材料力學(xué)(I)第三章

第三章扭轉(zhuǎn)§3-1

概述§3-2

純剪切.薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3-3

圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力§3-4

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1§3-1

概述變形特點：

Ⅰ.相鄰橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動；

Ⅱ.桿表面的縱向線變成螺旋線；

Ⅲ.實際構(gòu)件在工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還伴隨有彎曲或拉、壓等變形。受力特點：圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi)的外力偶Me作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。第三章扭轉(zhuǎn)薄壁桿件也可以由其它外力引起扭轉(zhuǎn)。MeMe2圓軸扭轉(zhuǎn)變形第三章扭轉(zhuǎn)3本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對象。此外，所研究的問題限于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。第三章扭轉(zhuǎn)4傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動軸的外力偶矩當(dāng)傳動軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時，作用于某一輪上的外力偶在t秒鐘內(nèi)所作功等于外力偶之矩Me乘以輪在t秒鐘內(nèi)的轉(zhuǎn)角a。第三章扭轉(zhuǎn)5因此，外力偶Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為因此，在已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n(亦即傳動軸上每個輪的轉(zhuǎn)速)和主動輪或從動輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計算作用于每一輪上的外力偶矩：第三章扭轉(zhuǎn)6主動輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相同，而從動輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動軸的轉(zhuǎn)動方向相反。第三章扭轉(zhuǎn)7Ⅱ.扭矩及扭矩圖傳動軸橫截面上的扭矩T可利用截面法來計算。第三章扭轉(zhuǎn)TMeMeTT=MeMeMe118扭矩的正負(fù)可按右手螺旋法則確定：扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。第三章扭轉(zhuǎn)T(+)T(-)9

例題

一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速；主動輪輸入的功率P1=500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。第三章扭轉(zhuǎn)10解：1.

計算作用在各輪上的外力偶矩第三章扭轉(zhuǎn)112.

計算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))第三章扭轉(zhuǎn)注意這個扭矩是假定為負(fù)的123.

作扭矩圖由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56kN·m。第三章扭轉(zhuǎn)13思考：如果將從動輪D與C的位置對調(diào)，試作該傳動軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？第三章扭轉(zhuǎn)14第三章扭轉(zhuǎn)15.94.786.374.7815§3-2純剪切薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒——通常指的圓筒當(dāng)其兩端面上作用有外力偶矩時，任一橫截面上的內(nèi)力偶矩——扭矩(torque)第三章扭轉(zhuǎn)mmTMelMemmMedr0Od16薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)第三章扭轉(zhuǎn)17

Ⅰ.

薄壁圓筒橫截面上各點處切應(yīng)力的變化規(guī)律第三章扭轉(zhuǎn)

推論：(1)橫截面保持為形狀、大小未改變的平面，即橫截面如同剛性平面一樣；(2)相鄰橫截面只是繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動，橫截面之間的距離未變。MeADBCMejg18橫截面上的應(yīng)力：(1)只有與圓周相切的切應(yīng)力(shearingstress)，且圓周上所有點處的切應(yīng)力相同；(2)對于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布；(3)橫截面上無正應(yīng)力。第三章扭轉(zhuǎn)Memmxr0tdA19Ⅱ.

薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計算公式：由根據(jù)應(yīng)力分布可知引進(jìn)，上式亦可寫作，于是有第三章扭轉(zhuǎn)Memmxr0tdA20Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圓筒表面上每個格子的直角均改變了g，這種直角改變量稱為切應(yīng)變(shearingstrain)。(2)該圓筒兩個端面之間繞圓筒軸線相對轉(zhuǎn)動了j角，這種角位移稱為相對扭轉(zhuǎn)角。(3)在認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布的情況下，切應(yīng)變也是不沿壁厚變化的，故有，此處r0為薄壁圓筒的平均半徑。第三章扭轉(zhuǎn)MeADBCMejgl21薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實驗表明：當(dāng)橫截面上切應(yīng)力t不超過材料的剪切比例極限tp時，外力偶矩Me(數(shù)值上等于扭矩T)與相對扭轉(zhuǎn)角j成線性正比例關(guān)系，從而可知t與g亦成線性正比關(guān)系：這就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系數(shù)G稱為材料的切變模量(shearmodulus)。

鋼材的切變模量的約值為：G=80GPa第三章扭轉(zhuǎn)MeADBCMejg22以橫截面、徑向截面以及與表面平行的面(切向截面)從受扭的薄壁圓筒或等直圓桿內(nèi)任一點處截取一微小的正六面體——單元體?？傻茫孩?單元體·切應(yīng)力互等定理由單元體的平衡條件∑Fx=0和∑Mz=0知單元體的上、下兩個平面(即桿的徑向截面上)必有大小相等、指向相反的一對力t'dxdz并組成其矩為(t'dxdz)dy

力偶。第三章扭轉(zhuǎn)由23即單元體的兩個相互垂直的面上，與該兩個面的交線垂直的切應(yīng)力t和t

數(shù)值相等，且均指向(或背離)該兩個面的交線——切應(yīng)力互等定理。第三章扭轉(zhuǎn)24§3-4

等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件Ⅰ.橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計算公式(問題的靜力學(xué)方面)第三章扭轉(zhuǎn)251.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個角度g

。平面假設(shè)——等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。(1)幾何方面第三章扭轉(zhuǎn)262.

橫截面上一點處的切應(yīng)變隨點的位置的變化規(guī)律：即第三章扭轉(zhuǎn)bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr27式中——相對扭轉(zhuǎn)角j沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量?？梢?，在橫截面的同一半徑r的圓周上各點處的切應(yīng)變gr

均相同；gr

與r成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。第三章扭轉(zhuǎn)bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr28(2)物理方面由剪切胡克定律t=Gg

知第三章扭轉(zhuǎn)可見，在橫截面的同一半徑r的圓周上各點處的切應(yīng)力tr

均相同，其值

與r成正比，其方向垂直于半徑。29(3)靜力學(xué)方面其中稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質(zhì)。從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處切應(yīng)力計算公式以代入上式得：第三章扭轉(zhuǎn)30式中Wp稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，其單位為m3。橫截面周邊上各點處(r=r)的最大切應(yīng)力為第三章扭轉(zhuǎn)31實心圓截面：圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp第三章扭轉(zhuǎn)32空心圓截面：第三章扭轉(zhuǎn)33Ⅳ.

強(qiáng)度條件此處[t]為材料的許用切應(yīng)力。對于等直圓軸亦即鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系，故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。第三章扭轉(zhuǎn)34

例題

圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m，材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。第三章扭轉(zhuǎn)35BC段內(nèi)AB段內(nèi)解：1.繪扭矩圖

2.求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力第三章扭轉(zhuǎn)363.校核強(qiáng)度需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計算中對此并未考核。

t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故該軸滿足強(qiáng)度條件。第三章扭轉(zhuǎn)37§3-4

等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件Ⅰ.扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角(相對角位移)j來度量。第三章扭轉(zhuǎn)MeADBCMejg38當(dāng)?shù)戎眻A桿相距l(xiāng)的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時有由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率(亦稱單位長度扭轉(zhuǎn)角)為可知，桿的相距l(xiāng)的兩橫截面之間的相對扭轉(zhuǎn)角j為第三章扭轉(zhuǎn)39Ⅱ.剛度條件式中的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[j']的常用單位是(°)/m。此時，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件表示為：對于精密機(jī)器的軸[j']≈0.15~0.30(°)/m；對于一般的傳動軸[j']≈2

(°)/m。第三章扭轉(zhuǎn)40解:1.按強(qiáng)度條件求所需外直徑D

例題由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Tmax

=9.