D78常系數(shù)非齊次線性微分方程第5次課

會(huì)計(jì)學(xué)1D78常系數(shù)非齊次線性微分方程第5次課一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m

次多項(xiàng)式.(1)若

不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為

m次待定系數(shù)多項(xiàng)式2第1頁(yè)/共15頁(yè)(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m

次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解3第2頁(yè)/共15頁(yè)例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為4第3頁(yè)/共15頁(yè)例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為5第4頁(yè)/共15頁(yè)例3.

求解定解問(wèn)題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得6第5頁(yè)/共15頁(yè)于是所求解為解得7第6頁(yè)/共15頁(yè)對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.8二、第7頁(yè)/共15頁(yè)例4.

的一個(gè)特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解9第8頁(yè)/共15頁(yè)例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為10第9頁(yè)/共15頁(yè)例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:11第10頁(yè)/共15頁(yè)內(nèi)容小結(jié)為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.12第11頁(yè)/共15頁(yè)思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)13第12頁(yè)/共15頁(yè)2.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為14第13頁(yè)/共15頁(yè)3.已知二階常微分方程有特解求微分方