高等代數(shù)96教學(xué)大綱

PAGEPAGE10《高等代數(shù)96學(xué)時》教學(xué)大綱數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院代數(shù)幾何教研室一、教學(xué)目的及要求高等代數(shù)是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高．但它與中學(xué)代數(shù)有很大的不同，這不但表現(xiàn)在內(nèi)容的深度、廣度上，更重要的是表現(xiàn)在觀點和方法上．通過本課程教學(xué)，使學(xué)生掌握為進一步提高專業(yè)知識水平所必需的代數(shù)基本知識，基礎(chǔ)理論和基本方法．在此觀點指導(dǎo)下，對中學(xué)代數(shù)的內(nèi)容有比較深入的了解，并能很好地處理中學(xué)代數(shù)的有關(guān)教材初步熟悉和掌握抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)方法，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維、邏輯推理和運算能力，培養(yǎng)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限制辯證唯物主義觀點．二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題本課程的主要內(nèi)容是多項式理論，線性代數(shù)理論兩部分．多項式理論主要討論一元多項式的因式分解理論，線性代數(shù)部分包括矩陣、線性空間、線性變換、歐氏空間和二次型等內(nèi)容．根據(jù)教學(xué)計劃規(guī)定，本課程在第二、三學(xué)期開設(shè)，共96學(xué)時，講授與習(xí)題的學(xué)時之比3：1．在完成大綱規(guī)定的基本內(nèi)容的前提下，對講授順序、課時分配和教學(xué)形式可以靈活掌握．教學(xué)內(nèi)容第一章基礎(chǔ)知識(6學(xué)時)1.1集合集合的概念，集合的表示方法集合的運算及算律笛卡爾積1.2映射映射的定義滿射單射1—1映射映射的合成逆映射及映射可逆的條件1.3最小數(shù)原理最小數(shù)原理第一數(shù)學(xué)歸納法第二數(shù)學(xué)歸納法．1.4整數(shù)的整除性質(zhì)整數(shù)的定義及基本性質(zhì)帶余除法最大公因數(shù)互素素數(shù)的性質(zhì)．1.5數(shù)環(huán)的數(shù)域數(shù)環(huán)數(shù)域任何數(shù)域都必含有理數(shù)域．目的要求通過本章教學(xué)，使學(xué)生掌握集合，映射、數(shù)環(huán)、數(shù)域、整數(shù)整除等概念，掌握最小數(shù)原理．具體要求l．正確理解集合、集合相等，子集、交集、并集、差集、卡爾積等概念及它們互相間關(guān)系；2．掌握集合的表示方法，理解集合運算及算律；3．掌握映射、滿射、單射、1一l映射、逆映射等概念，會按定義驗證一個給定的法則是不是映射、滿射、單射、了解代數(shù)運算的概念4．理解自然數(shù)集的一個基本性質(zhì)——最小數(shù)原理，會用最小數(shù)原理證明問題，熟練運用數(shù)學(xué)歸納法；5．理解并掌握整數(shù)整除性質(zhì)及它與除法的區(qū)別；6．對帶余除法，最大公因數(shù)的存在性掌握并會應(yīng)用；7．對最大公因數(shù)的表示及互素要有深刻的理解．掌握素數(shù)的基本性質(zhì)；8．掌握數(shù)環(huán)和數(shù)域概念，判別方法；理解有理數(shù)域的最小性．行列式(8學(xué)時)2.1排列排列，反序及排列的奇偶性，對換及對換對排列奇偶性的影響．2.2行列式定義及性質(zhì)行列式定義行列式的性質(zhì)行列式的計算2.3行列式的展開子式和代數(shù)余子式行列式依行(列)展開定理降階的意義及在計箅行列式方面的作用Vandermonde行列式的計算．2.4Cramer規(guī)則行列式是線性方程組理論的—部分，是中學(xué)代數(shù)有關(guān)內(nèi)容的推廣和提高，也是—種重要的數(shù)學(xué)工具．目的要求通過求本章的教學(xué)，使學(xué)生掌握行列式，子式，代數(shù)余子式等基本概念，理解行列式的性質(zhì)及降階原理，用以計算行列式，并達到熟練程度．具體要求1．掌握排列、反序、反序數(shù)、對換等概念，理解一個對換改變排列的奇性；2．掌握行列式的定義，行列式的性質(zhì)，并學(xué)會用行列定義、性質(zhì)計算行式；3．掌握子余子式和代數(shù)余子式的定義，掌握行列式依行(列)展開定理的證明及應(yīng)用，進而總結(jié)出行列式的計算方法；4．掌握vandermonde行列式的計算及應(yīng)用；5．理解Cramer規(guī)則及應(yīng)用．線性方程(8學(xué)時)3.1消元法用消元法解線性方程組初等變換．3.2矩陣的秩k階子式秩的定義初等變換不改變矩陣的秩用安裝等變換求矩陣的秩．3.3解的判別法系數(shù)陣與增廣陣有解判定定理．3.4齊次線性方程組本章對線性方程組做一般性討論，給出了有解的判定方法，解的個數(shù)及求法，對中學(xué)數(shù)學(xué)有直接的指導(dǎo)意義，在實際和科學(xué)技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用．目的要求通過本章教學(xué)，使學(xué)生熟練運用矩陣的初等變換解線性程組，掌握線性方程組有解的判定定理及其應(yīng)用，掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件．具體要求1．理解線性方程組的消元解法與系數(shù)矩陣的初等變換的關(guān)系；2．熟練運用矩陣的初等變換解線性方程組；3．理解并掌握矩陣秩的概念，學(xué)會用矩陣的初等變換求矩陣秩的方法；4．掌握線性方程組有解的判定定理及應(yīng)用；5．掌握齊次線性方程組有非零解的充分必要條件．齊次線性方程組的定義有非零解的判別方法．矩陣代數(shù)(11學(xué)時)4.1矩陣的運算矩陣的加法、數(shù)乘及矩陣的乘法矩陣運算的算律、矩陣的轉(zhuǎn)置．4.2初等矩陣消法、倍法、換法矩陣初等變換和初等矩陣關(guān)系．可逆矩陣可逆矩陣定義可逆矩陣的性質(zhì)可逆陣的判別方法可逆陣的求法矩陣乘積的行列式有關(guān)秩的定理．4.3分塊矩陣分塊的方法分塊陣的運算準(zhǔn)對角形分塊矩陣的初等變換．目的要求通過本章的教學(xué)，使學(xué)生掌握矩陣運算及基本性質(zhì)，掌握可逆陣．伴隨陣，分塊陣等基本概念，掌握可逆陣的判別方法及應(yīng)用，理解分塊矩陣的應(yīng)用．具體要求1．矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運算及相應(yīng)算律；2．掌握初等矩陣的定義、初等矩陣與矩陣初等變換的關(guān)系；3．掌握可逆陣的定義、判別方法及逆矩陣的求法；4．理解矩陣乘積行列式的求法；5．理解矩陣分塊的意義，分塊的方法及分塊矩陣的初等交換及分塊矩陣的應(yīng)用．多項式(16學(xué)時)5.1多項式的定義運算多項式的定義運算及算律多項式的次數(shù)及次數(shù)定理5.2整除的概念整除的定義及性質(zhì)帶余除法5.3最大公因式最大公因式的定義及存在性輾轉(zhuǎn)相除法最大公因式的表達式互素的性質(zhì)．5.4因式分解定理不可約多項式唯一分解定理典型分解式．5.5重因式多項式的求導(dǎo)法則重因式與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系無重因式的條件．5.6多項式函數(shù)多項式函數(shù)定義余式定理因式定理多項式相等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系Lagrange插值公式．5.7復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的分解代數(shù)基本定理根與系數(shù)的關(guān)系實系數(shù)多項式的根不可約多項式的類型．5.8有理系數(shù)多項式本原多項式及高斯引理整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上可約性Eisenstein判別法有理根的討論．目的要求通過本章的教學(xué)，使學(xué)生掌握數(shù)域上一元多項式的定義，運算，整除性、因式分解等內(nèi)容，理解復(fù)數(shù)域、實數(shù)域和有理數(shù)域上多項式的分解及有理根的求法．具體要求1．掌握一元多項式的定義，運算及算律；理解并掌握多項式的次數(shù)及次數(shù)定理；2．理解并掌握多項式整除概念和性質(zhì)，掌握帶余除法及其應(yīng)用；3．理解最大公因式的的存在性，掌握其求法及表示法；4．掌握多項式互素概念及性質(zhì)；5．掌握不可約多項式的概念、性質(zhì)及唯一分解定理，了解典型分解式及應(yīng)用；6．理解多項式導(dǎo)數(shù)的定義，求法及重因式概名；掌握多項式有無重因式的判別法；7．掌握多項式函數(shù)概念及余式定理，理解兩個多項式相等與多項式函數(shù)相等的關(guān)系；8．掌握復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上多項式因式分解定理及不可約多項式的類型；9．掌握有理數(shù)域上多項的可約性及有理根的求法；理解并掌握高斯引理的證明及應(yīng)用．線性空間(15學(xué)時)6.1線性空間的定義及性質(zhì)線性空間的定義例子線性空間的性質(zhì)6.2子空間子空間的定義判別方法子空間的交和及直和．6.3向量的線性相關(guān)性線性組合向量的線性相關(guān)、無關(guān)定義及判別級大無關(guān)組替換定理及應(yīng)用.6.4基和維數(shù)基和維數(shù)的定義及性質(zhì)維數(shù)定理余子空間6.5向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)過渡陣及性質(zhì)坐標(biāo)變換公式6.6線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義及性質(zhì)有限維線性空間同構(gòu)的條件；6.7線性方程組的解空間矩陣秩的進一步討論齊次線性方程組的解空間基礎(chǔ)解系非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)．目的要求通過本章教學(xué)，使學(xué)生掌握線性空間，子空間，向量的相關(guān)性，向量的坐標(biāo)，同構(gòu)，基和維數(shù)，過度陣等概念，深入理解矩陣秩的概念，理解并掌握線性方程組有解的判別法，基礎(chǔ)解系的求法．具體要求1．理解線性空間的概念及性質(zhì)；2．掌握向量相關(guān)，無關(guān)概念，性質(zhì)及判別方法，理解并掌握替換定理，會靈活運用；3．掌握線性子空間的概念和判別方法，掌握子空間的交、和、直和等概念；4．理解并掌握基和維數(shù)的概念，求法及維數(shù)定，理解余子空間的概念；5．掌握線性空間中向量坐標(biāo)的概念及其意義，過渡陣概念，性質(zhì)及求法；6．理解線性空間同構(gòu)概念，性質(zhì)及意義，掌握線性空間同構(gòu)的條件；7．進一步理解矩陣秩的實質(zhì)，理解線性方程組有解的判別法，掌握齊次線性方程組解空間及基礎(chǔ)解系的概念、求法及非齊線性方程組解的結(jié)構(gòu)．第七章線性變換(16學(xué)時)7.1線性映射的定義線性映射及線性換的定義，簡單性質(zhì)，值域和核．7.2線性變換的運算加法，數(shù)乘及算律乘法及算律可逆變換7.3線性變換的矩陣線性變換的矩陣向量坐標(biāo)及象坐標(biāo)的關(guān)系L(V)與Mn(F)的同構(gòu)矩陣的相似及性質(zhì)7.4不變子空間不變子空間的定義及性質(zhì)線性變換在不變子空間上的限制不變子空間與化簡矩陣的關(guān)系7.5特征根與特征向量特征根與特征向量的定義特征多項式的定義特征多項式及特征根、特征向量的求法7.6可以對角化的矩陣不同特征根的特征向量的無關(guān)性特征子空間的定義特征子空間的維數(shù)與特征根重數(shù)的關(guān)系線性變換可對角化的充要條件矩陣對角的化方法目的要求通過本章教學(xué)，使學(xué)生掌握線性變換的概念、性質(zhì)、線性變換和矩陣的關(guān)系、矩陣相似及對角化的方法．具體要求1．理解線性映射的概念，掌握它的運算及性質(zhì)；2．掌握線性變換的概念及其矩陣表示，掌握值域與核的概念，理解L(V)與Mn(F)的同構(gòu)；3．理解矩陣相似及性質(zhì)；4．掌握特征根、特征向量、特征多項式概念及特征根、特征向量的求法；5．掌握不變子空間概念，性質(zhì)及它與化簡矩陣的關(guān)系：6．掌握特征子空間的概念、維數(shù)及特征根重數(shù)的關(guān)系；7．理解并掌握線性變換及矩陣可以對角化的條件及方法．第八章歐氏空間(8學(xué)時)8.1歐氏空間的定義內(nèi)積的定義及性質(zhì)歐氏空間的定義Sehwarz不等式向量的長度,夾角及離．8.2標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交組的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義正交化方法子空間的正交補8.3正交變換正交變換的定義及性質(zhì)正交陣正交變換定義的等價命題．8.4對稱變換對稱變換的定義及性質(zhì)對稱陣的對角化問題目的要求通過本章的教學(xué)，使學(xué)生掌握內(nèi)積，歐氏空間，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交變換，對稱變換等基本概念，理解正交化方法，并會應(yīng)用，理解正交陣的性質(zhì)．具體要求1．熟練掌握向量的內(nèi)積，夾角，長度，距離等概念；2．掌握Sehwarz不等式及應(yīng)用；3．理解標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，求法及應(yīng)用，了解子空間正交補的概念及用；4．理解正交變換，正交陣概念，性質(zhì)及關(guān)系，了解二，三維歐氏空間中正交變換的類型5．理解對稱變換的概念，性質(zhì)及其與對稱陣的關(guān)系．第九章二次型(8學(xué)時)9.1二次型的定義及矩陣表示二次型的定義二次型的矩陣二次型的等價與對稱陣的合同合同的性質(zhì)．9.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)型合同變換化對稱陣為對角形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法9.3復(fù)二次型和實二次型復(fù)二次的標(biāo)準(zhǔn)型，實二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，慣性定律，n元二次型的分類9.4正定二次型正定二次型的定義判別方法正定矩陣歐氏空間上的二次型與實對稱陣標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)系(主軸問題)．目的要求通過本章教學(xué)使學(xué)生掌握二次型，二次型的矩陣，正定二次型等基本概念，學(xué)會二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法及正定二次型的判定．具體要求1．掌握二次型及二次型的矩陣的概念及二次型矩陣的求法；2．掌握矩陣合同的定義及性質(zhì)；理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)的概念及化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法；了解