田凌清華大學(xué)機(jī)械制圖8 平面及直線與立體相交

平面及直線與立體相交88.1平面與平面體相交8.2平面與回轉(zhuǎn)體相交8.3直線與立體相交內(nèi)容截切：用平面與立體相交，截去體的一部分截平面：用以截切立體的平面截交線：截平面與立體表面的交線定義截平面截交線8.1平面與平面體相交截交線的性質(zhì)是截平面與立體表面的共有線；截交線的形狀取決于被截立體的形狀及截平面與立體的相對(duì)位置；是一封閉的平面多邊形;截交線投影的形狀取決于截平面與投影面的相對(duì)位置。8.1平面與平面體相交【例】求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。分析：

截平面與四棱柱的四條棱線相交，截交線為四邊形。截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚，水平投影、側(cè)面投影為類似的四邊形圖形。作圖步驟：*利用主視圖中截平面的積聚性，找出截交線4個(gè)頂點(diǎn)的正面投影：*利用“三等”關(guān)系，在棱線上作出截交線頂點(diǎn)的側(cè)面和水平投影；*順序連接各頂點(diǎn)，畫出截交線；321(4)12431243ⅠⅡⅢⅣ*補(bǔ)全棱線的投影?！纠空死庵黄矫鍼截切，已知截切后的主視圖和左視

圖，求作俯視圖。分析：P為正垂面，與棱柱的8條棱線均相交，截交線為八邊形；截交線的正面投影積聚于p′、側(cè)面投影為p″重合，水平投影應(yīng)與側(cè)面投影類似。作圖步驟：*作出完整棱柱的俯視圖;a″h″b″g″f″c″d″e(cuò)″b′c′f′g′d′e′a′h′*確定八邊形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；*順序連接各頂點(diǎn)，作出八邊形；ah*檢查棱柱各棱線的投影，完成俯視圖。decbfgp′p″檢查：p與p″的類似性p8.2平面與回轉(zhuǎn)體相交8.2.1平面與圓柱體相交P⊥軸線P

∥軸線P

軸線兩平行直線橢圓圓平面截切圓柱表面時(shí)，截平面P與軸線的相互位置關(guān)系決定截交線的形狀：【例】圓柱體被正垂面P截切，求作左視圖。分析：P傾斜于圓柱軸線，截交線為橢圓；

P為正垂面，截交線的正面投影積聚在p′，水平投影與俯視圖的圓重合，側(cè)面投影應(yīng)為橢圓。作圖步驟：*作完整圓柱的左視圖;*求特殊點(diǎn)A、B、C、D；b″a″d″c″c′d′b′a′abcd*求中間點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ；121′2′2″1″*光滑連接橢圓曲線;*檢查輪廓線，判斷可見性。p′逐點(diǎn)法繪制曲線：準(zhǔn)確找出曲線上的特殊點(diǎn)和中間點(diǎn)的投影。特殊點(diǎn)：極限位置點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)短軸端點(diǎn)，曲線拐點(diǎn)，切點(diǎn)，可見性分界點(diǎn)，輪廓線上的點(diǎn)……PBDCA討論：

截平面與圓柱體軸線的夾角變化時(shí)，截交線側(cè)面投影的橢圓的長(zhǎng)、短軸也隨之變化。當(dāng)夾角為45°時(shí)，投影為一個(gè)圓?！纠恳阎獔A柱左端開一方槽后的主視圖和左視圖，求作俯視圖。分析：P、Q平行于圓柱軸線，與圓柱面交線為直線（側(cè)垂線）；

S垂直于圓柱軸線，截交線為圓弧。

P、Q與S交線為正垂線；截交線的正面、側(cè)面投影均為已知。作圖步驟：*作完整圓柱的俯視圖;*求作S的截交線：兩段圓弧a′c′b′d′b″d″a″b″ac*求作P、Q的截交線：*作出S與P、Q的交線：*檢查輪廓線，完成俯視圖。dbe′ee″p′q′s′8.2.2平面與圓錐相交

截平面與圓錐面軸線的相對(duì)位置不同，截交線可能為：圓、橢圓、直線、拋物線、雙曲線。與軸線垂直與軸線傾斜與一條素線平行過(guò)錐頂與軸線平行兩相交直線橢圓圓拋物線雙曲線【例】正垂面P截切圓錐，求作俯視圖和左視圖。分析：P與圓錐軸線傾斜，截交線為橢圓；截交線的正面投影積聚于p′，水平投影和側(cè)面投影應(yīng)為橢圓。作圖步驟：b′a′c′d′b″a″dcbae′f′efe″f″d″c″PBCDAp′*作出完整圓錐的俯視圖和左視圖；*求作截交線上的特殊點(diǎn)：求橢圓長(zhǎng)短軸端點(diǎn)A、B、C、D；*求作截交線上的中間點(diǎn)；*依次光滑連接，繪制橢圓；*檢查輪廓線及可見性。求側(cè)面輪廓線上的點(diǎn)E、F；注意：*左視圖中圓錐輪廓線與橢圓相切于e″；*D點(diǎn)為截交線中最前點(diǎn)。8.2.3平面與圓球相交

平面與圓球相交，截交線始終為圓；依據(jù)截平面相對(duì)于投影面的不同位置，截交線的投影可為圓、橢圓或者積聚為直線。分析：兩個(gè)側(cè)平面和一個(gè)水平面截切圓球，截交線分別為側(cè)平圓弧和水平圓??；側(cè)平截面和水平截面的交線為正垂線；截交線的正面投影均為已知。作圖步驟：*作出半球截切前的俯視圖、左視圖；*分別作出側(cè)平截面的截交線的側(cè)面投影圓弧和水平投影直線；*分別求作出水平截面的截交線的水平投影圓弧和側(cè)面投影直線：*檢查輪廓線，并注意可見性。*作出截平面之間的交線；【例】求作圓球截切后的俯視圖、左視圖。8.2.4平面與圓環(huán)相交

截平面在不同位置截切圓環(huán)，產(chǎn)生的截交線形狀不同，可以是一條或兩條。伯努利曲線卡西尼卵形線波修斯曲線分析：

圓環(huán)上部被水平面P截切，截交線應(yīng)為一條封閉的平面曲線，正面投影積聚在p′上，水平投影應(yīng)反映曲線的實(shí)形。作圖步驟：*作出圓環(huán)截切前的俯視圖；*作出截交線上的特殊點(diǎn)A,B,C,D,D,F；*作出截交線上的中間點(diǎn)；*依次光滑連接特殊點(diǎn)和中間點(diǎn)；【例】水平面P截切半個(gè)圓環(huán)，試完成俯視圖。p′a′b′abc′d′cdefe′f’8.3直線與立體相交8.3.1直線與平面體相交

直線與立體相交時(shí)，需求出交點(diǎn)。求直線與平面體相交的交點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是求出直線與平面的交點(diǎn)。注意：

直線穿入立體的部分不畫線。8.3.2直線與回轉(zhuǎn)體相交

如果直線或回轉(zhuǎn)體表面的投影有積聚性，可直接求出交點(diǎn)的投影；如無(wú)法直接利用積聚性投影，一般則要通過(guò)作輔助面的方法，才能作出直線與回轉(zhuǎn)體的交點(diǎn)?！纠壳笾本€AB與圓錐的交點(diǎn)。分析：

直線和圓錐的投影都不具備積聚性，故要利用輔助面進(jìn)行作圖。

包含直線AB和錐頂S作輔助面與圓錐面交于兩條素線，這兩條素線與AB的交點(diǎn)即為直線AB與圓錐的交點(diǎn)。s’a’b’m’f’k’l’nsabmfkldcn