D115對坐標(biāo)曲面積分1

會(huì)計(jì)學(xué)1D115對坐標(biāo)曲面積分1其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定第1頁/共38頁二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場為求單位時(shí)間流過有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第2頁/共38頁對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場進(jìn)行分析可得,則第3頁/共38頁設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.第4頁/共38頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記正側(cè)的單位法向量為令則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式第5頁/共38頁3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用ˉ表示的反向曲面,則第6頁/共38頁三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側(cè),第7頁/共38頁

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面取下側(cè),則第8頁/共38頁例1.

計(jì)算其中是以原點(diǎn)為中心,邊長為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用對稱性.原式的頂部取上側(cè)的底部取下側(cè)第9頁/共38頁解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計(jì)算曲面積分其中為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.第10頁/共38頁第11頁/共38頁例3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對稱性,有第12頁/共38頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫第13頁/共38頁令向量形式(A在

n上的投影)第14頁/共38頁例4.

位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E

通過球面:r=R外側(cè)的電通量

.第15頁/共38頁例5.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解:第16頁/共38頁例6.

計(jì)算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).第17頁/共38頁原式=第18頁/共38頁五、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)第19頁/共38頁證明:設(shè)為XY型區(qū)域,則第20頁/共38頁所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第21頁/共38頁例7.用Gauss

公式計(jì)算其中為柱面閉域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解:

這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?第22頁/共38頁例8.利用Gauss公式計(jì)算積分其中為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域?yàn)?則第23頁/共38頁利用重心公式,注意第24頁/共38頁例9.設(shè)為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)第25頁/共38頁在閉區(qū)域上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明格林(Green)第一公式例10.

設(shè)函數(shù)其中是整個(gè)邊界面的外側(cè).分析:高斯公式第26頁/共38頁證:令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.第27頁/共38頁內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

第28頁/共38頁性質(zhì):聯(lián)系:思考:的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲面積分的定義一個(gè)與的方向無關(guān),一個(gè)與第29頁/共38頁2.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:第30頁/共38頁3.常用計(jì)算公式及方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(3)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化第31頁/共38頁當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.第32頁/共38頁取外側(cè).解:注意±號其中思考與練習(xí)1.第33頁/共38頁利用輪換對稱性第34頁/共38頁所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為2.第35頁/共38頁

練習(xí)題

設(shè)是一光滑閉曲面,所圍立體的體

是外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證:

設(shè)的單位外法向量為則的夾角,積為V,第36頁/共38頁高斯(1777–1855)德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復(fù)變函數(shù)