C線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

會(huì)計(jì)學(xué)1C線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2023/1/172線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-齊次狀態(tài)方程(1)若a為標(biāo)量，初始時(shí)刻x(t0)=x0,則：(2)若A為方陣時(shí)，將上式推廣之：假設(shè)是絕對(duì)收斂的。為矩陣指數(shù)。稱齊次狀態(tài)方程：即控制輸入為零。？第2頁(yè)/共62頁(yè)第1頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/173第3頁(yè)/共62頁(yè)第2頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/174線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-齊次狀態(tài)方程非齊次狀態(tài)方程：(1)若A、B為標(biāo)量，初始時(shí)刻x(t0)=x0,則：(2)若A、B為矩陣時(shí)，將上式推廣之：第4頁(yè)/共62頁(yè)第3頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/175連續(xù)定常齊次狀態(tài)方程的解

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)定常系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)線性系統(tǒng)的離散化線性離散狀態(tài)方程的解第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第5頁(yè)/共62頁(yè)第4頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/176線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由

推而廣之有：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：矩陣指數(shù)：稱為A的矩陣指數(shù)。由齊次方程的自由解：

可知，由于

的存在，只要已知

，任一時(shí)刻的x(t)都會(huì)變成已知。第6頁(yè)/共62頁(yè)第5頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/177即從時(shí)間的角度而言，

隨著時(shí)間的推移，不斷的在狀態(tài)空間中做轉(zhuǎn)移，所以意味著它能夠使得狀態(tài)矢量稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通常記為

對(duì)于

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第7頁(yè)/共62頁(yè)第6頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/178同樣用

也可表示之：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的組合狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）的基本性質(zhì)1、組合性線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第8頁(yè)/共62頁(yè)第7頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1792、不變性3、逆轉(zhuǎn)性或可逆性當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)，有

4、不可交換性當(dāng)

請(qǐng)同學(xué)們用矩陣指數(shù)的展開(kāi)式來(lái)自己證明。

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第9頁(yè)/共62頁(yè)第8頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17105、可微性線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第10頁(yè)/共62頁(yè)第9頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1711幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）對(duì)角陣線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第11頁(yè)/共62頁(yè)第10頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17122）約當(dāng)塊線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第12頁(yè)/共62頁(yè)第11頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17133）模態(tài)陣

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第13頁(yè)/共62頁(yè)第12頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1714矩陣指數(shù)函數(shù)的幾種計(jì)算方法

1）由

的定義或展開(kāi)式直接計(jì)算

2）變換矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型

A單根時(shí)：

A有重根時(shí)：

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A有復(fù)根時(shí)：

第14頁(yè)/共62頁(yè)第13頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1715

解：

①求特征值，由

得：

②求特征向量

，并組成變換矩陣P及P-1

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(采用變換矩陣法)

例1第15頁(yè)/共62頁(yè)第14頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1716∴③求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形④求線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第16頁(yè)/共62頁(yè)第15頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1717線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣?yán)?第17頁(yè)/共62頁(yè)第16頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17183）利用拉氏變換法求

證：

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第18頁(yè)/共62頁(yè)第17頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1719(采用拉氏變換法)

例3線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：第19頁(yè)/共62頁(yè)第18頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1720線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第20頁(yè)/共62頁(yè)第19頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17214）應(yīng)用凱萊—哈密頓定理求

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣凱萊—哈密頓定理：

若方陣

的特征方程為：

第21頁(yè)/共62頁(yè)第20頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1722即是的線性組合，也均是的線性組合。如何確定線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第22頁(yè)/共62頁(yè)第21頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1723=1）當(dāng)A的特征值互異時(shí)，

的確定方法：

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第23頁(yè)/共62頁(yè)第22頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/17242)當(dāng)A的特征根有重根（n重特征根）線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第24頁(yè)/共62頁(yè)第23頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1725(凱萊-哈密爾頓定理)

例4線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解：①：求特征值②：計(jì)算第25頁(yè)/共62頁(yè)第24頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1726線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第26頁(yè)/共62頁(yè)第25頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1727連續(xù)定常齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)定常系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)線性系統(tǒng)的離散化線性離散狀態(tài)方程的解第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第27頁(yè)/共62頁(yè)第26頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1728對(duì)于一階微分方程：

如果求其解的話，我們先應(yīng)得到其其次方程的通解：

兩者之和就是一階微分方程的解。然后再求由u的作用而對(duì)應(yīng)的特解，將其推廣到矩陣形式：線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程第28頁(yè)/共62頁(yè)第27頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1729線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程疊加原理第29頁(yè)/共62頁(yè)第28頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1730證：

反變換（卷積定理）

求下述系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的解：

u=1(t)線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程例5第30頁(yè)/共62頁(yè)第29頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1731線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程解：①：求

（約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)法，拉氏反變換法，定義法，凱萊—哈密頓法）②：按第31頁(yè)/共62頁(yè)第30頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1732線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程例6第32頁(yè)/共62頁(yè)第31頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1733線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程第33頁(yè)/共62頁(yè)第32頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1734線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程第34頁(yè)/共62頁(yè)第33頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1735

特別要說(shuō)明的是：在特定的控制作用下，如脈沖函數(shù)，階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)，則的形式可以得到簡(jiǎn)化（從而避免積分計(jì)算）。1、輸入是脈沖信號(hào)：

2、輸入是階躍信號(hào)：3、輸入是斜坡信號(hào)：線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-非齊次方程第35頁(yè)/共62頁(yè)第34頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1736連續(xù)定常齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)定常系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)線性系統(tǒng)的離散化線性離散狀態(tài)方程的解第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第36頁(yè)/共62頁(yè)第35頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1737線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-時(shí)變系統(tǒng)Φ(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)應(yīng)定常系統(tǒng)Φ(t-t0)第37頁(yè)/共62頁(yè)第36頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1738線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-時(shí)變系統(tǒng)第38頁(yè)/共62頁(yè)第37頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1739線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-時(shí)變系統(tǒng)第39頁(yè)/共62頁(yè)第38頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1740作業(yè)：p872-3,2-4,2-5,2-6

第40頁(yè)/共62頁(yè)第39頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1741連續(xù)定常齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)定常系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)線性系統(tǒng)的離散化線性離散狀態(tài)方程的解第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第41頁(yè)/共62頁(yè)第40頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1742連續(xù)系統(tǒng)離散化的三個(gè)條件采樣方式為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間Δ<<T采樣周期T滿足香農(nóng)采樣定理保持器為零階保持器連續(xù)系統(tǒng)保持器計(jì)算機(jī)采樣器D/AA/D線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化u(t)u(k)y(t)y(k)第42頁(yè)/共62頁(yè)第41頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1743近似離散化∵當(dāng)T很小時(shí)，有

整理可得：線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化第43頁(yè)/共62頁(yè)第42頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1744比較此式與離散化后的離散狀態(tài)方程不難得到：令：

由狀態(tài)方程的解可知：離散化方法-定常系統(tǒng)令

并注意到此時(shí)

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化第44頁(yè)/共62頁(yè)第43頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1745線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化試將下列狀態(tài)方程離散化例7解：(1)用狀態(tài)方程的解離散化第45頁(yè)/共62頁(yè)第44頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1746(2)近似離散：T的大小對(duì)近似算法精度的影響見(jiàn)P85中的表2-1線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化第46頁(yè)/共62頁(yè)第45頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1747離散化方法-時(shí)變系統(tǒng)線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化第47頁(yè)/共62頁(yè)第46頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1748線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散化離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣是什么？第48頁(yè)/共62頁(yè)第47頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1749連續(xù)定常齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣連續(xù)定常系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)非齊次方程解連續(xù)線性系統(tǒng)的離散化線性離散狀態(tài)方程的解第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第49頁(yè)/共62頁(yè)第48頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1750離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的兩種解法：遞推法—迭代法Z變換法—只能用于求解定常系統(tǒng)一、遞推法(迭代法)

線性離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

第50頁(yè)/共62頁(yè)第49頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1751這個(gè)一階差分方程組的解為：證：用迭代法解矩陣差分方程：線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

第51頁(yè)/共62頁(yè)第50頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1752k=0：k=1：k=2：k=k-1：

這就是前面的通式線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

第52頁(yè)/共62頁(yè)第51頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1753整理成矩陣表達(dá)式：容易記憶

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

第53頁(yè)/共62頁(yè)第52頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1754線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

二、Z變換法

第54頁(yè)/共62頁(yè)第53頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1755幾點(diǎn)說(shuō)明：

1)離散方程的求解在形式上與連續(xù)系統(tǒng)的類似是：離散方程的解=通解+特解其次方程解與輸入u有關(guān)的部分2)離散方程的解在時(shí)間上是離散的，不像連續(xù)狀態(tài)方程其解是時(shí)間連續(xù)的。3)由輸入引起的響應(yīng)：k時(shí)刻的狀態(tài)只與在此采樣時(shí)刻以前的輸入采樣值有關(guān)，而與該時(shí)刻的輸入采樣無(wú)關(guān)。

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析-離散狀態(tài)方程的解

第55頁(yè)/共62頁(yè)第54頁(yè)/共62頁(yè)2023/1/1756二、離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣：

由離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，比較連續(xù)系統(tǒng)可知有：

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析