第3章-彈性地基梁理論

第3章彈性地基梁理論概述彈性地基梁的計(jì)算模型彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁3.1概述彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁，如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。彈性地基梁與普通梁的區(qū)別普通梁式靜定的或有限次超靜定結(jié)構(gòu)；彈性地基梁是無(wú)窮多次超靜定結(jié)構(gòu)。普通梁的支座通常看做剛性支座，即只考慮梁的變形；彈性地基梁則必須同時(shí)考慮地基的變形。3.2彈性地基梁的計(jì)算模型局部彈性地基模型溫克爾假設(shè)：把地基模擬為剛性支座上一系列獨(dú)立的彈簧。缺點(diǎn)：局部彈性地基模型沒(méi)有反映地基的變形連續(xù)性，不能全面的反映地基梁的實(shí)際情況。但如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅(jiān)硬巖石，這時(shí)將得出比較滿意的結(jié)果。半無(wú)限體彈性地基模型彈性地基梁的受力和變形假設(shè)把地基看作一個(gè)均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無(wú)限體。優(yōu)點(diǎn)反映了地基的連續(xù)整體性，同時(shí)從幾何上、物理上對(duì)地基進(jìn)行了簡(jiǎn)化。缺點(diǎn)彈性假設(shè)沒(méi)有反映土壤的非彈性性質(zhì)；均質(zhì)假設(shè)沒(méi)有反映土壤的不均勻性；半無(wú)限體的假設(shè)沒(méi)有反映地基的分層特點(diǎn)；數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。3.3彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解基本假定地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過(guò)程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；由于梁與地基間的摩擦力對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，可以略去不計(jì)，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計(jì)算結(jié)論。彈性地基梁的撓度曲線微分方程式彈性地基梁的微元分析考察微段的平衡有：化簡(jiǎn)得：省略二階微量化簡(jiǎn)得：合并二式得：根據(jù)材料力學(xué)有：代入化簡(jiǎn)得到撓曲微分方程：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解令撓曲微分方程中，得到對(duì)應(yīng)齊次微分方程：

且令：通解為：利用雙曲函數(shù)關(guān)系：得到另一通解：初參數(shù)解初參數(shù)法把四個(gè)積分常數(shù)改用四個(gè)初參數(shù)來(lái)表示，根據(jù)初參數(shù)的物理意義來(lái)尋求簡(jiǎn)化計(jì)算的途徑。用初參數(shù)表示積分常數(shù)彈性地基梁作用的初參數(shù)梁左端邊界條件：得到積分常數(shù)：其中：用初參數(shù)表示的齊次微分方程的解：其中：微分關(guān)系為：彈性地基梁已知初參數(shù)A端邊界條件待求初參數(shù)自由端M0=0Q0=0M0=-mQ0=-P1MA=0QA=0MA=0QA=P2θ0y0θ0y0簡(jiǎn)支端M0=0y0=0M0=m1y0=0MA=0yA=0MA=m2yA=0θ0Q0θ0Q0實(shí)際工程中常遇到的支座形式反荷載作用下梁端參數(shù)的值固定端θ0=0y0=0θ0=0y0=0θA=0yA=0θA=0yA=0M0Q0M0Q0彈性固定端y0=0yA=0θ0=M0β0M0Q0彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解集中荷載作用下的特解項(xiàng)集中力作用于地基梁集中力Pi作用下的特解項(xiàng)OA和AB段撓曲微分方程分別為：由A點(diǎn)的變形連續(xù)條件和受力情況有：當(dāng)時(shí)，特解項(xiàng)為零。當(dāng)時(shí)，集中力偶Mi作用下的特解項(xiàng)集中力偶作用于地基梁當(dāng)時(shí)，取特解項(xiàng)為零。分布荷載作用下的特解項(xiàng)分布荷載作用于地基梁分布荷載可分解成多個(gè)集中力，按集中力求解特項(xiàng)。荷載在右邊截面x處引起的撓度特解項(xiàng)為：x截面以左所有荷載引起的撓度特解項(xiàng)為：均布荷載荷載均布與ab段（積分限）（積分限）當(dāng)荷載滿跨均布時(shí)，積分限是（0，x），故有：三角形分布荷載三角形荷載作用于地基梁微段上荷載引起的撓度附加項(xiàng)為：當(dāng)時(shí)，積分限是

，當(dāng)時(shí)，積分限是

，當(dāng)三角形荷載布滿全跨時(shí)，積分限是（0，x）有：梁全跨布滿梯形荷載的特解項(xiàng)梯形荷載作用于地基梁只須把均布荷載與三角形荷載作用下兩式疊加即可。共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń饩C合荷載作用于地基梁當(dāng)時(shí)，項(xiàng)取值為零。3.4彈性地基短梁、長(zhǎng)梁及剛性梁彈性地基梁的分類(lèi)（a）短梁（b）無(wú)限長(zhǎng)梁（c）半無(wú)限長(zhǎng)梁（d）剛性梁換算長(zhǎng)度長(zhǎng)梁的計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力Pi的計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力的計(jì)算采用梁撓曲方程齊次解式，即：由有：由對(duì)稱(chēng)條件有：考慮地基反力與外載的平衡條件：化簡(jiǎn)得到：其中：無(wú)限梁右半部分有：其中：對(duì)于梁的左半部分，只需將式中和改變負(fù)號(hào)即可。無(wú)限長(zhǎng)梁在集中力偶mi作用下的計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)梁作用集中力偶的計(jì)算反對(duì)稱(chēng)條件：代入齊次微分方程通解得：無(wú)限長(zhǎng)梁右半部分的變形及內(nèi)力為：對(duì)于左半部分，只需將上式中y與M變號(hào)即可。半無(wú)限長(zhǎng)梁作用初參數(shù)的計(jì)算半無(wú)限長(zhǎng)梁作用的初參數(shù)將代入：得到：再由：得到：如梁端作用有初參數(shù),則可得到與之間的關(guān)系：最終有：半無(wú)限長(zhǎng)梁在梯形荷載作用下的計(jì)算故任一截面的變形與內(nèi)力為：是齊次微分方程的一個(gè)特解。梯形荷載作用于半無(wú)限長(zhǎng)梁剛性梁的計(jì)算剛性梁的計(jì)算按靜定梁的平衡條件，得到剛性梁的變形與內(nèi)力為：3.5

算例兩端自由的彈性地基梁，長(zhǎng)，寬，

，地基的彈性壓縮系數(shù)

，求梁1、2、3截面的彎矩例子1(1)判斷梁的類(lèi)型考慮Pi集中載距右端為1m，故屬于短梁。(2)計(jì)算初參數(shù)梁左端條件：梁右端條件：代入共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń獾茫簩⒏鲾?shù)值代入后得：解得：（3）計(jì)算各截面的彎矩長(zhǎng)度λ及彈性特征系數(shù)α，作用荷載如圖，如果