599，即

Φ(1.75)=0.9599

有時會遇到給定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反過來查u值。這只要在表中找到與0.284最接近的值0.2843，對應行的第一列數(shù)-0.5，對應列的第一行數(shù)值0.07，即相應的u值為u=-0.57，即

Φ(-0.57)=0.284

如果要求更精確的u值，可用線性插值法計算。正態(tài)分布的概率計算已知u～N(0，1)，試求：

(1)

P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?一般正態(tài)分布的概率計算

設x服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。令

則u服從標準正態(tài)分布，故

=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564設有一個總體，總體平均數(shù)為μ,方差為σ2，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差(samplingerror)。顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)構成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體。有甲、乙、丙、丁4名工人，他們的日工資分別為50、60、70、80元，則他們的平均工資是多少以及方差是多少？現(xiàn)在隨機抽取2人組成樣本,對總體4名工人進行推斷。若采用重復抽樣一共有多少個樣本？若采用不重復抽樣一共有多少個樣本？重復抽樣其平均數(shù)和標準差分別記為和。是樣本平均數(shù)抽樣總體的標準差，簡稱標準誤(standarderror)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計學上已證明總體的兩個參數(shù)與x

總體的兩個參數(shù)有如下關系：

=μ，隨著樣本含量n的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。當n＞30時，的分布就近似正態(tài)分布了。

中心極限定理告訴我們：不論x變量是連續(xù)型還是離散型，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認為X的分布是正態(tài)的。一、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計總體均值

的置信區(qū)間(1)設已知時置信度為的置信區(qū)間是由標準正態(tài)分布的上分位數(shù)的定義知包糖機某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設重量服從正態(tài)分布,解例1查表得從以上解題過程可以看出，求未知參數(shù)的區(qū)間估計最關鍵一步是，選擇合適的函數(shù)并求出它的分布；估計總體均值時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量n為樣本容量n與總體方差2、邊際誤差△、可靠性系數(shù)U之間的關系為與總體方差成正比與邊際誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比估計總體均值時樣本容量的確定估計總體均值時樣本容量的確定

(例題分析)【例】擁有管理學士學位的大學畢業(yè)生年薪的標準差大約為2000元