初中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-圓-圓的內(nèi)接四邊形

初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)精品設(shè)計(jì)精品設(shè)計(jì)例圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA、ZB、ZC的度數(shù)的比是3：2：7,求四邊形各內(nèi)角度數(shù).解：設(shè)ZA、ZB、ZC的度數(shù)分別為3x、2x、7x.TABCD是圓內(nèi)接四邊形....ZA+ZC=180°即3x+7x=180°,.??x=18°..??ZA=3x=54°,ZB=2x=36°,ZC=7x=126°,又VZB+ZD=180°,.??ZD=180°—36°=144°.說明：①鞏固性質(zhì)；②方程思想的應(yīng)用.例（2001廈門市，教材P101中17題）如圖，已知人。是4ABC的外角ZEAC的平分線,AD與三角形ABC的外接圓相交于D.求證：DB=DC.分析：要證DB=DC,只要證ZBCD=ZCBD，充分利用條件和圓周角的定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),即可解決.證明：TAD平分ZEAC,?.ZEAD=ZDAC,TZEAD為圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角，.ZBCD=ZEAD,又ZCBD=ZDAC,.ZBCD=ZCBD,.DB=DC.說明：角相等的靈活轉(zhuǎn)換,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)作橋梁.例如圖，△ABC是等邊三角形，D是EC上任一點(diǎn)，求證：DB+DC=DA.分析：要證明一條線段等于兩條線段的和,往往可以“截長”和“補(bǔ)短”法,本題兩種方法都可以證明.證明：延長DB至點(diǎn)E,使BE=DC,連AE.在AAEB和厶ADC中，BE=DC.△ABC是等邊三角形..AB=AC.?/四邊形ABDC是0O的內(nèi)接四邊形，.ZABE=ZACD.???△AEB9AADC..ZAEB=ZADC=ZABC.TZADE=ZACB,又TZABC=ZACB=60°,.ZAEB=ZADE=60°..△AED是等邊三角形,.AD=DE=DB+BETBE=DC,.DB+DC=DA.說明：本例利用“截長”和“補(bǔ)短”法證明.培養(yǎng)學(xué)生“角相等的靈活轉(zhuǎn)換”能力.在圓中圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)構(gòu)成了角度相當(dāng)轉(zhuǎn)換的一個體系,應(yīng)重視.典型例題四例）A.解如圖，ABCD是0O的內(nèi)接四邊形，AH丄CD，如果ZHAD二30。，那么例）A.解90°B.120°C.135°D.150ZHAD=30。,ZAHD=90。，

ZD二60。,由圓內(nèi)接四邊形的對角和是180°，得ZB=120。，故選B.說明：“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.”這個定理很重要，要正確運(yùn)用.典型例題五例如圖，已知：叩與。O2相交于點(diǎn)A、B，P是。Oi上任意一點(diǎn)，處PB的延長線交0O于點(diǎn)c、D,OO的直徑PE的延長線交CD于點(diǎn)21M.求證：PM丄CD.分析：要證PM丄CD，即證ZDPM+ZD二90。，連結(jié)公共弦AB及EB,即得證.證明：連結(jié)AB、EB,在。中，ZPAB=ZPEB.VABCD為。O2的內(nèi)接四邊形.???ZPAB=ZD,ZPEB=ZD.?:PE為0O的直徑.ZPBE=90°.1ZDPM+ZPEB=90°.ZDPM+ZD=90°.ZDMP=90°.即PM丄CD.說明：連接AB就構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理的基本圖形.典型例題六例如圖，AD是AABC外角ZEAC的平分線，AD與AABC外接0O交于點(diǎn)D，N為BC延長線上一點(diǎn)，且CN=CD,DN交0O于點(diǎn)胚求證：（1）DB=DC；（2）DC2=CM-DN.分析：（1）由于DB與DC是同一三角形的兩邊，要證二者相等就應(yīng)先證明它們的對角相等，這可由圓周角定理與圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)得到：（2）欲證乘積式DC2=CM-DN.，只須證比例式DCCMDCCM=，也即=DNDCDNCN證明(1)連結(jié)DC.

TAD平分ZEAC,.??ZEAD二ZDAC二ZDBC.又ABCD內(nèi)接于OO,.??ZEAD=ZDCB.故ZDBC=ZDCB.DB=DC.(2)ZDMC=180。—ZDBC=180?！猌DCB=ZDCN,ZCDM=ZNDC.DC???MDMCsDC???MDMCsACN，故頁=CM~CNCMdN:.DC2=CM-DN.說明：本題重在考查圓周角與圓內(nèi)接四邊形的基本性質(zhì)和利用相似三角形證明比例線段的基本思維方法.本題曾是1996年南昌市中考試題.典型例題七例如圖，已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，EB是OO的直ABBC徑,且EB丄AD,AD與BC的延長線相交于F.求證：卡=.FDDC證明連結(jié)AC.?.?AD丄EBAB=BDZACB=ZDAB.???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,.??ZFCD=ZDAB,ZFDC=ZABC.?ZACB=ZFCD.???^ABCsAFDC,??AB=BC.FDDC說明：本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是輔助線構(gòu)造AABC，再證AABCsAFDC.易錯點(diǎn)是不易想到證ZFCD=ZACB而使解題陷入困境或出現(xiàn)錯誤.典型例題八例如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O,AB是直徑，AD=DC，分別延長BA,CD交于點(diǎn)E,BF丄EC，交EC的延長線于F,若EA=AO,BC=12，求CF的長.解連結(jié)OD,BD.?AD=DC,?-也=皿.6必=寺處的度數(shù)=也的度數(shù)=zaoD..OD//BC.初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)精品設(shè)計(jì)精品設(shè)計(jì)精品設(shè)計(jì)精品設(shè)計(jì)ODEO?…~bc~~EB.EA=AO=BO,BC=12,A°D=-123aOD=8.aAB=16,EB=24.?ABCD內(nèi)接于0O,AZEDA二ZEBC.又ze公用，???aeda“”??AD=EA=ED.設(shè)AD設(shè)AD=DC=x,ED=y則有12=24=x=4\：2.AD=4“2.?AB為0O的直徑，???ZADB=ZF=90°.又ZDAB二ZFCB.:,RtAADBsRtACFB.AD=AD=竺即空二蘭CFBCCF12:.CF=3邁.說明本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作出輔助線.典型例題九例（海南省，2000）如圖，AB是0O的直徑，弦（非直徑）CD丄AB,p是0O上不同于C,D的任一點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動時，ZAPC與ZAPD的關(guān)系如何？請證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上運(yùn)動時，ZAPC與ZAPD的關(guān)系如何？請證明你的結(jié)論（不要討論P(yáng)點(diǎn)與A點(diǎn)重合的情形）分析：利用在同圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理來解決.解???弦CD丄AB，AB是直徑，???■?""?（1）ZAPC=ZAPD.(2)ZAPC+ZAPD=180°.ZAPC=-j-AC的度數(shù)=*骯的度數(shù)=ZAPO.AAPC+zLAPD=知"、度數(shù)+*去度數(shù)=*00=180。（如圖中虛線所示）.選擇題在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA和它的對角ZC的度數(shù)的比為1:2,那么ZA為（）

A．30°B．60°C．90°C．120°四邊形ABCD內(nèi)接于圓，ZA、ZB、ZC、ZD的度數(shù)依次可以是()A．1：2：3：4B．6：7：8：9C．4：1：3：2D．14：3：1：12四邊形ABCD內(nèi)接于圓，ZA、ZB、ZC、ZD的度數(shù)比依次可以是()A．1:2:3:4B．4:2:3:1C．4:3:1:2D．4:1:3:2A.125。B.110。c.55。A.125。B.110。c.55。D.70。5.如圖，OO與。O交于A、B兩點(diǎn)，且。O過。O的圓心O，若ZM二40。，則ZN12等于()B.80。A.40。圓內(nèi)接平行四邊形一定是()(A)矩形(B)正方形已知AB、CD是0O的兩條直徑，A.矩形B.菱形C.正方形四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則ZA、21c.(D)梯形)(C)菱形則四邊形ADBC一定是(D.等腰梯形ZB、ZC、ZD的度數(shù)比可以是((A)1：2：3：4(A)1：2：3：4(B)7：5：10：8(C)13：1：5：17(D)1：3：2：49、若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AE丄CD于E，ZABC=130。，貝JZDAE為()(A)50°(B)40°(C)30°(D)20°10、如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線相交于P,對角線AC和BD相交于點(diǎn)Q,則圖中共有相似的三角形()(A)4對(B)3對(C)2對(D)1對PB11.如圖，在AABC，AD是高，AABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G,有下列四個結(jié)論?(1)AD2=BD-CD；(2)BE2=EG-AE；(3)AE-AD=AB-AC；(4)AG-EG=BG-CG.其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個12.已知：如圖，劣弧金=40。，那么ZB+ZD的度數(shù)是()A．320°B．160°C．150°D．200°13．鈍角三角形的外心在（）A?三角形內(nèi)B?三角形外C.三角形的邊上D?上述三種情況都有可能14．圓內(nèi)接平行四邊形的對角線（）A.互相垂直B.互相垂直平分C.相等D.相等且平分每組對角列命題錯誤的是（）A.AABE=ADCEC.S二24.5四邊形ABCD答案：1.B2.D3.C4.A5.D14.列命題錯誤的是（）A.AABE=ADCEC.S二24.5四邊形ABCD答案：1.B2.D3.C4.A5.D14.D15.D.10、A.11.B12.B13.BB.ZBDA二45。D.圖中全等的三角形共有2對TOC\o"1-5"\h\z6、A；7.A8、C；9、B填空題已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，若ZA與ZC的度數(shù)之比是1：2,則ZA的度數(shù)是度.若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且ZACD為36°，則盒所對的圓心角的度數(shù)是度.圓內(nèi)接四邊形相鄰三個內(nèi)角的比是2：1：7，貝y這個四邊形的最大角的度數(shù)為度.圓上四點(diǎn)A、B、C、D，分圓周為四段弧，且①m門八心=1:2:3:4，則圓內(nèi)接四邊形ABCD的最大角是圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若ZEBC是ZABC相鄰的一個外角，且ZEBC=105。，ZC二93。，貝yZD=ZA=，若ZA:ZB:ZC二1:2:3，則ZD=，ZA=四邊形ABCD內(nèi)接于圓，ZA、ZC的度數(shù)之比是5:4，ZB比ZD大30。，則ZA=，ZD=圓內(nèi)接梯形是梯形，圓內(nèi)接平行四邊形是圓內(nèi)接四邊形ABCD中，如果ZA:ZB:ZC=2:3:4，那么ZD=度.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ZA:ZB:ZC二4:3:5，則ZD=10.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=30°,AC，貝V四邊形ABCD11?如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點(diǎn)A落在處的中點(diǎn)A，若BC二5，則折痕在AABC內(nèi)的部分DE長為.1.60°；2.72°；3.160°;4.1261.60°；2.72°；3.160°;4.126。5.105。，87。，90。，45。;6.100。,75。7.等腰,矩形.8.909.120°10.込a211.4101判斷題頂點(diǎn)在圓上的角叫做圓周角；（）相等的圓周角所對的弧相等；（）直角所對的弦是直徑；（）在圓中，同一弦上的兩個圓周角相等或互補(bǔ)；（）弓形含的圓周角為120。，貝弓形弧也為120。；（）四邊形的對角互補(bǔ).（）答案:1.X2.X3.X4.V5.X6.X.E解答題E1、如圖，已知：ABCD為圓內(nèi)接四邊形，（1）若DB〃CE，求證:AD:BC=CD:BE；（2）若AD:BC=CD:BE，求證：DB〃CE.2、已知：0O中，直徑AB垂直弦CD于H,E是CD延長線上一點(diǎn)，AE交0O于F.求證：ZAFC=ZDFE.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓,DC、AB的延長線相交于E，且ZCE=ZDA，求證：AD-BE二EC-BD

如圖，點(diǎn)A、D在。O上，以點(diǎn)A為圓心的。A交。O于B、C兩點(diǎn)，AD交。A于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求證：AE2=AF-AD已知圓內(nèi)接四邊形，ABCD中，ZA:ZB:ZC=2:5:4，求最小的角。如圖，在AABC中，AB二AC，BD平分ZABC交AC于D，AABD的外接圓交BC于E.求證：AD=CE7.如圖，AABC是圓內(nèi)接正三角形，P為劣弧莊上一點(diǎn)，已知AB二2訂,PA=6.(1)求證：PB+PC二PA；(2)求PB、PC的長(PB<PC).8.如圖，已知：菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,0O'是AABD的外接圓，E是。O'上的一點(diǎn)，連結(jié)AE并延長與BD的延長線相交于點(diǎn)F.求證：AC2+BD2=4AE-AF.9.如圖，BC是00的直徑，AD丄BC，垂足為D，陽二AF，BF交AD于點(diǎn)E.

求證AF2=BE-BF；若BD=1,AD=2，求tanZDBE的值.10.已知：如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，/BAD=60°,ZADC=90°,AB的延長線交DC延長線于點(diǎn)E,過A作AB的垂線交圓于點(diǎn)F,交CD延長線于點(diǎn)G.（1）求證：AF=BC；（2）求證：AF-DE=AD-BE；（3）設(shè)AB-AD的長分別為a、b求CE的長.答案：1.提示：連結(jié)AC,證明△ADCs^CBE即可；2.(略)提示：證AEBCsADBA提示：連AB證AABFsAADB,得AB2=AF-AD,又AB=AE，二AE2=AF-AD30°提示：連結(jié)DE證AD=AE，再證DE=CF(1)延長CP到M使PM=PB.連結(jié)BM,證AABP=ACBM；(2)PB=2,PC=4連結(jié)BE.AAEBsAABF得AB2=AE-AF.由勾股定理可得3(1)連結(jié)AB、AC,證AB2=FB-BE；(3)-410.(1)連結(jié)CF,證四邊形ABCF為矩形；(2)ABCEsADAE；(3)EC=(2b-a)CD1.如下圖，四邊形ABCD內(nèi)接于