天津南開(kāi)光明中學(xué) 2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

天津南開(kāi)光明中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是A．cm3

B．cm3

C．cm3

D．cm3參考答案：D2.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線

對(duì)稱,它的周期是,則

（

）

A．的圖象過(guò)點(diǎn)

B.在上是減函數(shù)C.的一個(gè)對(duì)稱中心是ks5uD.將的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.

參考答案：C略3.下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是

(A)(B)(C)a2>b2(D)a3>b3參考答案：A本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，難度很低。即尋找命題P使P推不出P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A.4.設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．5.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上且，則△的面積為

（A）4

（B）8

（C）16

（D）32參考答案：D雙曲線的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，即。所以拋物線方程為，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，即,設(shè),過(guò)A做垂直于準(zhǔn)線于M,由拋物線的定義可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,選D.6.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（

）A．

B．

C．D．

參考答案：A略7.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則下列命題中的真命題是（）①將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③當(dāng)x∈[，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為；④當(dāng)x∈[，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③參考答案：C【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據(jù)已知函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（，0）代入解析式，可求出φ值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．利用三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答】解：由函數(shù)圖象可得：A=，周期T=﹣（﹣），可得：T=，可得：ω=2，由點(diǎn)（，）在函數(shù)的圖象上，可得：sin（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，由于|φ|＜，當(dāng)k=0時(shí)，可得φ=﹣，從而得解析式可為：f（x）=sin（2x﹣），對(duì)于①，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），將（0，0）代入不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin2x，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知正確；當(dāng)x∈[，π]時(shí)，可得：2x﹣∈[，]，故函數(shù)f（x）的最大值為f（x）max=sin=，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：C．8.如圖：M（xM，yM），N（xN，yN）分別是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象與兩條直線l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的兩個(gè)交點(diǎn)，記S=|xN﹣xM|，則S（m）圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】從已知條件及所給函數(shù)的圖象出發(fā)，圖象從M點(diǎn)到N點(diǎn)的變化正好是半個(gè)周期，故xN﹣xM=，則在一個(gè)周期內(nèi)S=|xN﹣xM|=常數(shù)，只有C符合．【解答】解：由已知條件及所給函數(shù)的圖象知，圖象從M點(diǎn)到N點(diǎn)的變化正好是半個(gè)周期，故xN﹣xM=，則在一個(gè)周期內(nèi)S=|xN﹣xM|=常數(shù)，只有C符合，故選：C．9.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的最小正周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣，0），f（x）=log2（1﹣x），則f+f+f+f=(

)A．0 B．1 C．﹣1 D．2參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先利用函數(shù)的周期性及奇偶性，把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間x∈（﹣，0），即可求出函數(shù)的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的最小正周期為3，∴f+f+f+f=f（670×3+1）+f（671×3﹣1）+f（671×3）+f（671×3+1）=2f（1）+f（﹣1）+f（0），又已知函數(shù)f（x）是定義在R上奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），又∵當(dāng)x∈（﹣，0），f（x）=log2（1﹣x），∴f（﹣1）=log2[1﹣（﹣1）]=log22=1，∴f（1）=﹣1，∴f+f+f+f=2×（﹣1）+1+0=﹣1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性及周期性，準(zhǔn)確理解函數(shù)的奇偶性及周期性的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10.已知等差數(shù)列數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n，則a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)an+1+an=4n，寫(xiě)出a2+a1，a3+a2的值，兩式作差可求出公差，從而可求出首項(xiàng)．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an+1+an=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，兩式相減得a3﹣a1=8﹣4=4，∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列∴2d=4，即d=2，則a2+a1=4即2a1+d=4解得a1=1．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)有且只有2個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.參考答案：試題分析：當(dāng)時(shí)，；故1是函數(shù)的零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，而故沒(méi)有零點(diǎn)；若則，故沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，

12.下圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0,1）到實(shí)數(shù)集R的映射過(guò)程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖3．圖3中直線與x軸交于點(diǎn)，則m的象就是n，記作．

下列說(shuō)法:①；②是奇函數(shù);

③在定義域上單調(diào)函數(shù);④的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱．

其中正確命題的序號(hào)是

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）參考答案：13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離為

.參考答案：略14.設(shè)函數(shù)，則將y=f（x）的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．參考答案：π考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)題意，這旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，求出半球的體積與圓錐的體積即可得到結(jié)果．解答：解：由題意可知函數(shù)，則將y=f（x）的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是由一個(gè)半球與一個(gè)圓錐組成，球的半徑為：1，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以所求幾何體的體積為：=π．故答案為：π點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的求法，判斷幾何體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意準(zhǔn)確利用公式進(jìn)行計(jì)算．15.由不等式組所確定的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_____________參考答案：16.某高級(jí)中學(xué)共有900名學(xué)生，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取1個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為．參考答案：300【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為45的樣本，根據(jù)高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，得到高二年級(jí)要抽取的人數(shù)，根據(jù)該高級(jí)中學(xué)共有900名學(xué)生，算出高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)．【解答】解：∵用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高一年級(jí)抽20人，高三年級(jí)抽10人，∴高二年級(jí)要抽取45﹣20﹣10=15，∵高級(jí)中學(xué)共有900名學(xué)生，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是=∴該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為=300，故答案為：300．17.已知等差數(shù)列

的前n的和為，且,則取得最大值時(shí)的n=

.參考答案：20由得。由，得，所以解得。所以，由得，，所以當(dāng)，，所以前20項(xiàng)之和最大，此時(shí)。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）【選修4－1：幾何選講】如圖7，已知圓外有一點(diǎn)，作圓的切線，為切點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)，作割線，交圓于、兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)，連交圓于點(diǎn)，若．（1）求證：△∽△；（2）求證：四邊形是平行四邊形．參考答案：證明：（Ⅰ）∵是圓的切線，是圓的割線，是的中點(diǎn)，∴

∴又∵

∴∽，∴

即∵∴∴∴∽．

…………………（5分）（Ⅱ）∵，∴，即，∴，∵∽，∴，∵是圓的切線，∴，∴，即∴∴四邊形是平行四邊形．

…………（10分）19.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2，，，成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和參考答案：（1）；（2）分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意列出方程組，求出公差和首項(xiàng)的值，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，利用裂項(xiàng)相消求出和．詳解：（1）設(shè)的公差為,則由成等比數(shù)列，得，化得∵，∴解得，∴，（2）由（1）的∴令的前n項(xiàng)和為∴點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.20.(本題滿分12分）

已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn＝.

（I）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)，求。參考答案：（Ⅰ）a1＝S1＝(81－1)＝2．

…1分當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(8n－1)－(8n－1－1)＝23n－2．當(dāng)n＝1時(shí)上式也成立，所以an＝23n－2（n∈N*）．

…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝log223n－2＝3n－2，

…7分所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝．

…12分

21.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，直線為圓的切線，切點(diǎn)為，直徑，連接交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求證：． 參考答案：證明：(1)∵直線PA為圓O的切線,切點(diǎn)為A∴∠PAB=∠ACB…………2分∵BC為圓O的直徑，∴∠BAC=90°∴∠ACB=90°-B∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………4分又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B∴PA=PD…………………5分(2)連接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO∵∠OAC=∠ACO∴ΔPAD∽ΔOCA………8分∴=

∴PA×AC=AD×OC………10分略22.即將開(kāi)工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通。根據(jù)測(cè)算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來(lái)