現(xiàn)代控制工程(II)-7

6.最優(yōu)控制與應(yīng)用6.1引言

最優(yōu)控制理論的發(fā)展歷史已有半個(gè)多世紀(jì)。1950年代初，Bushaw博士就研究了使繼電式伺服控制系統(tǒng)誤差為零的時(shí)間最優(yōu)控制的問(wèn)題，隨后LaSalle在時(shí)間最優(yōu)控制方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究提出了Bang-Bang控制方法。隨著控制技術(shù)的發(fā)展，對(duì)多輸入/多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)提出了更高的控制要求，如消耗能量最少、成本最低、耗時(shí)最短等。這些工程需求極大地促進(jìn)了最優(yōu)控制理論的研究和發(fā)展?，F(xiàn)代控制工程(II)

最優(yōu)控制的問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題。但是，求解最優(yōu)控制問(wèn)題會(huì)受到許多約束，特別是控制作用的受限。因此，需尋求在各種約束下的最優(yōu)化算法。1950年代中期，貝爾曼(Bellman)研究發(fā)展了最優(yōu)化中的變分法，創(chuàng)立了“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”原理。同一期間，俄國(guó)學(xué)者龐特里亞金(Pontryagin)等創(chuàng)立了“極大值原理”。這兩個(gè)原理和方法是最優(yōu)控制理論的基石。最優(yōu)控制理論發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)形成了多種研究分支和方向，如分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制、隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制、大系統(tǒng)的最優(yōu)控制等。現(xiàn)代控制工程(II)6.2最優(yōu)控制的基本問(wèn)題控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)方法，一般是以系統(tǒng)輸出的超調(diào)量、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間、振蕩衰減次數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差等數(shù)值來(lái)作為評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，依此設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。顯然，這類性能指標(biāo)主要是從系統(tǒng)輸出響應(yīng)方面反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)的快速性和響應(yīng)精度，對(duì)一般工業(yè)調(diào)節(jié)器和隨動(dòng)系統(tǒng)基本能滿足控制設(shè)計(jì)的要求。但是，控制系統(tǒng)的性能不僅體現(xiàn)在輸出響應(yīng)方面，如要求以最短時(shí)間達(dá)到預(yù)定目標(biāo)、要求所消耗的能量最少、要求在有限資源下實(shí)現(xiàn)資源的最優(yōu)分配等等。顯然，這類控制屬于最優(yōu)化問(wèn)題，僅采用系統(tǒng)輸出響應(yīng)的性能指標(biāo)是難以描述其控制性能的?，F(xiàn)代控制工程(II)最優(yōu)控制：對(duì)被控對(duì)象或被控過(guò)程施加某種控制作用，使其某性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。因此，最優(yōu)控制是最優(yōu)化問(wèn)題在控制領(lǐng)域應(yīng)用的技術(shù)。例1：在忽略其他一些因素時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為為使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，其控制作用和加速度都應(yīng)有相應(yīng)的限制，設(shè)為（m是質(zhì)量，u是控制作用，是加速度）邊界條件為取機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的性能指標(biāo)為選擇u(t)使J(u)為最小的問(wèn)題就是一個(gè)時(shí)間最少的最優(yōu)控制問(wèn)題?，F(xiàn)代控制工程(II)例2：設(shè)某企業(yè)的商品生產(chǎn)，滿足的方程為（x是庫(kù)存商品，u是生產(chǎn)率，r(t)是商品銷售率）為了保證市場(chǎng)需求，最大生產(chǎn)率還應(yīng)滿足假定生產(chǎn)的單位成本是生產(chǎn)率的函數(shù)，即f(u(t))。若b是單位時(shí)間存儲(chǔ)一個(gè)商品的費(fèi)用。那么，單位時(shí)間的總成本就為從0時(shí)刻到t時(shí)刻的總成本就為邊界條件：庫(kù)存商品滿足選取的生產(chǎn)率滿足庫(kù)存商品滿足此時(shí)，尋求最佳生產(chǎn)率u*使總成本J最小就是最優(yōu)控制的問(wèn)題。現(xiàn)代控制工程(II)

最優(yōu)控制屬于最優(yōu)化問(wèn)題，其基本思想就是在某些約束條件下，通過(guò)評(píng)價(jià)函數(shù)的極值化來(lái)尋求最佳的(有效的)控制輸入。

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，其最優(yōu)化性能的好壞與狀態(tài)量和輸入量有密切的關(guān)系，或者說(shuō)系統(tǒng)輸出是否滿足期望的輸出與其狀態(tài)量和輸入量有關(guān)。因此，作為目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)往往是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)量和輸入量的評(píng)價(jià)，一般取為顯然，針對(duì)這個(gè)目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)的約束條件就是控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程最優(yōu)控制問(wèn)題的提法：在系統(tǒng)狀態(tài)方程的約束下，尋求一個(gè)控制輸入u(t)，使目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)J達(dá)到極值。此時(shí)的控制輸入被稱為最優(yōu)控制律或最優(yōu)控制?，F(xiàn)代控制工程(II)

顯然，最優(yōu)控制問(wèn)題是一個(gè)動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題，求解的方法主要有變分法、極大（?。┲翟怼?dòng)態(tài)規(guī)劃法等。在求解之前，必須針對(duì)具體的控制情況，對(duì)約束和目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)作進(jìn)一步的分析和確定。（1）控制作用域——在工程控制問(wèn)題中，控制輸入量u(t)一般不能任意取值，須受到一定的物理限制。這就是說(shuō)實(shí)際的控制輸入應(yīng)當(dāng)滿足一定的約束條件

U是r維控制空間中的一個(gè)集合，稱為系統(tǒng)的控制作用域。（2）邊界條件——這是指系統(tǒng)狀態(tài)具備的初始條件和終端條件。

初始狀態(tài)：固定始端X(t0)=constant可變始端X(t0)∈Ω0，

Ω0={X(t0)|f(X(t0))=0}稱為始端集合自由(任意)始端X(t0)終端狀態(tài)：固定終端X(tf)=constant可變終端X(tf)∈Ωtf，Ωtf={X(tf)|g(X(tf))=0}稱為目標(biāo)集合自由(任意)終端X(tf)現(xiàn)代控制工程(II)（3）目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)J是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)

連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：其中的Φ(tf)或Φ(n)稱為終端指標(biāo)函數(shù)，反映對(duì)終端性能的要求，如目標(biāo)的容許偏差等。L[X(t),u(t),t]或L[X(k),u(k),k]稱為動(dòng)態(tài)指標(biāo)函數(shù)，反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)及能量消耗等的要求。對(duì)于線性系統(tǒng)，其評(píng)價(jià)函數(shù)一般取為（Qf、Q、H是加權(quán)矩陣）

所以，最優(yōu)控制問(wèn)題可以表述為：系統(tǒng)在狀態(tài)方程的約束下，從控制作用域U中尋求一個(gè)控制輸入u(t)，使系統(tǒng)在時(shí)域[t0,tf]內(nèi)從初始狀態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)X(tf)時(shí)，系統(tǒng)的目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)J取極值(極大或極小)。這樣求得的控制輸入u(t)就稱為最優(yōu)控制律，簡(jiǎn)稱最優(yōu)控制。現(xiàn)代控制工程(II)6.3靜態(tài)最優(yōu)化的基本方法

最優(yōu)化問(wèn)題一般分為靜態(tài)最優(yōu)化和動(dòng)態(tài)最優(yōu)化，研究提出的相應(yīng)的最優(yōu)化解的方法有很多。靜態(tài)最優(yōu)化解的基本方法是函數(shù)求極值的方法；動(dòng)態(tài)最優(yōu)化解的基本方法有變分法、極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等方法。這里介紹靜態(tài)最優(yōu)化的基本算法，這是求解動(dòng)態(tài)最優(yōu)化的基礎(chǔ)。（1）連續(xù)函數(shù)極值的求解方法

無(wú)約束條件下的函數(shù)極值

設(shè)函數(shù)f=f(u)是關(guān)于向量u=[u1u2

…un]T的n元函數(shù)，該函數(shù)存在極值的必要條件是：函數(shù)f(u)關(guān)于向量u的梯度為零，即此時(shí)，獲得的u稱為駐點(diǎn)。現(xiàn)代控制工程(II)函數(shù)f(u)在u上取極值的充要條件是（矩陣▽2f一般是對(duì)稱矩陣）

有約束條件下的函數(shù)極值

設(shè)函數(shù)f=f(u)是關(guān)于向量u=[u1u2

…un]T的n元函數(shù)，該函數(shù)的約束條件為g(u)=0∈Rm。此時(shí)，函數(shù)f=f(u)的極值求解方法主要有：嵌入法（消元法）——即由g(u)=0∈Rm解出m個(gè)ui（這m個(gè)ui是由其他(n-m)個(gè)u的分量表示），然后將這解ui代入函數(shù)f=f(u)中，從而可以按無(wú)約束條件的函數(shù)極值求法進(jìn)行求解。這種方法適于較簡(jiǎn)單的情況?，F(xiàn)代控制工程(II)增元法（拉格朗日乘子法）——對(duì)約束函數(shù)g(X,u)=0乘上一個(gè)列向量λ，然后與求極值的函數(shù)f=f(X,u)相加，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)H(X,u,λ)=f(X,u)+λTg(X,u)λ,g(u)∈Rm×1這樣就將有約束條件下的函數(shù)f=f(X,u)的極值求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了無(wú)約束條件下的函數(shù)H(X,u,λ)的極值求解問(wèn)題，稱H(X,u,λ)為拉格朗日函數(shù)。此時(shí)，函數(shù)H(X,u,λ)存在極值的必要條件是這時(shí)就可按無(wú)約束條件下的函數(shù)極值的解法進(jìn)行求解。顯然，由于λTg(X,u)=0，因此函數(shù)H(X,u,λ)的極值就是函數(shù)f=f(X,u)的極值。其中現(xiàn)代控制工程(II)（2）離散函數(shù)極值的求解方法

設(shè)某一系統(tǒng)的目標(biāo)離散標(biāo)量函數(shù)和約束條件分別為目標(biāo)離散標(biāo)量函數(shù)約束條件引入向量λ∈Rm×1，得到拉格朗日函數(shù)H(X(k),u(k),λ(k))為拉格朗日函數(shù)H(X(k),u(k),λ(k))的一次增量?H為現(xiàn)代控制工程(II)函數(shù)H(X(k),u(k),λ)取極值的必要條件是?H=0。由于△X、△u、△λ是任意的，因此使△H=0就需對(duì)于H(X(k),u(k),λ)取極大或極小的判斷，可由?2H是正定或負(fù)定來(lái)確定?，F(xiàn)代控制工程(II)例：計(jì)算函數(shù)的極值，約束條件是，其中的Q1、Q2是正定對(duì)稱矩陣，F(xiàn)為任意對(duì)稱矩陣。解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)由拉格朗日函數(shù)取極值的必要條件，有現(xiàn)代控制工程(II)例：計(jì)算從坐標(biāo)原點(diǎn)到以下平面的最短距離解：坐標(biāo)原點(diǎn)至空間任意點(diǎn)(x,y,z)的距離的平方為要使g(x,y,z)函數(shù)值最小，且點(diǎn)(x,y,z)位于f(x,y,z)=0平面上。這是一個(gè)條件極值問(wèn)題。取拉格朗日函數(shù)H(x,y,z)函數(shù)取極值的必要條件為極值點(diǎn)坐標(biāo)：最短距離：現(xiàn)代控制工程(II)

6.4變分法求解的基本問(wèn)題（1）基本概念泛函數(shù)——若對(duì)于某類函數(shù)集合{x(t)}中的每一個(gè)函數(shù)x(t)，變量J都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱這變量J是函數(shù)x(t)的泛函數(shù)。顯然，泛函數(shù)的自變量是函數(shù)，不是變量。泛函數(shù)的極值——對(duì)于在函數(shù)xe(t)的領(lǐng)域內(nèi)的任意函數(shù)x(t)，若總滿足J(x(t))-J(xe(t))≤0（或≥0），則稱泛函數(shù)J在函數(shù)xe(t)上取極大值（或極小值）?，F(xiàn)代控制工程(II)

變分：

函數(shù)x(t)的變分：定義為同類函數(shù)集合中二個(gè)函數(shù)之差，即

δx(t)=x1(t)-x2(t)

泛函數(shù)J[x(t)]的變分：定義為泛函J(x)增量的線性主部，即（δJ是泛函J的變分；R(x,δx)是關(guān)于δx的高階無(wú)窮小）因?yàn)橛幸虼?，泛函的變分也定義為現(xiàn)代控制工程(II)例題：求如下泛函數(shù)的變分

這是計(jì)算泛函數(shù)J的一個(gè)普遍公式。應(yīng)當(dāng)指出：函數(shù)變分的導(dǎo)數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的變分相等。因?yàn)楝F(xiàn)代控制工程(II)定理：若泛函數(shù)J(x(t))可微，且在xe(t)上達(dá)到極值，則泛函數(shù)J(x(t))在函數(shù)xe(t)上的變分為零，即δJ(xe(t))=0。這個(gè)定理說(shuō)明：泛函數(shù)取極值的必要條件是其變分為零，它給出了最優(yōu)控制問(wèn)題求解的一個(gè)基本方法。多元泛函數(shù)——若對(duì)于n個(gè)不同函數(shù)(x1(t),…,xn(t))，變量J都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱這變量J是函數(shù)(x1(t),…,xn(t))的多元泛函數(shù)。

多元泛函數(shù)的變分——多元泛函數(shù)J(x1(t),…,xn(t))增量的線性主部，也即引理：多元泛函數(shù)J(x1(t),…,xn(t))在函數(shù)點(diǎn)(x1e(t),…,xne(t))上取極值的必要條件是其變分為零，即δJ(x1e(t),…,xne(t))=0?，F(xiàn)代控制工程(II)（2）泛函數(shù)取極值的必要條件——?dú)W拉方程和橫截條件設(shè)X=[x1,…,xn]T為n維變量，其初始值X(t0)和終端值X(tf)已知。對(duì)應(yīng)的多元泛函數(shù)為那么，按照多元泛函數(shù)的變分計(jì)算方法，有現(xiàn)代控制工程(II)由于則有現(xiàn)代控制工程(II)因此，根據(jù)多元泛函數(shù)取極值的必要條件，多元泛函數(shù)取極值的條件是歐拉方程橫截條件應(yīng)當(dāng)指出：歐拉方程是二階微分方程，積分時(shí)需確定二個(gè)積分常數(shù)，這與系統(tǒng)的邊界條件——即初始點(diǎn)和終端點(diǎn)的狀態(tài)密切相關(guān)。

現(xiàn)代控制工程(II)①對(duì)于固定端點(diǎn)，即初始點(diǎn)和終端點(diǎn)的數(shù)值及其初始時(shí)刻(t0和終端時(shí)刻tf)都為固定值。此時(shí)可以用初始點(diǎn)和終端點(diǎn)的固定值作為邊界條件來(lái)確定積分歐拉方程時(shí)的二個(gè)積分常數(shù)。②對(duì)于自由端點(diǎn)，初始時(shí)刻t0和終端時(shí)刻tf雖然固定，但初始點(diǎn)和(或)終端點(diǎn)的數(shù)值是任意的，即有δX(t0)≠0和(或)δX(tf)≠0。那么積分常數(shù)的確定就欠缺一個(gè)(或二個(gè))邊界條件，此時(shí)需借助橫截條件來(lái)補(bǔ)充邊界條件：自由始端，δX(t0)≠0自由終端，δX(tf)≠0現(xiàn)代控制工程(II)③對(duì)于可變端點(diǎn)，初始點(diǎn)和(或)終端點(diǎn)的數(shù)值是初始時(shí)刻t0和(或)終端時(shí)刻tf的函數(shù)。此時(shí)的橫截條件為：固定始點(diǎn)X(t0)，可變終點(diǎn)X(tf)=h(tf)可變始點(diǎn)X(t0)=h(t0)，固定終點(diǎn)X(tf)現(xiàn)代控制工程(II)（3）綜合型目標(biāo)泛函數(shù)的極值——?dú)W拉方程和橫截條件綜合型目標(biāo)泛函數(shù)不僅包含從初始時(shí)刻到終端時(shí)刻的性能積分項(xiàng)，還包含終端的性能評(píng)價(jià)項(xiàng)，即此時(shí)，對(duì)于初始點(diǎn)X(t0)=X0固定，終端點(diǎn)X(tf)自由的邊界條件，性能泛函數(shù)J取極值的必要條件是：歐拉方程橫截條件現(xiàn)代控制工程(II)例題：性能目標(biāo)泛函數(shù)為邊界條件為x(0)=0，x(1)任意。試計(jì)算性能目標(biāo)函數(shù)J取極值的x。解：這是固定初始點(diǎn)和自由終端點(diǎn)下的泛函數(shù)極值求解問(wèn)題。此時(shí)由歐拉方程得由橫截條件得現(xiàn)代控制工程(II)6.5最優(yōu)控制問(wèn)題求解

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(X(t)∈Rn,u(t)∈Rr)系統(tǒng)的性能目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題就是在[t0,tf]時(shí)間內(nèi)尋求使性能目標(biāo)函數(shù)J取極值的控制律u(t)。顯然，最優(yōu)控制問(wèn)題是有約束條件下求解泛函數(shù)極值的問(wèn)題。此時(shí)的約束條件就是取拉格朗日乘子向量λ∈Rn，構(gòu)成增廣泛函數(shù)現(xiàn)代控制工程(II)

這樣，增廣泛函數(shù)JA的極值問(wèn)題就是無(wú)約束條件下的極值求解問(wèn)題。對(duì)此，令標(biāo)量函數(shù)為則有按歐拉方程和橫截條件，增廣泛函數(shù)Ja取極值的條件是：（1）固定初始狀態(tài)x0和固定終端xf狀態(tài)的情況

或哈密爾頓函數(shù)伴隨方程(協(xié)態(tài)方程)狀態(tài)方程正則方程正則方程現(xiàn)代控制工程(II)（2）固定初始狀態(tài)x0和可變終端狀態(tài)xf、tf未知的情況——波爾札問(wèn)題此時(shí)初始值X(t0)=X0，終端值滿足(N∈Rq,q≤n)系統(tǒng)的性能目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為這時(shí)存在二個(gè)約束：狀態(tài)方程約束和終端邊界約束。為此引入二個(gè)拉格朗日乘子向量λ∈Rn、μ∈Rq，構(gòu)成增廣泛函數(shù)JA令哈密爾頓函數(shù)為