數(shù)學課程標準專家解讀及深度研究論文：數(shù)的概念與運算的一致性

數(shù)學課程標準專家解讀及深度研究論文：數(shù)的概念與運算的一致性《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：數(shù)學課程內容的一大特點就是整體性。教材編寫與教學設計應當突出核心內容，呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的實質性關聯(lián)，展現(xiàn)內容與觀念之間的融合，體現(xiàn)課程內容的整體性。在小學“數(shù)與代數(shù)”領域，要讓學生初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算的一致性，形成運算能力和初步的推理意識。教學中，也要溝通數(shù)的概念與數(shù)的運算之間的關聯(lián)，突出“數(shù)”與“運算”的一致性。但從當前的教材和教學來看：關于數(shù)的認識，整數(shù)（本文特指自然數(shù)）、分數(shù)、小數(shù)有其獨特的認識方法；關于數(shù)的運算，加減乘除有各自的算理，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)運算有各自的算法。這些知識似乎是支離破碎、缺乏內在一致性的。事實上，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)本質上是一個整體：從數(shù)形成與發(fā)展的角度而言，整數(shù)除法運算出現(xiàn)不夠除的情形，產生了分數(shù)，分數(shù)運算不方便，產生了小數(shù)；從數(shù)組成的角度而言，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)均是基于“計數(shù)單位”建構的。加減乘除本質上也是一個整體：從運算意義的角度而言，所有運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎；從運算算理的角度而言，分配律、交換律、結合律（下文均簡稱“運算律”）與等式的基本性質是所有算理的基礎；從運算算法的角度而言，所有運算都可以還原成計數(shù)單位與計數(shù)單位運算（個別運算，計數(shù)單位不參與運算）、計數(shù)單位上的數(shù)字（本質上是計數(shù)單位的個數(shù)）與計數(shù)單位上的數(shù)字運算，加法口訣、乘法口訣是所有算法的基礎。明白了“數(shù)”與“運算”的一致性，抓住了統(tǒng)領性概念，就可以撥開籠罩在數(shù)及其運算表面的層層面紗，設計合理的教學案例，帶領學生經歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，建立知識之間的聯(lián)系，體會知識的本源性、一致性與整體性。在《程序性知識課程設計的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整》一文中，我們初涉了上述觀點，接下來進行詳述。建構：何以實現(xiàn)數(shù)的概念與運算的一致性（一）數(shù)的概念的一致性：計數(shù)單位是建構數(shù)的基礎認識數(shù)的關鍵是理解數(shù)的建構方法。事實上，所有數(shù)都是基于計數(shù)單位來建構的?！坝嫈?shù)單位”是針對個數(shù)與順序的計量單位，如同長度計量單位1m、1dm，二者均是“度量單位”，前者通過抽象得到，后者借助工具得到。有了計數(shù)單位，就克服了逐個計數(shù)的煩瑣與低效，提供了一個組（本質上是一個標準量、單位量），一組一組地計數(shù)，這個“一組”就是計數(shù)單位。數(shù)的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的發(fā)展過程。整數(shù)和小數(shù)的計數(shù)單位就是十、個、十分之一等，即通常所說的數(shù)位；分數(shù)的計數(shù)單位就是分數(shù)單位。建構整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)的關鍵是計數(shù)單位，“數(shù)的認識”應當強調計數(shù)單位。1.整數(shù)的認識（1）記數(shù)活動的本質是創(chuàng)造計數(shù)單位人類記數(shù)活動的發(fā)展有兩條主線：其一是記數(shù)符號的產生及發(fā)展，即從實物符號，到象形符號，再到抽象符號；其二是記數(shù)方法的發(fā)展，即從“一個一個”地數(shù)（非進位制）到“一組一組”地數(shù)（進位制），從同一個記數(shù)符號在不同位置代表相同的值（非位值制）到代表不同的值（位值制）的過程。其中，“一組一組”地數(shù)是記數(shù)活動發(fā)展的關鍵。表面上，它只是把刻痕記數(shù)中的一道道刻痕分組、聚合了；本質上，這就實現(xiàn)了對信息的壓縮與抽象，使復雜、龐大的記數(shù)成為可能。這個“一組”，就是進位，就是計數(shù)單位。然而，如果要表示特別大的數(shù)量，有限的計數(shù)單位就顯得捉襟見肘了。于是，人類創(chuàng)造了位值制。位值制解決了非位值制的問題，但保留了進位制的核心——計數(shù)單位。因而，記數(shù)制的發(fā)展過程，就是計數(shù)單位的創(chuàng)造過程，計數(shù)單位的產生對記數(shù)活動的發(fā)展具有決定性意義。了解記數(shù)制的發(fā)展歷程，理解計數(shù)單位創(chuàng)生的必要性，是認識數(shù)、理解數(shù)及其運算的關鍵。遺憾的是，現(xiàn)行的大多數(shù)教材，在介紹了整數(shù)及四則運算后，直至四年級才帶領學生感悟記數(shù)制的發(fā)展歷程。（2）如何認識整數(shù)認識整數(shù)要先認識1—9，再認識0和10。其中1—9的認識比較容易，10的認識就比較困難了。后者與前者的本質區(qū)別是“進位”，即從“個”凝聚與飛躍到“十”。9個“1”再加1個“1”，不稱為10個“1”，而稱為1個“十”。突破了“十”這個計數(shù)單位，其他的計數(shù)單位，就容易學習了。例如，認識“萬”就是通過9999多1來認識的。那么，如何表示1個“十”呢？這涉及位值制和“0”。教師要帶領學生慢慢體會：我們已經知道1—9這9個記數(shù)符號，“十”如何表示呢？如果直接寫成1個“十”，就太不方便了；如果簡單地寫成“1”，就會與我們已經學過的“1”相混淆；如果創(chuàng)造新的符號，符號太多，使用也不方便。因此，人類創(chuàng)造了位值制。例如，我國古人把1個“十”表示成“1□”，印度人將其表示成“10”，這就與“1”區(qū)別開來。這里的“□”和“0”均具有兩重性——占位符與記數(shù)符，對應兩個作用：一是“占位”，占了個位，于是“1”就被推到十位；二是表明“個位上什么都沒有，是空的”。這樣學習，與歷史上位值制、“0”的發(fā)展是一致的，因為“0”是位值制的產物；這樣學習，就可以體會到位值制以及“0”產生的必要性與優(yōu)越性，也滲透了數(shù)學文化，融入了課程思政。2.分數(shù)的認識（1）分數(shù)的計數(shù)單位分數(shù)的計數(shù)單位（也就是分數(shù)單位）不似整數(shù)明顯，一個原因似乎是：分數(shù)的計數(shù)單位雖然可以按大小從左至右排成一列，但這些計數(shù)單位之間沒有明確的倍數(shù)關系。這給分數(shù)大小比較以及分數(shù)運算（尤其是加減運算）帶來了不便。于是，要把不同的計數(shù)單位轉化成相同的計數(shù)單位，這樣才能比較大小、進行加減運算?？梢?，分數(shù)對計數(shù)單位的依賴程度一點也不比整數(shù)低。另一個原因則是：教材中對分數(shù)計數(shù)單位的強調不夠，導致很多學生甚至認識不到分數(shù)有計數(shù)單位。這既不利于認識分數(shù)的本質，也不利于推演分數(shù)運算的算理、推導算法。從文化的角度而言，這也許與我們傳統(tǒng)的分數(shù)命名有關。從《九章算術》開始，我們就把分數(shù)2/5讀作五分之二，這個命名強調了“分”與“取”的過程（平均分成5份，取其中的2份），而并沒有強調每份是整體的1/5。不同的是，在英文中，2/5表示為twofifths，fifth是1/5，twofifths就是2個1/5，對分數(shù)單位的強調是很明顯的。（2）如何認識分數(shù)概念只是一個稱謂，其蘊含的性質和關系才是最重要的。因此，引入一個概念時，應當涉及這個概念的性質或者關系。分數(shù)是一種有大小的新數(shù)，其目的是幫助我們度量小于1的量。因此，在強調分數(shù)計數(shù)單位的同時，也要重視分數(shù)的大小比較。分數(shù)的認識可以分為三個階段：第一階段，舉例講分數(shù)，初步感悟“在相同的計數(shù)單位上才能比較大小”，同時滲透“分子和分母同乘以一個數(shù)，分數(shù)大小不變”；第二階段，借助通分，將分數(shù)轉換為相同的計數(shù)單位，進行加減運算；第三階段，建立分數(shù)與整數(shù)除法的關系，完整認識分數(shù)。當然，也可以從概念認識的一般過程，即感性具體、感性一般、理性具體與理性一般來認識分數(shù)。3.小數(shù)的認識（1）小數(shù)的計數(shù)單位小數(shù)0.1的計數(shù)單位是1/10，0.01的計數(shù)單位是1/100。小數(shù)是基于十進位值制來建構的，認識小數(shù)的關鍵是認識基于十進制的小數(shù)計數(shù)單位。如果把整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位有序排列在一起，如“”，我們會發(fā)現(xiàn)：小數(shù)計數(shù)單位是整數(shù)計數(shù)單位的自然延伸，小數(shù)的產生是自然而然的。（2）如何認識小數(shù)小數(shù)是“十進分數(shù)”，這里的“分數(shù)”只是一個描述計數(shù)單位的工具，“十進”（或“十分”）才是本質?？梢赃@樣引導學生思考：在認識整數(shù)時，個位滿十向十位進一，十位滿十向百位進一……反過來，把計數(shù)單位“百”平均分成十份，一份就是計數(shù)單位“十”；把計數(shù)單位“十”平均分成十份，一份就是計數(shù)單位“個”。以此類推，把計數(shù)單位“個”平均分成十份，一份就是“個”的十分之一，稱其為十分位……這樣看來，小數(shù)作為十進分數(shù)，所蘊含的分數(shù)意義是非常弱的。小數(shù)意義的教學重點在于位值制。按照“逢十進一”和“退一作十”的規(guī)則建構出來的小數(shù)，可以和整數(shù)一起構成完整的位值制系統(tǒng)，這正是小數(shù)的意義和核心所在。其中，按同樣的規(guī)則（十進制）來建構小數(shù)非常重要，凸顯了知識的本質。綜上所述，數(shù)的概念的一致性體現(xiàn)為：“計數(shù)單位”是建構數(shù)的基礎。因而，認識數(shù)的關鍵是認識“計數(shù)單位”。（二）運算意義的一致性：加法是運算意義的基礎人類首先明晰了加法，然后基于加法衍生出了其他運算：減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。這樣就得到了四則運算。因此，所有運算都可以化歸為加法運算，加法是所有運算的基礎與核心。加法的意義可以用以下兩種方法來解釋。一是借助定義。例如，我們定義2=1+1，3=2+1（皮亞諾算術公理系統(tǒng)），于是，得到1+1=2，2+1=3，這利用了“=”的對稱性。但這樣的解釋脫離了現(xiàn)實背景，沒有涉及“等于”的本質。二是利用對應的方法來解釋加法，從而體現(xiàn)“等于”的本質。例如，3+1=4。過去講3+1是三個物品再加一個物品，就是四個物品，所以3+1=4，但等號的含義沒有體現(xiàn)出來。可以這樣講：左邊有三個物品，右邊有四個物品，哪邊的物品多？右邊多，3＜4；如果在三個物品里再加一個物品，哪邊多呢？一樣多；所以3+1=4。在此過程中理解等號和加法的意義，建立數(shù)感和符號意識，感悟數(shù)學思想?；诩臃?，可以將四則運算合理地聯(lián)系起來。加減乘除四則運算的關系概括如圖1所示。

圖1四則運算關系圖因此，在探究數(shù)的運算意義的一致性過程中，要明晰減法、乘法、除法都是在加法的基礎上衍生而來的，加法是所有運算的基礎與核心。（三）運算算理、算法的一致性：計數(shù)單位、運算律與等式的基本性質是算理、算法的基礎數(shù)學是一個統(tǒng)一體，數(shù)學運算也是一個統(tǒng)一體。數(shù)的建構與數(shù)的運算都是基于計數(shù)單位進行的，卻是兩個互逆的過程：一個是經歷了很長的歷史錘煉組裝起來的，一個是慢慢拆解開來的。數(shù)的概念是數(shù)的運算的基礎，數(shù)的運算是對數(shù)的概念的再應用。推演數(shù)的運算算理，既要基于計數(shù)單位，也要基于運算律、等式的基本性質。推導數(shù)的運算算法，主要基于計數(shù)單位：對于加減運算而言，只有相同計數(shù)單位上的數(shù)字才能進行運算；對于乘除運算而言（整數(shù)除法除外），計數(shù)單位與計數(shù)單位運算，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字進行運算。1.加減法運算的一致性（1）整數(shù)加減法運算整數(shù)加減運算，就是將每一個數(shù)按照計數(shù)單位進行分解，然后相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減。例如：123+45=100+20+3+40+5=1（百）+（2+4）（十）+（3+5）（個）=168。可以發(fā)現(xiàn)，計數(shù)單位上的數(shù)字均小于等于9，因而，加法口訣表是所有加減法運算的基礎。（2）分數(shù)加減法運算分數(shù)相加減時，需要先統(tǒng)一分數(shù)單位：同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數(shù)相加減，先化成同分母的分數(shù)，再相加減?？梢?，分數(shù)相加減，均是“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減”，這與整數(shù)運算保持了一致。（3）小數(shù)加減法運算小數(shù)四則運算的算理、算法既可以基于整數(shù)的算理、算法，也可以基于分數(shù)的算理、算法，這充分顯示了小數(shù)的“兩棲性”。無論基于整數(shù)加減，還是基于分數(shù)加減，均是“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減”。綜上所述，加減法運算的一致性體現(xiàn)為：相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變。2.乘法運算的一致性探尋乘法運算的算理與算法，當然可以簡單地還原成加法，這樣做，乘法就找到了源頭。但如果一直這樣，乘法就永遠是攀附在加法上的藤蔓。因而，乘法要建構自己獨立的算理與算法。（1）整數(shù)乘法運算在進行整數(shù)乘法運算時，就開始使用運算律了。例如：25×3=20×3+5×3=（2×3）×（10×1）+（5×3）×（1×1）=75。首先，將25基于計數(shù)單位進行分解并利用分配律進行拆解；其次，將每一個數(shù)都基于計數(shù)單位進行分解，利用交換律、結合律，將計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘、計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，得到新的數(shù)字與新的計數(shù)單位；再次，新的計數(shù)單位與新的數(shù)字相乘，得到部分積；最后，將兩個部分積相加即為最終的運算結果。可見，橫式將算理展示得淋漓盡致、清清楚楚。當然，就算法而言，豎式更加清晰一些?？梢园l(fā)現(xiàn)，整數(shù)乘法運算要進行兩類運算：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘（這兩個計數(shù)單位可以一樣、可以不一樣），從而得到新的計數(shù)單位；計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘，得到新的計數(shù)單位上的新的數(shù)字。計數(shù)單位上的數(shù)字均小于等于9，因而，乘法口訣表是所有乘法運算的基礎。（2）分數(shù)乘法運算基于演繹推理推演分數(shù)乘法的算理與算法，涵蓋兩個方面：證明單位分數(shù)相乘，本質上是計數(shù)單位相乘得到新的計數(shù)單位；證明非單位分數(shù)相乘，本質上是計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘。證明過程中要用到等式的基本性質。于是分數(shù)乘法運算與整數(shù)乘法運算保持了一致。（3）小數(shù)乘法運算基于整數(shù)乘法、分數(shù)乘法分別推演小數(shù)乘法運算的算理與算法：基于整數(shù)乘法，推演小數(shù)乘法的算理遇到困難。例如，0.34×0.2=（0.3+0.04）×0.2=0.3×0.2+0.04×0.2=（3×2）×（0.1×0.1）+（4×2）×（0.01×0.1）=0.068。可以發(fā)現(xiàn)，小數(shù)乘法的算法與整數(shù)乘法幾乎完全一致。但為什么0.1×0.1=0.01？簡單解釋就是，在十進制下，0.1=1/10，1/10×1/10=1/100=0.01，還是要回到分數(shù)才能夠說明白算理?；诜謹?shù)乘法，推演算理就很清晰了，同樣是“計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘”。綜上所述，乘法運算的一致性體現(xiàn)為：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘。3.除法運算的一致性乘除法互為逆運算，除法運算的意義依賴乘法，乘法口訣就自然地成為了除法口訣，因而，除法算理與算法的探求要還原為乘法。（1）整數(shù)除法運算例如，1500÷4按照以下步驟進行運算：15（百）÷4=3（百）……3（百）；30（十）÷4=7（十）……2（十）；20（個）÷4=5（個）。最后將所有的商3（百）、7（十）與5（個）組合起來，得到結果375。被除數(shù)被分解成以不同計數(shù)單位為單位的若干個部分，上例是15（百）、30（十）、20（個）三個部分，這些部分分別參與運算，而除數(shù)整體參與運算。然后，這些部分分別除以除數(shù)，進行試商。每一次的商總是小于等于9個計數(shù)單位，這又將除法運算還原成了乘法口訣表中的乘法運算。上述運算過程還可以表示為：1500÷4=［12（百）+28（十）+20（個）］÷4=［12（百）+28（十）+20（個）］×1/4=12（百）×1/4+28（十）×1/4+20（個）×1/4=3（百）+7（十）+5（個）=375。這就是整數(shù)除法的算理。當然，這個過程為了使用乘法分配律，還要使用“除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。（2）分數(shù)除法運算①建立整數(shù)除法與分數(shù)的關系。“整數(shù)除法可以表示成分數(shù)的形式”，這等價于“除以一個不為0的整數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，即a÷b=a×1/b=a/b。這個結論可以類比分數(shù)乘法算理的推導，采用演繹推理來證明。這事實上推演了分數(shù)除法的算理、推導了分數(shù)除法的算法，也建立了整數(shù)除法與分數(shù)的關系、貫通了整數(shù)與分數(shù)的運算。②除以一個不為0的數(shù)等于乘上它的倒數(shù)。基于演繹推理，同理可證這個等式之所以寫得如此復雜，是想說明：其一，對于分數(shù)除法而言，其算理同樣是借助演繹推理來推演的，其算法轉化為了分數(shù)乘法，而分數(shù)乘法運算與整數(shù)、小數(shù)乘法運算保持了一致性；其二，，這是計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除（c÷d），再把所得到的兩個商相乘。這再次體現(xiàn)出運算的一致性。（3）小數(shù)除法運算同小數(shù)乘法一樣，可以分別基于整數(shù)除法、分數(shù)除法來推演小數(shù)除法運算的算理與算法。小數(shù)除法運算可以概括為“披著小數(shù)外衣的整數(shù)除法運算”，例如，對于1.5÷0.04，可以利用“商不變規(guī)律”將其轉化成整數(shù)除法，即1.5÷0.04=150÷4，于是就可以按照整數(shù)除法的運算方法來進行小數(shù)除法運算了。綜上所述，除法運算的一致性體現(xiàn)為：計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除。當然，整數(shù)除法只有計數(shù)單位上的數(shù)字參與運算。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，運算算理、算法的一致性體現(xiàn)為：計數(shù)單位、運算律與等式的基本性質是算理、算法的基礎。

結論與建議：基于計數(shù)單位、運算律等實現(xiàn)數(shù)的概念與運算的一致性（一）結論通過分析，可建構數(shù)的概念與運算的一致性框架（見圖2）：一個核心概念，即計數(shù)單位；一些基本規(guī)律，即運算律與等式的基本性質；一些基本運算，即計數(shù)單位與計數(shù)單位運算，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字運算；一些基本事實，即加法口訣、乘法口訣。圖2數(shù)的概念與運算的一致性（二）建議1.基于計數(shù)單位，建立數(shù)之間的聯(lián)系，感悟數(shù)的概念的一致性，培養(yǎng)數(shù)感和符號意識.建立數(shù)之間的聯(lián)系，就要以計數(shù)單位為核心要素來統(tǒng)領數(shù)的概念。感悟數(shù)概念的本質，就要帶領學生經歷由數(shù)量到數(shù)、由整數(shù)到分數(shù)再到小數(shù)的形成過程。這個過程是知識的發(fā)生發(fā)展過程，也是數(shù)學化的過程。學生經歷了這個過程，才能夠體會知識的本源性與一致性。具體來說，就是要帶領學生體驗計數(shù)單位在數(shù)的建構中的統(tǒng)領作用，理解數(shù)是計數(shù)單位多少的表達，感悟“十進位值制”的意義。為了簡潔、有效地記數(shù)，人類經歷了漫長的過程：從非進位制到進位制，從非位值制到位值制，這說的是記數(shù)的原則；從實物記數(shù)到刻痕記數(shù)，從許多個符號到十個符號，這說的是記數(shù)的符號。在記數(shù)過程中，運算律被自然而然地使用著，計數(shù)單位發(fā)揮著統(tǒng)領作用，這些很容易遷移、推廣到分數(shù)與小數(shù)，這就建立了整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)的一致性。正是在這樣的過程中，培養(yǎng)了學生的數(shù)感與符號意識。2.基于運算律、等式的基本性質與計數(shù)單位，建立數(shù)與運算之間的聯(lián)系，體會數(shù)的運算的一致性，提高運算能力和推理能力.建立數(shù)與運算之間的聯(lián)系、體會數(shù)的運算的本質，就要帶領學生體會計數(shù)單位在數(shù)的運算中的統(tǒng)領作用，經歷運算意義、算理和算法的探索過程。具體說來包括以下幾點。其一，要建立“數(shù)”與“運算”之間的聯(lián)系，理解“數(shù)的概念是數(shù)的運算的基礎，數(shù)的運算是數(shù)的概念的再應用”，體會數(shù)的表達與運算方法的一致性。正如前文所說