《導數(shù)的計算》試卷 優(yōu)秀

《導數(shù)的計算》試卷A組基礎鞏固1．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為eq\f(π,4)的點是()A．(0,0)B．(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析：易求y′＝2x，設在點P(x0，xeq\o\al(2,0))處切線的傾斜角為eq\f(π,4)，則2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).答案：D2．設f(x)為可導函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2B．－1C．1D．－2解析：eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1－2x－f1,－2x)＝－1，即y′|x＝1＝－1，則y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－1.答案：B3．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)與f′(5)分別為()A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1解析：由題意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.答案：B4．已知曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點的橫坐標為()A．3B．2C．1\f(1,2)解析：設切點的橫坐標為(x0，y0)，∵曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，∴y′＝eq\f(x0,2)－eq\f(3,x0)＝eq\f(1,2)，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3，故選A.答案：A5．設P0為曲線f(x)＝x3＋x－2上的點，且曲線在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則P0點的坐標為()A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1，－4)D．(2,8)或(－1，－4)解析：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx)＝3x2＋1.由于曲線f(x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，所以f(x)在P0處的導數(shù)值等于4，設P0(x0，y0)，有f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝±1，這時P0點的坐標為(1,0)或(－1，－4)．答案：C6．已知曲線y＝2x3上一點A(1,2)，則A處的切線斜率等于()A．2B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．6解析：∵y＝2x3，∴y′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(2x＋Δx3－2x3,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δx3＋3xΔx2＋3x2Δx,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2，∴點A(1,2)處切線的斜率為6.答案：D7．曲線y＝－x3＋3x2在點(1,2)處的切線方程為()A．y＝3x－1B．y＝－3x－5C．y＝3x－5D．y＝2x解析：∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝－3＋6＝3，故切線方程為y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，故選A.答案：A8．曲線y＝eq\f(x2,4)的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點的橫坐標為__________．解析：因為k＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\f(x＋Δx2,4)－\f(x2,4),Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(Δx,4)))＝eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)，所以x＝1.答案：19．曲線y＝x3－x＋3在點(1,3)處的切線方程為__________．解析：y′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x＋Δx＋3－x3－x＋3,Δx)＝3x2－1，當x＝1時，y′＝2，即切線斜率k＝2.所以切線方程為y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝010．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于點P的直線方程．解析：(1)y′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－3x＋Δx－3x3＋3x,Δx)＝3x2－3.則過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率k1＝f′(1)＝0，∴所求直線的方程為y＝－2.(2)設切點坐標為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，∴xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故所求直線斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－3＝－eq\f(9,4)，于是y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即y＝－eq\f(9,4)x＋eq\f(1,4).B組能力提升11．設f(x)存在導函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，則曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()A．2B．－1C．1D．－2解析：eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(－2Δx→0))eq\f(f1－2Δx－f1,－2Δx)＝f′(x)＝－1.答案：B12．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于1，則其切線方程有()A．一條B．兩條C．多于兩條D．不確定解析：由導數(shù)定義可得y′＝3x2，設切點為(x0，xeq\o\al(3,0))，由3xeq\o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq\f(\r(3),3)，即在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))處有斜率為1的切線，故有兩條．答案：B13．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離．解析：根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線對應的切點到直線x－y－2＝0的距離最短，設切點坐標為(x0，xeq\o\al(2,0))，則y′|＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0＝1，所以x0＝eq\f(1,2)，所以切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，切點到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f(|\f(1,2)－\f(1,4)－2|,\r(2))＝eq\f(7\r(2),8)，所以拋物線上的點到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2),8).14．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值．解析：∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2∵g′(x)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bx,Δx)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切線斜率k2＝3＋b.∵在交點(1，c)處有公共切線，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))15．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．解析：(1)∵y′＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2,Δx)＝2x＋1，∴y′|x＝1＝3，所以直線l1的方程為y＝3(x－1)，即y＝3x－3.設直線l2過曲線y＝x2＋x－2上的點P(x0，xeq\o\al(2,0)＋x0－2)，設直線l2的方程為y－(xeq\o\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－eq\f(2,3).∴直線l2的方程為y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b