數(shù)學(xué)建模暑期集訓(xùn)2016-2003

2016年數(shù)學(xué)建模競賽暑期集訓(xùn)講座之規(guī)劃模型主講教師：董慶來2016年8月一、概況二、歷屆競賽賽題基本解法三、運(yùn)籌學(xué)（最優(yōu)化）概述四、線性規(guī)劃五、目標(biāo)規(guī)劃六、整數(shù)規(guī)劃七、非線性規(guī)劃八、層次分析法九、賽題選講什么是數(shù)學(xué)建模？什么是模型？模型與原型一、概況指人們在現(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對象是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物原型模型模型物質(zhì)模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型…水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)思維模型符號模型數(shù)學(xué)模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)汽車司機(jī)對方向盤的操縱數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字、字母或其它數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實(shí)對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法自然科學(xué)：愛因斯坦的質(zhì)能公式E=mc2社會科學(xué)：馬克思的社會再生產(chǎn)公式簡單再生產(chǎn)Ⅰ（v+m）=Ⅱc擴(kuò)大再生產(chǎn)Ⅰ（v+m）》Ⅱc☆典型模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”

用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。模型準(zhǔn)備模型應(yīng)用分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ颓蠼饽Ｐ徒⒛Ｐ图僭O(shè)反饋☆建模的一般步驟二、歷屆競賽賽題基本解法賽題解法93A非線性交調(diào)的頻率設(shè)計擬合、規(guī)劃93B足球隊排名圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃94A逢山開路圖論、插值、動態(tài)規(guī)劃94B鎖具裝箱問題圖論、組合數(shù)學(xué)95A飛行管理問題非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃95B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度動態(tài)規(guī)劃、排隊論、圖論96A最優(yōu)捕魚策略微分方程、優(yōu)化96B節(jié)水洗衣機(jī)非線性規(guī)劃歷屆競賽賽題基本解法97A零件的參數(shù)設(shè)計非線性規(guī)劃97B截斷切割的最優(yōu)排列隨機(jī)模擬、圖論98A一類投資組合問題多目標(biāo)優(yōu)化、非線性規(guī)劃98B災(zāi)情巡視的最佳路線圖論、組合優(yōu)化99A自動化車床管理隨機(jī)優(yōu)化、計算機(jī)模擬99B鉆井布局0-1規(guī)劃、圖論00ADNA序列分類模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)00B鋼管訂購和運(yùn)輸組合優(yōu)化、運(yùn)輸問題歷屆競賽賽題基本解法01A血管三維重建曲線擬合、曲面重建01B工交車調(diào)度問題多目標(biāo)規(guī)劃02A車燈線光源的優(yōu)化非線性規(guī)劃02B彩票問題單目標(biāo)決策03ASARS的傳播微分方程、差分方程03B露天礦生產(chǎn)的車輛安排整數(shù)規(guī)劃、運(yùn)輸問題04A奧運(yùn)會臨時超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計統(tǒng)計分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化04B電力市場的輸電阻塞管理數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化歷屆競賽賽題基本解法05A長江水質(zhì)的評價和預(yù)測

聚類、模糊評判主成分分析、多目標(biāo)決策

05BDVD在線租賃

多目標(biāo)規(guī)劃06A出版社的資源配置

線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃

06B艾滋病療法評價及療效預(yù)測

回歸線性規(guī)劃

07A中國人口增長預(yù)測問題

微分方程、差分方程07B乘公交，看奧運(yùn)問題

圖論、0-1規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃

08A數(shù)碼相機(jī)定位問題幾何、優(yōu)化08B高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討多元回歸、多目標(biāo)優(yōu)化歷屆競賽賽題基本解法09A制動器試驗(yàn)臺的控制方法分析微元分析法

09B眼科病床的合理安排層次分析法，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃10A儲油罐的變位識別與罐容表標(biāo)定非線性規(guī)劃多元擬合10B上海世博會影響力的定量評估數(shù)據(jù)收集和處理，層次分析法，時間序列分析

11A城市表層土壤重金屬污染分析概率優(yōu)化模型11B交巡警服務(wù)平臺的設(shè)置與調(diào)度多目標(biāo)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，圖論，0-1規(guī)劃12A葡萄酒的評價數(shù)據(jù)收集和處理、模糊評判主成分分析數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化模型12B太陽能小屋的設(shè)計運(yùn)籌學(xué)是一種給出問題不壞的答案的藝術(shù)，否則的話問題的結(jié)果會更壞?！钸\(yùn)籌學(xué)的定義三、運(yùn)籌學(xué)（最優(yōu)化）概述1、在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化是一種求極值的方法。2、最優(yōu)化已經(jīng)廣泛的滲透到工程、經(jīng)濟(jì)、電子技術(shù)等領(lǐng)域。在實(shí)際生活當(dāng)中，人們做任何事情，不管是分析問題，還是進(jìn)行決策，都要用一種標(biāo)準(zhǔn)衡量一下是否達(dá)到了最優(yōu)。（比如基金人投資）在各種科學(xué)問題、工程問題、生產(chǎn)管理、社會經(jīng)濟(jì)問題中，人們總是希望在有限的資源條件下，用盡可能小的代價，獲得最大的收獲。（比如保險）

線性規(guī)劃數(shù)學(xué)規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃運(yùn)籌學(xué)多目標(biāo)規(guī)劃組合優(yōu)化最優(yōu)計數(shù)問題網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化排序問題統(tǒng)籌圖隨機(jī)優(yōu)化對策論排隊論庫存論決策分析可靠性分析☆主要內(nèi)容數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)描述下的最大值或最小值將一個優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)式子來描述，即求函數(shù)在約束條件和數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的一般形式約束條件決策變量目標(biāo)函數(shù)“受約束于”之意優(yōu)化模型的簡單分類

線性規(guī)劃(LP)

目標(biāo)和約束均為線性函數(shù)

非線性規(guī)劃(NLP)

目標(biāo)或約束中存在非線性函數(shù)

二次規(guī)劃(QP)

目標(biāo)為二次函數(shù)、約束為線性

整數(shù)規(guī)劃(IP)

決策變量(全部或部分)為整數(shù)整數(shù)線性規(guī)劃(ILP)，整數(shù)非線性規(guī)劃(INLP)

純整數(shù)規(guī)劃(PIP),混合整數(shù)規(guī)劃(MIP)

一般整數(shù)規(guī)劃，0-1（整數(shù)）規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃滿足所有約束條件的向量x稱為可行解或者可行點(diǎn)三者皆滿足的向量x是最優(yōu)解最優(yōu)值：最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值可行區(qū)域：所有的可行點(diǎn)組成的集合稱為(LP)問題的可行區(qū)域.記為D四、線性規(guī)劃線性規(guī)劃的解法1、圖解法（只有兩個變量）2、單純形法3、LINDO(LINGO)4、MATLAB5、EXCEL6、橢球算法例

加工奶制品的生產(chǎn)計劃一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在甲類設(shè)備上用12小時加工成3公斤A1，或者在乙類設(shè)備上用8小時加工成4公斤A2.根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A1，A2全部能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元.現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動時間為480小時，并且甲類設(shè)備每天至多能加工100公斤A1，乙類設(shè)備的加工能力沒有限制.試為該廠制定一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并進(jìn)一步討論一下3個附加問題

35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?

A1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？☆奶制品的生產(chǎn)與銷售例

加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時至多加工100公斤A1

制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大

35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?

A1的獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？每天：1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應(yīng)勞動時間加工能力決策變量目標(biāo)函數(shù)每天獲利約束條件非負(fù)約束線性規(guī)劃模型(LP)時間480小時至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天模型求解

軟件實(shí)現(xiàn)

LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元。結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）結(jié)果解釋

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量原料增加1單位,利潤增長48時間增加1單位,利潤增長2加工能力增長不影響利潤影子價格

35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35<48,應(yīng)該買！聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？2元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最優(yōu)解不變時目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系數(shù)范圍(64,96)

x2系數(shù)范圍(48,72)

A1獲利增加到30元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃x1系數(shù)由243=72增加為303=90，在允許范圍內(nèi)不變！(約束條件不變)結(jié)果解釋

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍原料最多增加10時間最多增加53

35元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？最多買10桶!(目標(biāo)函數(shù)不變)例自來水輸送問題某市有甲、乙、丙、丁四個居民區(qū)，自來水由A、B、C三個水庫供應(yīng)。四個區(qū)每天必須的基本生活用水分別為30、70、10、10千噸，但三個水庫每天最多只能分別供應(yīng)50、60、50千噸自來水。由于地理位置的差別，自來水公司從各水庫向各區(qū)送水所付出的引水管理費(fèi)不同（如表，其中C水庫與丁區(qū)間無輸水管道），其它管理費(fèi)均為450元/千噸。元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/各區(qū)用戶每千噸收費(fèi)900元。此外，各區(qū)用戶都向公司申請了額外用水量，分別為每天50、70、20、40千噸。問公司應(yīng)如何分配供水量，才能獲利最多？為了增加供水量，自來水公司正在考慮進(jìn)行水庫改造，使三個水庫每天的最大供水是提高一倍，問那時供水方案應(yīng)如何改變？公司利潤加多少？其他費(fèi)用:450元/千噸

應(yīng)如何分配水庫供水量，公司才能獲利最多？

若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？元/千噸甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理費(fèi)例自來水輸送收入：900元/千噸

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40水庫供水量(千噸)小區(qū)基本用水量(千噸)小區(qū)額外用水量(千噸)（以天計）總供水量：160確定送水方案使利潤最大問題分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20?。?0；40<總需求量：120+180=300總收入900160=144,000(元)收入：900元/千噸

其他費(fèi)用:450元/千噸

支出引水管理費(fèi)其他支出450160=72,000(元)使引水管理費(fèi)最小供應(yīng)限制約束條件需求限制

線性規(guī)劃模型(LP)目標(biāo)函數(shù)

水庫i向j區(qū)的日供水量為xij（x34=0）決策變量

模型建立確定3個水庫向4個小區(qū)的供水量模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000X2250.0000000.000000X230.00000020.000000X2410.0000000.000000

X3140.0000000.000000X320.00000010.000000X3310.0000000.000000利潤=總收入-其它費(fèi)用-引水管理費(fèi)=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理費(fèi)24400(元)目標(biāo)函數(shù)

總供水量(320)>總需求量(300)每個水庫最大供水量都提高一倍利潤=收入(900)–其它費(fèi)用(450)

–引水管理費(fèi)利潤(元/千噸)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供應(yīng)限制B,C類似處理問題討論

確定送水方案使利潤最大需求約束可以不變求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000

X2130.0000000.000000

X2240.0000000.000000X230.00000010.000000

X2450.0000000.000000

X3150.0000000.000000X320.00000020.000000

X3330.0000000.000000這類問題一般稱為“運(yùn)輸問題”(TransportationProblem)總利潤88700（元）

A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)4010050305030☆一般運(yùn)輸問題的提法：假設(shè)A1,A2,…,Am

表示某物資的m個產(chǎn)地；B1,B2,…,Bn

表示某物資的n個銷地；si表示產(chǎn)地Ai

的產(chǎn)量；dj

表示銷地Bj

的銷量；cij

表示把物資從產(chǎn)地Ai

運(yùn)往銷地Bj

的單位運(yùn)價。如果

s1+s2+…+sm

=d1+d2+…+dn

則稱該運(yùn)輸問題為產(chǎn)銷平衡問題；否則，稱產(chǎn)銷不平衡。運(yùn)輸問題數(shù)據(jù)表設(shè)xij

為從產(chǎn)地Ai

運(yùn)往銷地Bj

的運(yùn)輸量，根據(jù)這個運(yùn)輸問題的要求，可以建立運(yùn)輸變量表。銷地產(chǎn)地B1B2…Bn產(chǎn)量A1A2┇

Amc11c12…c1nc21c22…c2n┇┇┇┇cm1cm2…cmns1s2┇

sm銷量d1d2…dn

運(yùn)輸問題變量表銷地產(chǎn)地B1B2…Bn產(chǎn)量A1A2

┇Amx11x12…x1nx21x22…x2n┇┇┇┇xm1xm2…xmns1s2

┇sm銷量d1d2…dn

m

nminf=cijxij

（1）

i=1j=1

n

s.t.xij

si

i=1,2,…,m

（2）

j=1

mxij

(=,)dj

j=1,2,…,n

（3）

i=1xij0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)（4）于是得到下列一般運(yùn)輸問題的模型：

在模型（1）—（4）中，式（2）為m個產(chǎn)地的產(chǎn)量約束；式（3）為n

個銷地的銷量約束。

mnminf=cijxiji=1j=1

n

s.t.xij=si

i=1,2,…,m

(5)

j=1

m

xij

=dj

j=1,2,…,n(6)

i=1xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)對于產(chǎn)銷平衡問題，可得到下列運(yùn)輸問題的模型：運(yùn)輸問題是一種特殊的線性規(guī)劃問題，在求解時依然可以采用單純形法的思路。由于運(yùn)輸規(guī)劃系數(shù)矩陣的特殊性，如果直接使用線性規(guī)劃單純形法求解計算，則無法利用這些有利條件。人們在分析運(yùn)輸規(guī)劃系數(shù)矩陣特征的基礎(chǔ)上建立了針對運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法。LINGO

某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，需要用到A,B,C三種設(shè)備，關(guān)于產(chǎn)品的盈利與使用設(shè)備的工時及限制如下表所示。例

生產(chǎn)安排問題問該企業(yè)應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使得在計劃期內(nèi)總利潤最大？五、目標(biāo)規(guī)劃☆線性規(guī)劃建模該例是一個線性規(guī)劃問題，直接考慮它的線性規(guī)劃模型設(shè)甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1,x2,建立線性規(guī)劃模型：用Lindo或Lingo軟件求解,得到最優(yōu)解☆目標(biāo)規(guī)劃建模在上例中，企業(yè)的經(jīng)營目標(biāo)不僅要考慮利潤，還需要考慮多個方面，因此增加下列因素(目標(biāo))：力求使利潤指標(biāo)不低于1500元考慮到市場需求,甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量比應(yīng)盡量保持1:2設(shè)備A為貴重設(shè)備，嚴(yán)格禁止超時使用設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制；設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班，在重要性上，設(shè)備B是設(shè)備C的3倍從上述問題可以看出，僅用線性規(guī)劃方法是不夠的，需要借助于目標(biāo)規(guī)劃的方法進(jìn)行建模求解☆線性規(guī)劃建模局限性線性規(guī)劃要求所有求解的問題必須滿足全部的約束，而實(shí)際問題中并非所有約束都需要嚴(yán)格的滿足；線性規(guī)劃只能處理單目標(biāo)的優(yōu)化問題，而對一些次目標(biāo)只能轉(zhuǎn)化為約束處理。但在實(shí)際問題中，目標(biāo)和約束好似可以相互轉(zhuǎn)化的，處理時不一定要嚴(yán)格區(qū)分；線性規(guī)劃在處理問題時，將各個約束(也可看作目標(biāo))的地位看成同等重要，而在實(shí)際問題中，各個目標(biāo)的重要性即有層次上的差別，也有在同一層次上不同權(quán)重的差別線性規(guī)劃尋求最優(yōu)解，而許多實(shí)際問題只需要找到滿意解就可以了。☆目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為了克服線性規(guī)劃的局限性,目標(biāo)規(guī)劃采用如下手段：1.

設(shè)置偏差變量;2.

統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束;3.

目標(biāo)的優(yōu)先級與權(quán)系數(shù)。目標(biāo)規(guī)劃的基本概念1.

設(shè)置偏差變量用偏差變量(Deviationalvariables)來表示實(shí)際值與目標(biāo)值之間的差異，令

----超出目標(biāo)的差值，稱為正偏差變量

----未達(dá)到目標(biāo)的差值，稱為負(fù)偏差變量其中與至少有一個為0約定如下：當(dāng)實(shí)際值超過目標(biāo)值時，有當(dāng)實(shí)際值未達(dá)到目標(biāo)值時，有當(dāng)實(shí)際值與目標(biāo)值一致時，有2.

統(tǒng)一處理目標(biāo)與約束在目標(biāo)規(guī)劃中，約束可分兩類，一類是對資源有嚴(yán)格限制的，稱為剛性約束(HardConstraint)；例如在用目標(biāo)規(guī)劃求解例中設(shè)備A禁止超時使用，則有剛性約束另一類是可以不嚴(yán)格限制的，連同原線性規(guī)劃的目標(biāo),構(gòu)成柔性約束(SoftConstraint).例如在求解例中，我們希望利潤不低于1500元，則目標(biāo)可表示為求解例中甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量盡量保持1:2的比例，則目標(biāo)可表示為設(shè)備C可以適當(dāng)加班，但要控制，則目標(biāo)可表示為設(shè)備B既要求充分利用，又盡可能不加班，則目標(biāo)可表示為從上面的分析可以看到：如果希望不等式保持大于等于，則極小化負(fù)偏差；如果希望不等式保持小于等于，則極小化正偏差；如果希望保持等式，則同時極小化正、負(fù)偏差．

3.目標(biāo)的優(yōu)先級與權(quán)系數(shù)在目標(biāo)規(guī)劃模型中，目標(biāo)的優(yōu)先分為兩個層次，第一個層次是目標(biāo)分成不同的優(yōu)先級，在計算目標(biāo)規(guī)劃時，必須先優(yōu)化高優(yōu)先級的目標(biāo)，然后再優(yōu)化低優(yōu)先級的目標(biāo)。通常以P1,P2,...表示不同的因子,并規(guī)定Pk>>Pk+1，第二個層次是目標(biāo)處于同一優(yōu)先級，但兩個目標(biāo)的權(quán)重不一樣，因此兩目標(biāo)同時優(yōu)化，用權(quán)系數(shù)的大小來表示目標(biāo)重要性的差別。解在例中設(shè)備A是剛性約束，其于是柔性約束．首先，最重要的指標(biāo)是企業(yè)的利潤，將它的優(yōu)先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持1:2的比例，列為第二級；再次，設(shè)備

B和C的工作時間要有所控制，列為第三級，設(shè)備B的重要性是設(shè)備C的三倍，因此它們的權(quán)重不一樣。由此可以得到相應(yīng)的目標(biāo)規(guī)劃模型。目標(biāo)規(guī)劃模型的建立☆用目標(biāo)規(guī)劃方法求解例題目標(biāo)規(guī)劃的一般模型目標(biāo)規(guī)劃模型的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：求解目標(biāo)規(guī)劃的序貫式算法其算法是根據(jù)優(yōu)先級的先后次序，將目標(biāo)規(guī)劃問題分解成一系列的單目標(biāo)規(guī)劃問題，然后再依次求解。算法

對于k=1,2,…,q,求解單目標(biāo)問題解因?yàn)槊總€單目標(biāo)問題都是一個線性規(guī)劃問題，因此可以采用LINDO軟件進(jìn)行求解。按照算法1和目標(biāo)規(guī)劃模型編寫單個的線性規(guī)劃求解程序。求第一級目標(biāo)企業(yè)利潤最大，列出LINDO程序。程序名：exam0804a.ltx

☆用算法求解例題

MINDMINUS1SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15END求解結(jié)果DMINUS1=0目標(biāo)

計算結(jié)果如下：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP5OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.0000000E+00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTDMINUS10.0000001.000000X13.0000000.000000X23.0000000.000000DPLUS10.0000000.000000DPLUS23.0000000.000000DMINUS20.0000000.000000DPLUS30.0000000.000000DMINUS34.0000000.000000DPLUS40.0000000.000000DMINUS40.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.0000005)0.0000000.0000006)0.0000000.000000NO.ITERATIONS=5

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為0，即第一級偏差為0。

解因求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為０，即第一級偏差為０.再求第二級目標(biāo)，列出其LINDO程序。程序名：exam0804b.ltx☆用算法求解例題MINDPLUS2+DMINUS2SUBJECTTO

2X1+2X2

<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=1500

2X1-

X2-DPLUS2+DMINUS2=0

4X1

-DPLUS3+DMINUS3=16

5X2-DPLUS4+DMINUS4=15

DMINUS1=0END求解結(jié)果DPLUS2+DMINUS2=0修改的目標(biāo)增加的約束求第二級目標(biāo)(偏差)，列出LINDO程序如下：

MINDPLUS2+DMINUS2SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0END計算結(jié)果如下：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.0000000E+00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTDPLUS20.0000001.000000DMINUS20.0000001.000000X11.8750000.000000X23.7500000.000000DPLUS10.0000000.000000DMINUS10.0000000.000000DPLUS30.0000000.000000DMINUS38.5000000.000000DPLUS43.7500000.000000DMINUS40.0000000.000000

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.7500000.0000003)0.0000000.0000004)0.0000000.0000005)0.0000000.0000006)0.0000000.0000007)0.0000000.000000NO.ITERATIONS=2

目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值還是0，即二級偏差仍為0。解因求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值仍為０，即第二級偏差仍為０.繼續(xù)求第三級目標(biāo)，列出其LINDO程序。程序名：exam0804c.ltx例

用算法求解例題MIN3DPLUS3+3DMINUS3+DPLUS4SUBJECTTO

2X1+

2X2

<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=1500

2X1-

X2-DPLUS2+DMINUS2=0

4X1

-DPLUS3+DMINUS3=16

5X2-DPLUS4+DMINUS4=15

DMINUS1=0DPLUS2+DMINUS2=0END求解結(jié)果29修改的目標(biāo)增加的約束求出的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為29,即第三級偏差為29,分析結(jié)果,x1為2,x2為4,DPLUS1為100,因此目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解為x

*=(2,4),最優(yōu)利潤為1600.求第三級目標(biāo)(偏差)，列出LINDO程序：

MIN3DPLUS3+3DMINUS3+DPLUS4SUBJECTTO2X1+2X2<=12200X1+300X2-DPLUS1+DMINUS1=15002X1-X2-DPLUS2+DMINUS2=04X1-DPLUS3+DMINUS3=165X2-DPLUS4+DMINUS4=15DMINUS1=0DPLUS2+DMINUS2=0END計算結(jié)果如下：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)29.00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTDPLUS30.0000006.000000DMINUS38.0000000.000000DPLUS45.0000000.000000X12.0000000.000000X24.0000000.000000DPLUS1100.0000000.000000DMINUS10.0000000.000000DPLUS20.0000000.000000DMINUS20.00000011.333333DMINUS40.0000001.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.3333333)0.0000000.0000004)0.0000005.6666675)0.000000-3.0000006)0.0000001.0000007)0.0000000.0000008)0.0000005.666667NO.ITERATIONS=2目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為29，即第三級偏差為29。分析結(jié)果知，X1為2，X2為4，DPLUS1為100，因此目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解為（2，4），最優(yōu)利潤為1600。六、整數(shù)規(guī)劃要求變量取整數(shù)值的線性規(guī)劃問題稱為整數(shù)線性規(guī)劃要求變量取0或1的線性規(guī)劃問題稱為0-1規(guī)劃只要求部分變量取整數(shù)值的線性規(guī)劃稱為混合整數(shù)線性規(guī)劃例投資決策問題

解投資決策變量

設(shè)獲得的總利潤為z，則上述問題的數(shù)學(xué)模型為

變量限制為整數(shù)本質(zhì)上是一個非線性約束，它不可能用線性約束來代替它.☆常用算法：割平面算法、分枝定界法、解0-1規(guī)劃的隱枚舉法、分解算法、群論方法、動態(tài)規(guī)劃方法一般只能用來解決中小型的ILP問題近似算法1993年7月W.J.Cook并行計算

10907064個城市貨郎擔(dān)問題計算機(jī)模擬法如Monte-Carlo方法考慮純整數(shù)線性規(guī)劃問題

可行區(qū)域記為D

(P)的松弛問題

可行區(qū)域

由有限個或可數(shù)的格點(diǎn)構(gòu)成的集合

多面凸集

☆Gomory割平面法割平面法的基本思想費(fèi)用減小方向★目標(biāo):①找到子域內(nèi)的最優(yōu)值②明確原問題P的最優(yōu)解不在這個子域內(nèi)★分枝定界法的關(guān)鍵是分枝和定界★思路：利用其松弛問題的最優(yōu)解(值)來分枝定界1、分枝定界法的基本思想★分枝定界法是“巧妙”枚舉ILP問題可行解★理論依據(jù)：有界ILP問題的可行集合中格點(diǎn)的數(shù)目是有限的☆分枝定界法考慮純整數(shù)線性規(guī)劃問題

分枝樹分枝過程樹根用增加兩個互斥且窮舉的不等式約束將一個問題分解為它的兩個子問題作為該問題的兩個后代.對第i個子問題，我們有一個松弛解xi，即相應(yīng)于這個子域的ILP問題的目標(biāo)函數(shù)下界zi=cTxi.這樣的樹稱為分枝樹分枝過程在某個點(diǎn)上由下述兩個原因之一而停止：

⑴相應(yīng)的松弛LP問題的解是滿足整數(shù)要求的；

⑵相應(yīng)松弛LP問題是不可行的

.樹葉分枝樹分枝過程樹根定界過程死點(diǎn)被剪枝其余的點(diǎn)稱為活點(diǎn)，從活點(diǎn)那里分枝仍可能改進(jìn)值zm現(xiàn)有一客戶需要50根4m、20根6m和15根8m的鋼管.應(yīng)如何下料最節(jié)??？原料鋼管:每根19米4米50根6米20根8米15根客戶需求問題.如何下料最節(jié)省?例某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出，從鋼管廠進(jìn)貨時得到的原料鋼管都是19m.☆鋼管下料如何下料最節(jié)?。壳懈钅Ｊ桨凑湛蛻粜枰谠箱摴苌习才徘懈畹囊环N組合余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根余料5米4米1根6米1根4米1根可行的切割模式是很多的

哪些切割模式是合理的？余料應(yīng)小于客戶需要鋼管的最小尺寸余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根余料5米4米1根6米1根4米1根針對問題有哪些合理的切割模式？4m鋼管根數(shù)6m鋼管根數(shù)8m鋼管根數(shù)余料/m模式14003模式23101模式32013模式41203模式51111模式60301模式70023

何為節(jié)??？一是切割后剩余的總余料量最小二是切割原料鋼管的總根數(shù)最少xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)決策變量

目標(biāo)函數(shù)（總余量）整數(shù)約束：xi為整數(shù)約束條件需求502015整數(shù)線性規(guī)劃模型最優(yōu)解：x2=12,x5=15,

其余為0；最優(yōu)值：27整數(shù)約束：xi為整數(shù)按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

xi~按第i種模式切割的原料鋼管根數(shù)(i=1,2,…7)決策變量

目標(biāo)函數(shù)（總根數(shù)）整數(shù)約束：xi為整數(shù)約束條件整數(shù)約束：xi為整數(shù)最優(yōu)解：x2=15,x5=5,x7=5,其余為0；最優(yōu)值：25按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米余料為目標(biāo)根數(shù)為目標(biāo)當(dāng)余料沒有用處時，通常以總根數(shù)最少為目標(biāo)余料增加8米，但減少了2根零售商如果采用的不同切割模式太多，將會導(dǎo)致生產(chǎn)過程的復(fù)雜化，從而增加生產(chǎn)和管理成本，所以零售商規(guī)定采用的不同切割模式不能超過3種.此外，該客戶除剛才需要的三種鋼管外，還需要10根5m的鋼管.應(yīng)如何下料最節(jié)?。靠蛻粼黾有枨螅?米10根問題.切割模式不能超過3種,如何下料最節(jié)省?例

選課策略某學(xué)校規(guī)定，運(yùn)籌學(xué)專業(yè)的學(xué)生畢業(yè)時必須至少學(xué)習(xí)過兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計算機(jī)課.這些課程的編號、名稱、學(xué)分、所屬類別和先修課要求如下表所示.那么，畢業(yè)時學(xué)生最少可一學(xué)習(xí)這些課程中的哪些課程.如果某個學(xué)生既希望選修課程的數(shù)量少，又希望所獲得學(xué)分多，他可以選修哪些課程?課號課名學(xué)分所屬類別先修課要求1微積分5數(shù)學(xué)

2線性代數(shù)4數(shù)學(xué)

3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計算機(jī)計算機(jī)編程5應(yīng)用統(tǒng)計4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)6計算機(jī)模擬3計算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)計算機(jī)編程7計算機(jī)編程2計算機(jī)

8預(yù)測理論2運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3運(yùn)籌學(xué)；計算機(jī)微積分；線性代數(shù)為了選修課程門數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？

例

選課策略要求至少選兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌學(xué)課和兩門計算機(jī)課課號課名學(xué)分所屬類別先修課要求1微積分5數(shù)學(xué)

2線性代數(shù)4數(shù)學(xué)

3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計算機(jī)計算機(jī)編程5應(yīng)用統(tǒng)計4數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)微積分；線性代數(shù)6計算機(jī)模擬3計算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)計算機(jī)編程7計算機(jī)編程2計算機(jī)

8預(yù)測理論2運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3運(yùn)籌學(xué)；計算機(jī)微積分；線性代數(shù)選修課程最少，且學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？

0-1規(guī)劃模型

決策變量

目標(biāo)函數(shù)

xi=1~選修課號i的課程（xi=0~不選）

選修課程總數(shù)最少約束條件最少2門數(shù)學(xué)課，3門運(yùn)籌學(xué)課，2門計算機(jī)課。

課號課名所屬類別1微積分?jǐn)?shù)學(xué)2線性代數(shù)數(shù)學(xué)3最優(yōu)化方法數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)；計算機(jī)5應(yīng)用統(tǒng)計數(shù)學(xué)；運(yùn)籌學(xué)6計算機(jī)模擬計算機(jī)；運(yùn)籌學(xué)7計算機(jī)編程計算機(jī)8預(yù)測理論運(yùn)籌學(xué)9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)運(yùn)籌學(xué)；計算機(jī)先修課程要求最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它為0；6門課程，總學(xué)分210-1規(guī)劃模型

約束條件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINDO）課號課名先修課要求1微積分

2線性代數(shù)

3最優(yōu)化方法微積分；線性代數(shù)4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算機(jī)編程5應(yīng)用統(tǒng)計微積分；線性代數(shù)6計算機(jī)模擬計算機(jī)編程7計算機(jī)編程

8預(yù)測理論應(yīng)用統(tǒng)計9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)微積分；線性代數(shù)學(xué)分最多多目標(biāo)優(yōu)化的處理方法：化成單目標(biāo)優(yōu)化。兩目標(biāo)(多目標(biāo))規(guī)劃

討論：選修課程最少，學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？課程最少以學(xué)分最多為目標(biāo)，不管課程多少。以課程最少為目標(biāo)，不管學(xué)分多少。最優(yōu)解如上，6門課程，總學(xué)分21。最優(yōu)解顯然是選修所有9門課程。多目標(biāo)規(guī)劃

在課程最少的前提下以學(xué)分最多為目標(biāo)。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它為0；總學(xué)分由21增至22。注意：最優(yōu)解不唯一！課號課名學(xué)分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)35應(yīng)用統(tǒng)計46計算機(jī)模擬37計算機(jī)編程28預(yù)測理論29數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3LINDO無法告訴優(yōu)化問題的解是否唯一?？蓪9=1易為x6=1增加約束，以學(xué)分最多為目標(biāo)求解。多目標(biāo)規(guī)劃

對學(xué)分?jǐn)?shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標(biāo)，如三七開。=-0.8x1-0.5x2-0.5x3-0.2x4-0.5x5-0.2x6+0.1x7+0.1x8-0.2x9多目標(biāo)規(guī)劃

對學(xué)分?jǐn)?shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標(biāo)，如三七開。最優(yōu)解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它為0；總學(xué)分28。課號課名學(xué)分1微積分52線性代數(shù)43最優(yōu)化方法44數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)35應(yīng)用統(tǒng)計46計算機(jī)模擬37計算機(jī)編程28預(yù)測理論29數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3七、非線性規(guī)劃約束集或可行域MP的可行解或可行點(diǎn)當(dāng)p=0,q=0時，稱為無約束非線性規(guī)劃或者無約束最優(yōu)化問題否則，稱為約束非線性規(guī)劃或者約束最優(yōu)化問題（一）基本概念(二)非線性規(guī)劃方法概述極值問題無條件極值有條件極值必要條件充分條件Lagrange乘子法困難連續(xù)可微求駐點(diǎn)的方程組難，L中也有高維方程組只適合等式約束，而非線性規(guī)劃有大量不等式約束解法數(shù)值解法（迭代法）例(最小二乘法問題)設(shè)通過觀察或?qū)嶒?yàn)得到一上，即大體上可用直線方程來反映變量x與y之間的對應(yīng)關(guān)系(參見右圖).現(xiàn)要確定一直線,使得與這n個點(diǎn)的偏差平方之和為最小(最小二乘方)．解設(shè)所求直線方程為為此令把這組關(guān)于a,b的線性方程加以整理并求解，得并由實(shí)際意義可知這極小值即為最小值.問題：若已知xk,如何產(chǎn)生下一個迭代點(diǎn)xk+1？1、迭代法的基本思想和基本格式①按某種方法給出目標(biāo)函數(shù)f(x)極小點(diǎn)x*的一個初始估計x0------初始點(diǎn)②按某種特定的迭代規(guī)則產(chǎn)生一個點(diǎn)列最后一個點(diǎn)最優(yōu)解有窮點(diǎn)列極限點(diǎn)無窮點(diǎn)列方法是收斂的（三）迭代法求解問題(MP)問題迭代法的最基本的迭代格式第k輪搜索方向第k輪沿pk方向的步長迭代法求解的關(guān)鍵：構(gòu)造每一輪的搜索方向和確定步長2、非線性規(guī)劃基本迭代格式八、層次分析模型層次分析法（AHP）是美國運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點(diǎn)是在對復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。一、層次分析法概述決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問題。舉例

1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽(yù)、冰箱的功能、價格和耗電量。

2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點(diǎn)。要考慮景點(diǎn)的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費(fèi)用。

3.在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學(xué)教育中選擇一個領(lǐng)域申報科研課題。要考慮成果的貢獻(xiàn)（實(shí)用價值、科學(xué)意義），可行性（難度、周期和經(jīng)費(fèi)）和人才培養(yǎng)。

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。二、層次分析法的基本原理層次分析法根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對于最高層(總目標(biāo))的相對重要權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排定。層次分析法的基本思路：與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆三、層次分析法的步驟和方法

運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時，大體可以分為下四個步驟：

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣

3.層次單排序及其一致性檢驗(yàn)

4.層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

1.建立層次結(jié)構(gòu)模型將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結(jié)構(gòu)圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。下面舉例說明。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.2.構(gòu)造判斷(成對比較)矩陣在確定各層次各因素之間的權(quán)重時，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。

判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1—9標(biāo)度方法給出。2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對強(qiáng)aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地目標(biāo)層O(選擇旅游地)準(zhǔn)則層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對強(qiáng)3.層次單排序及一致性檢驗(yàn)問題：如何根據(jù)判斷矩陣求出各因素的重要性程度的排序權(quán)重？方法：特征向量法特征值與特征向量定