數(shù)字信號處理 王振揚(yáng) 第二章 采樣課件

信號的采樣和重建一版1.2節(jié)二版第二章

A/D變換器通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)采樣保持器D/A變換器模擬低通濾波器模擬信號數(shù)字信號模擬信號數(shù)字信號處理系統(tǒng)連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號一、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的模擬接口模擬信號的數(shù)字化數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平D/A輸出模擬濾波輸出二、模擬信號采樣與重建

對信號進(jìn)行時間上的離散化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。研究內(nèi)容：信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號）由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號的條件采樣的這些性質(zhì)對離散信號和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過程。連續(xù)時間信號的采樣采樣器TP(t)例如分兩步：如開關(guān)每次閉合τ秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為τ的脈沖，(如圖)脈沖的幅度是這段時間內(nèi)信號的幅度(如圖)，這一采樣過程可看作是一個脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以P(t)表示,調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t),則采樣輸出為

一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時間點(diǎn)上的瞬時值。

實(shí)際情況下，τ＝0達(dá)不到，但τ<<T時，實(shí)際采樣接近理想采樣，理想采樣可看作是實(shí)際采樣物理過程的抽象，便于數(shù)學(xué)描述，可集中反映采樣過程的所有本質(zhì)特性，理想采樣對Z變換分析相當(dāng)重要。

3、采樣信號的頻譜

無混疊有混疊如果信號最高頻譜超過s/2,那么在理想采樣頻譜中,各次調(diào)制頻譜就會互相交疊,出現(xiàn)頻譜的“混淆”現(xiàn)象,為簡明起見,圖中將xa(j)作為標(biāo)量處理,一般xa(j)為復(fù)數(shù),交疊也是復(fù)數(shù)相加。當(dāng)出現(xiàn)頻譜混淆后,一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜,用基帶濾波恢復(fù)出來的信號就要失真?；殳B？奈奎斯特采樣定理：要使實(shí)信號采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍。Ωs≥2Ωmax實(shí)際工作中，考慮到有噪聲，為避免頻譜混淆，采樣頻率總是選得比兩倍信號最高頻率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同時，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護(hù)性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分量進(jìn)入。3）歸一化數(shù)字角頻率ω=ΩT=Ω/fsωs=ΩsT=2數(shù)字頻率歸一化X(ejw)是將做一個頻率尺度變換，ω=ΩT,這種尺度變換也可以看做是一種頻率軸的歸一化，Ω=Ωs歸一化到X(ejw)的ω=2π.時域T,頻域fs=1/T4．采樣的恢復(fù)（恢復(fù)模擬信號）

如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折迭頻率

則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有

││<S/2將采樣信號通過一個理想低通濾波器（只讓基帶頻譜通過），其帶寬等于折迭頻率S/2，特性如圖

采樣信號通過此濾波器后，就可濾出原信號的頻譜：

也就恢復(fù)了模擬信號：y(t)=xa(t)實(shí)際上，理想低通濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。G(j)g(t)G(j)Txa(t)y(t)=xa(t)

0S/2

討論采樣信號通過理想低通濾波器G（j）的響應(yīng)過程。理想低通G（j）的沖激響應(yīng)為

頻域相乘對應(yīng)時域卷積，利用卷積公式，則采樣信號經(jīng)理想低通后的輸出為

這里，g(t-nT)稱為內(nèi)插函數(shù)特點(diǎn)：在采樣點(diǎn)nT上，函數(shù)值為1，其余采樣點(diǎn)上，值為零。內(nèi)插公式表明，連續(xù)函數(shù)xa（t）可以由它的采樣值xa（nT）來表示，它等于xa（nT）乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和，如圖1.7所示。在每一個采樣點(diǎn)上，由于只有該采樣值對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，所以保證了各采樣點(diǎn)上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。內(nèi)插公式的意義:證明了只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高頻譜，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息——奈奎斯特定律。Examples

選學(xué)內(nèi)容三、采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性四、連續(xù)時間帶通信號的采樣濾波器幅頻特性三四帶通信號采樣帶通信號由低通信號調(diào)制而成選擇采樣頻率-大量頻率分量為零，有時頻高而無法實(shí)現(xiàn)；欠采樣保證僅與零分量頻帶混疊擴(kuò)展重建五、離散時間信號的采樣和插值在實(shí)際應(yīng)用中，各系統(tǒng)之間的采樣率往往是不同的，例如，在音頻范圍內(nèi)，廣播系統(tǒng)的采樣率為32kHz，CD唱機(jī)的采樣率為44.1kHz，而數(shù)字錄音帶（DAT）的采樣率為48kHz。這就需要設(shè)計(jì)一類數(shù)字濾波器，用于將被處理信號的采樣率轉(zhuǎn)換成與相應(yīng)系統(tǒng)所要求一致的采樣率。多采樣率技術(shù)還有許多其他的應(yīng)用，過采樣技術(shù)是其中的一個典型應(yīng)用實(shí)例。幾個例子：①一個數(shù)字電話系統(tǒng)，通過該系統(tǒng)傳輸?shù)募扔姓Z音信號，也有傳真（FAX）信號，甚至有視頻信號，這些信號的頻率成分相差甚遠(yuǎn)。因此，該系統(tǒng)應(yīng)具有多種抽樣頻率并自動地完成采樣率的轉(zhuǎn)換；②對低采樣率的信號進(jìn)行精確的時間對準(zhǔn)或時間估計(jì)時，需要進(jìn)行升采樣率處理，對高采樣率的信號進(jìn)行局部頻段的精確頻譜分析時，常采用降采樣率處理，在時空信號處理時，常進(jìn)行升采樣率和降采樣率混合處理；③當(dāng)需要將數(shù)字信號與一些特殊系統(tǒng)的時鐘同步時，可能需要進(jìn)行采樣率的轉(zhuǎn)換；④對非平穩(wěn)隨機(jī)信號（如語音）作譜分析或編碼時，對不同的信號段可根據(jù)其頻率成分的不同而采用不同的采樣率，達(dá)到既滿足抽樣定理又最大限度地減少數(shù)據(jù)量的目的。以上幾個例子都需要能對采樣率進(jìn)行轉(zhuǎn)換，或要求數(shù)字系統(tǒng)工作在多采樣率狀態(tài)。所以，建立在采樣率轉(zhuǎn)換理論基礎(chǔ)上的“多采樣率數(shù)字信號處理”已成為數(shù)字信號處理這一學(xué)科中的重要內(nèi)容。主要討論第三種方法,在“數(shù)字域”作采樣率轉(zhuǎn)換的方法。減少采樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為信號的“抽取”，增加采樣率以增加數(shù)據(jù)的過程稱為信號的“插值”。本節(jié)所涉及的內(nèi)容也是語音及圖象數(shù)據(jù)壓縮的新技術(shù)——子帶編碼（subbandcoding）的重要理論基礎(chǔ)。采樣率降低——整數(shù)Ｍ倍抽取0510152025303540-1-0.500.51x(n)02468101214161820-1-0.500.51y(m)圖信號抽取示意圖，M=3，橫坐標(biāo)為抽樣點(diǎn)數(shù)（a）原信號x(n)；（b）中間信號x’(n)；（c）抽取后的信號y(n)X(n)的DTFT呈現(xiàn)周期性，ws=2pi,那么抽取后的信號DTFT呈現(xiàn)什么變化？定義信號則因此式中：Z在單位圓上取值，可得DTFT:對信號抽取后，M個頻段信號混疊在一起。這樣，是原信號頻譜先作M倍的擴(kuò)展再在軸上每隔的移位疊加X’(w)類似于模擬信號采樣，采樣前必須采用抗混疊低通濾波器對信號x(n)進(jìn)行濾波，濾波特性逼近于：抽取濾波器如果信號X(ejw)滿足則抽取后信號無混疊，否則將混疊失真M＝2頻譜不同：頻率尺度不同抽取后，頻譜帶寬展寬原帶限信號傅里葉變換T采樣后信號沖激串傅里葉變換T采樣后信號序列DTFT對信號序列M抽取后的頻譜M＝3有混迭產(chǎn)生續(xù)上頁用濾波防混迭抽取后對頻域的影響降采樣處理的頻譜變化過程抽取應(yīng)用采樣率提高——整數(shù)Ｌ倍內(nèi)插

02468101214161820-1-0.500.510102030405060-1-0.500.51

新的采樣率：內(nèi)插信號：單位圓上取值，可得到：因?yàn)榈闹芷跒椋缘闹芷跒?。上式說明，在內(nèi)等于,相當(dāng)于將作了周期壓縮。為恢復(fù)基帶信號并去除不需要的鏡像分量，需要進(jìn)行低通濾波：插零后再作低通濾波信