MBA統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)間序列

統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第十五章時(shí)間序列分析

橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)人們對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)往往可以根據(jù)其特點(diǎn)從兩個(gè)方面來(lái)切入，以簡(jiǎn)化分析過(guò)程。一個(gè)是研究所謂橫截面(crosssection)數(shù)據(jù)，也就是對(duì)大體上同時(shí)，或者和時(shí)間無(wú)關(guān)的不同對(duì)象的觀測(cè)值組成的數(shù)據(jù)。橫截面數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)另一個(gè)稱為時(shí)間序列(timeseries)，也就是由對(duì)象在不同時(shí)間的觀測(cè)值形成的數(shù)據(jù)。前面討論的模型多是和橫截面數(shù)據(jù)有關(guān)。這里將討論時(shí)間序列的分析。我們將不討論更加復(fù)雜的包含這兩方面的數(shù)據(jù)。

時(shí)間序列和回歸時(shí)間序列分析也是一種回歸?；貧w分析的目的是建立因變量和自變量之間關(guān)系的模型；并且可以用自變量來(lái)對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。通常線性回歸分析因變量的觀測(cè)值假定是互相獨(dú)立并且有同樣分布。時(shí)間序列和回歸而時(shí)間序列的最大特點(diǎn)是觀測(cè)值并不獨(dú)立。時(shí)間序列的一個(gè)目的是用變量過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)同一變量的未來(lái)值。即時(shí)間序列的因變量為變量未來(lái)的可能值，而用來(lái)預(yù)測(cè)的自變量中就包含該變量的一系列歷史觀測(cè)值。當(dāng)然時(shí)間序列的自變量也可能包含隨著時(shí)間度量的獨(dú)立變量。例tssales.txt下面看一個(gè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)(tssales.txt)。我們希望能夠從這個(gè)數(shù)據(jù)找出一些規(guī)律，并且建立可以對(duì)未來(lái)的銷售額進(jìn)行預(yù)測(cè)的時(shí)間序列模型。從該表格中的眾多的數(shù)據(jù)只能夠看出個(gè)大概；即總的趨勢(shì)是增長(zhǎng)，但有起伏。例tssales.txt利用點(diǎn)圖則可以得到對(duì)該數(shù)據(jù)更加直觀的印象：某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)圖（單位：百萬(wàn)元）

例tssales.txt從這個(gè)點(diǎn)圖可以看出?？偟内厔?shì)是增長(zhǎng)的，但增長(zhǎng)并不是單調(diào)上升的；有漲有落。但這種升降不是雜亂無(wú)章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。當(dāng)然，除了增長(zhǎng)的趨勢(shì)和季節(jié)影響之外，還有些無(wú)規(guī)律的隨機(jī)因素的作用。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列列數(shù)據(jù)的的產(chǎn)生SPSS并不會(huì)自自動(dòng)把某某些變量量看成帶帶有某些些周期的的時(shí)間序序列；需需要對(duì)該該變量的的觀測(cè)值值附加上上時(shí)間因因素。例數(shù)據(jù)tasales.sav原本只有有一個(gè)變變量sales。這樣就就需要附附加帶有有周期信信息的時(shí)時(shí)間。方法是通通過(guò)選項(xiàng)項(xiàng)Data－DefineDates，然后在CasesAre選擇years,months(年月),并指定第第一個(gè)觀觀測(cè)值（（FirstCaseIs）是1990年1月。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列列數(shù)據(jù)的的點(diǎn)圖對(duì)時(shí)間序序列點(diǎn)圖圖可以選選擇Graphs－Sequence，對(duì)對(duì)本例選選擇sales為變量量，months為時(shí)時(shí)間軸的的標(biāo)記即即可。15.1時(shí)時(shí)間序列的組組成部分從該例可以看看出，該時(shí)間間序列可以有有三部分組成成：趨勢(shì)(trend)、季節(jié)(seasonal)成分和無(wú)法用用趨勢(shì)和季節(jié)節(jié)模式解釋的的隨機(jī)干擾(disturbance）。例中數(shù)據(jù)的銷銷售就就可以以用這三個(gè)成成分疊加而成成的模型來(lái)描描述。一般的時(shí)間序序列還可能有有循環(huán)或波動(dòng)動(dòng)(Cyclic,orfluctuations)成分；循環(huán)模模式和有規(guī)律律的季節(jié)模式式不同，周期期長(zhǎng)短不一定定固定。比如如經(jīng)濟(jì)危機(jī)周周期，金融危危機(jī)周期等等等。時(shí)間序列的組組成部分一個(gè)時(shí)間序列列可能有趨勢(shì)勢(shì)、季節(jié)、循循環(huán)這三個(gè)成成分中的某些些或全部再加加上隨機(jī)成分分。因此，如果要想對(duì)一一個(gè)時(shí)間序列列本身進(jìn)行較較深入的研究究，把序列的的這些成分分分解出來(lái)、或或者把它們過(guò)過(guò)慮掉則會(huì)有有很大的幫助助。時(shí)間序列的組組成部分如果要進(jìn)行預(yù)預(yù)測(cè)，則最好好把模型中的的與趨勢(shì)、季季節(jié)、循環(huán)等等成分有關(guān)的的參數(shù)估計(jì)出出來(lái)。就例中的時(shí)間序列的的分解，通過(guò)過(guò)計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)軟件，可以很很輕而易舉地地得到該序列列的趨勢(shì)、季季節(jié)和誤差成成分。時(shí)間序列的組組成部分下圖表示了去去掉季節(jié)成分分，只有趨勢(shì)勢(shì)和誤差成分分的序列。時(shí)間序列的組組成部分下圖用兩條曲曲線分別描繪繪了趨勢(shì)成分分和季節(jié)成分分。時(shí)間序列的組組成部分下圖用兩條曲曲線分別描繪繪了趨勢(shì)成分分和誤差成分分。SPSS的實(shí)現(xiàn):時(shí)間序列的分分解前面對(duì)例tssales.sav數(shù)據(jù)進(jìn)行分解解利用SPSS的選項(xiàng)Analyze-TimeSeries-SeasonalDecomposition，然后在Variable(s)(變量)處選擇sales，在Model選擇Additive(可加模型，也也可以試可乘乘模型Multiplicative)，最后得到四個(gè)個(gè)附加變量，，它們是：誤差（err_1）、季節(jié)調(diào)整后的的序列（sas_1）、季節(jié)因素（saf_1）去掉季節(jié)后的的趨勢(shì)循環(huán)因因素（stc_1）。前面圖都是利利用Graphs－Sequence選項(xiàng)所做。注意附加變量量的名字根據(jù)據(jù)前面已經(jīng)得得到過(guò)的附加加變量數(shù)目而而調(diào)整(按照照性質(zhì)及順序序)15.2指指數(shù)平滑如果不僅滿足足于分解現(xiàn)有有的時(shí)間序列列，而想要對(duì)對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)預(yù)測(cè)，就需要要建立模型。。這里先介紹紹比較簡(jiǎn)單的的指數(shù)平滑(exponentialsmoothing)。指數(shù)平滑只能用于純粹粹時(shí)間序列的情況，而不不能用于含有有獨(dú)立變量時(shí)時(shí)間序列的因因果關(guān)系的研研究。15.2指指數(shù)平滑指數(shù)平滑的原原理為：當(dāng)利利用過(guò)去觀測(cè)測(cè)值的加權(quán)平平均來(lái)預(yù)測(cè)未未來(lái)的觀測(cè)值值時(shí)（這個(gè)過(guò)過(guò)程稱為平滑滑），離得越越近的觀測(cè)值值要給以更多多的權(quán)。而“指數(shù)”意味著：依依已有觀測(cè)值值“老”的程程度，其權(quán)數(shù)數(shù)按指數(shù)速度度遞減。以簡(jiǎn)單的沒(méi)有有趨勢(shì)和沒(méi)有有季節(jié)成分的的純粹時(shí)間序序列為例，指指數(shù)平滑在數(shù)數(shù)學(xué)上是一個(gè)個(gè)幾何級(jí)數(shù)。。指數(shù)平滑這時(shí)，如果用用Yt表示在t時(shí)間的平滑后后的數(shù)據(jù)（或或預(yù)測(cè)值），，而用X1,X2,…,Xt表示原始的時(shí)時(shí)間序列。那那么指數(shù)平滑滑模型為或者，等價(jià)地地，這里的系數(shù)為為幾何級(jí)數(shù)。。因此稱之為為“幾何平滑滑”比使人不不解的“指數(shù)平滑””似乎更有道理理。指數(shù)平滑自然，這種在在簡(jiǎn)單情況下下導(dǎo)出的公式式（如上面的的公式）無(wú)法法應(yīng)對(duì)具有各各種成分的復(fù)復(fù)雜情況。后面將給出各各種實(shí)用的指指數(shù)平滑模型型的公式。根據(jù)數(shù)據(jù)，可可以得到這些些模型參數(shù)的的估計(jì)以及對(duì)對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)測(cè)。指數(shù)平滑在和我們例子子有關(guān)的指數(shù)數(shù)平滑模型中中，需要估計(jì)計(jì)12個(gè)季節(jié)節(jié)指標(biāo)和三個(gè)個(gè)參數(shù)（包含含前面公式權(quán)權(quán)重中的a，和趨勢(shì)有關(guān)關(guān)的g，以及和季節(jié)節(jié)指標(biāo)有關(guān)的的d）。在簡(jiǎn)單的選項(xiàng)項(xiàng)之后，SPSS通過(guò)指指數(shù)平滑產(chǎn)生生了對(duì)2003年一年的的預(yù)測(cè)。下圖圖為原始的時(shí)時(shí)間序列和預(yù)預(yù)測(cè)的時(shí)間序序列（光滑后后的），其中中包括對(duì)2003年12個(gè)月的預(yù)測(cè)測(cè)。圖下面為為誤差。我們例中時(shí)間間序列數(shù)據(jù)的的指數(shù)平滑和和對(duì)未來(lái)的預(yù)預(yù)測(cè)SPSS的實(shí)現(xiàn):指數(shù)平滑:tssales.sav數(shù)據(jù)用選項(xiàng)Analyze－－TimeSeries－ExponentialSmoothing，然然后在Variable(s)(變變量)處選擇擇sales，在Model選擇custom(自選模模型)，再點(diǎn)點(diǎn)Custom之后再在在TrendComponent選Exponential(這主主要是因?yàn)榭纯吹叫蛄性际键c(diǎn)圖趨勢(shì)不不象直線,其其實(shí)選Linear也差差不多;此外外還有Damped(減減幅)選項(xiàng))在SeasonalComponent選Additive(這是是可加模型，，也可以試選選可乘模型：：Multiplicative，，細(xì)節(jié)可參看看公式)Continue之后，，再點(diǎn)擊Parameters來(lái)估估計(jì)參數(shù)，在在三個(gè)有關(guān)參參數(shù)選項(xiàng)上：：General(Alpha)、、Trend(Gamma)和Seasonal(Delta)可均均選GridSearch（搜尋尋，這是因?yàn)闉椴恢绤?shù)數(shù)是多少合適適，參數(shù)意義義參見(jiàn)后面公公式），然后后Continue。最最后如果要預(yù)預(yù)測(cè)新觀測(cè)值值，在主對(duì)話話框點(diǎn)擊Save，在PredictCases中選擇擇Predictthrough下面的截止止年月（這里里選了2003年12月月）。這樣就就可以得到各各種結(jié)果了。。SPSS的實(shí)現(xiàn):指數(shù)平滑結(jié)果中增加的的變量有誤差差（err_1）和擬合合（預(yù)測(cè)）值值fit_1。這在前面面圖中繪出。。在SPSS輸出文件中中還有那些估估計(jì)的參數(shù)值值（三個(gè)參數(shù)數(shù)加上季節(jié)因因子）。15.3Box-Jenkins方法:ARIMA模型如果要對(duì)比較較復(fù)雜的純粹粹時(shí)間序列進(jìn)進(jìn)行細(xì)致的分分析，指數(shù)平平滑往往是無(wú)無(wú)法滿足要求求的。而若想對(duì)有獨(dú)獨(dú)立變量的時(shí)時(shí)間序列進(jìn)行行預(yù)測(cè)，指數(shù)數(shù)平滑更是無(wú)無(wú)能為力。需要更加強(qiáng)有有力的模型。。這就是下面面要介紹的Box-JenkinsARIMA模型。數(shù)學(xué)上，指數(shù)數(shù)平滑僅僅是是ARIMA模型的特例例。ARIMA模型：AR模型比指數(shù)平滑要要有用和精細(xì)細(xì)得多的模型型是Box-Jenkins引入的ARIMA模型?；蚍Q為為整合自回歸歸移動(dòng)平均模模型(ARIMA為AutoregressiveIntegratedMovingAverage一些關(guān)鍵字母母的縮寫(xiě))。該模型的基礎(chǔ)礎(chǔ)是自回歸和和移動(dòng)平均模模型或ARMA(AutoregressiveandMovingAverage)模型。ARIMA模型：AR模型ARMA由兩個(gè)特殊模模型發(fā)展而成成，一個(gè)是自自回歸模型或或AR(Autoregressive)模型。假定時(shí)時(shí)間序列用X1,X2,…,Xt表示，則一個(gè)個(gè)純粹的AR(p)模型意味著變變量的一個(gè)觀觀測(cè)值由其以以前的p個(gè)觀測(cè)值的線線性組合加上上隨機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)at（該誤差為獨(dú)獨(dú)立無(wú)關(guān)的））而得：這看上去象自自己對(duì)自己回回歸一樣，所所以稱為自回回歸模型；它它牽涉到過(guò)去去p個(gè)觀測(cè)值（相相關(guān)的觀測(cè)值值間隔最多為為p個(gè).ARIMA模型：MA模型ARMA模型型的另一個(gè)特特例為移動(dòng)平平均模型或MA(MovingAverage)模模型，一個(gè)純純粹的MA(q)模型意味著著變量的一個(gè)個(gè)觀測(cè)值由目目前的和先前前的q個(gè)隨機(jī)誤差的的線性的組合合：由于右邊系數(shù)數(shù)的和不為1（q甚至不一定是是正數(shù)），因因此叫做“移移動(dòng)平均”不不如叫做“移移動(dòng)線性組合合”更確切；；雖然行家已已經(jīng)習(xí)慣于叫叫“平均”了了，但初學(xué)者者還是因此可可能和初等平平滑方法中的的什么“三點(diǎn)點(diǎn)平均”之類類的術(shù)語(yǔ)混淆淆。ARIMA模型：ARMA模模型顯然,ARMA(p,q)模型應(yīng)該為為AR(p)模型和MA(q)模型的組合合了：ARMA(p,0)模型就是AR(p)模型，而ARMA(0,q)模型就是MA(q)模型。這個(gè)一一般模型有p+q個(gè)參數(shù)要估計(jì)計(jì)，看起來(lái)很很繁瑣，但利利用計(jì)算機(jī)軟軟件則是常規(guī)規(guī)運(yùn)算；并不不復(fù)雜。ARIMA模型：平穩(wěn)性性和可逆性但是要想ARMA(p,q)模型有意義則則要求時(shí)間序序列滿足平穩(wěn)穩(wěn)性(stationarity)和可逆性(invertibility)的條件，這意味著序列列均值不隨著著時(shí)間增加或或減少，序列列的方差不隨隨時(shí)間變化，，另外序列本本身相關(guān)的模模式不改變等等。一個(gè)實(shí)際的時(shí)時(shí)間序列是否否滿足這些條條件是無(wú)法在在數(shù)學(xué)上驗(yàn)證證的，但模型型可以近似地地從后面要介介紹的時(shí)間序序列的自相關(guān)關(guān)函數(shù)和偏相相關(guān)函數(shù)圖來(lái)來(lái)識(shí)別。ARIMA模型：差分一般人們所關(guān)關(guān)注的的有趨趨勢(shì)和季節(jié)/循環(huán)成分的的時(shí)間序列都都不是平穩(wěn)的的。這時(shí)就需需要對(duì)時(shí)間序序列進(jìn)行差分分(difference)來(lái)消除除這些使序列列不平穩(wěn)的成成分，而使其其變成平穩(wěn)的的時(shí)間序列，，并估計(jì)ARMA模型，，估計(jì)之后再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?cè)撃Ｐ停?，使之適應(yīng)于于差分之前的的序列（這個(gè)個(gè)過(guò)程和差分分相反，所以以稱為整合的的(integrated)ARMA模型），，得到的模型型于是稱為ARIMA模模型。ARIMA模型：差分差分是什么意意思呢？差分分可以是每一一個(gè)觀測(cè)值減減去其前面的的一個(gè)觀測(cè)值值，即Xt-Xt-1。這樣，如果時(shí)間序列列有一個(gè)斜率率不變的趨勢(shì)勢(shì)，經(jīng)過(guò)這樣樣的差分之后后，該趨勢(shì)就就會(huì)被消除了了。ARIMA模型：差分當(dāng)然差分也可可以是每一個(gè)個(gè)觀測(cè)值減去去其前面任意意間隔的一個(gè)個(gè)觀測(cè)值；比比如存在周期期固定為s的季節(jié)成分，，那么相隔s的差分為Xt-Xt-s就可以把這種種以s為周期的季節(jié)節(jié)成分消除。。對(duì)于復(fù)雜情況況，可能要進(jìn)進(jìn)行多次差分分，才能夠使使得變換后的的時(shí)間序列平平穩(wěn)。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)上面引進(jìn)了一一些必要的術(shù)術(shù)語(yǔ)和概念。。下面就如何何識(shí)別模型進(jìn)進(jìn)行說(shuō)明。要想擬合ARIMA模型，必須先先把它利用差差分變成ARMA(p,q)模型，并確定定是否平穩(wěn)，，然后確定參參數(shù)p,q。后面將利用一一個(gè)例子來(lái)說(shuō)說(shuō)明如何識(shí)別別一個(gè)AR(p)模型和參數(shù)p。由此MA(q)及ARMA(p,q)模型模型可用用類似的方法法來(lái)識(shí)別。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)根據(jù)ARMA(p,q)模型的定義義,它的參數(shù)數(shù)p,q和自相關(guān)函數(shù)數(shù)(acf，，autocorrelationsfunction)及偏自相相關(guān)函數(shù)(pacf，partialautocorrelationsfunction)有關(guān)關(guān)。自相關(guān)函數(shù)描描述觀測(cè)值和和前面的觀測(cè)測(cè)值的相關(guān)系系數(shù)；而偏自相關(guān)函函數(shù)為在給定定中間觀測(cè)值值的條件下觀觀測(cè)值和前面面某間隔的觀觀測(cè)值的相關(guān)關(guān)系數(shù)。ARMA模型的識(shí)別和和估計(jì)這里當(dāng)然不打打算討論acf和pacf這兩兩個(gè)概念的細(xì)細(xì)節(jié)。引進(jìn)這兩個(gè)個(gè)概念主要要是為了能能夠了解如何通通過(guò)研究關(guān)關(guān)于這兩個(gè)個(gè)函數(shù)的acf和pacf圖來(lái)識(shí)別模模型。例：數(shù)據(jù)AR1.txt為了直觀地地理解上面面的概念，，下面利用用一個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)例子來(lái)描描述。例：數(shù)據(jù)AR1.txt；拖拖尾和截尾尾先來(lái)看該時(shí)時(shí)間序列的的acf(左左)和pacf圖(右)左邊的acf條形圖圖是衰減的的正弦型的的波動(dòng)；這這種圖形稱稱為拖尾。而右邊的的pacf條形圖是是在第一個(gè)個(gè)條(p=1)之后后就很小，，而且沒(méi)有有什么模式式；這種圖圖形稱為在在在p=1后截尾。這說(shuō)明該該數(shù)據(jù)滿足足是平穩(wěn)的的AR(1)模型。。例：數(shù)據(jù)AR1.txt；拖尾和截尾尾注意，所謂謂拖尾圖形形模式也可可能不是正正弦形式，，但以指數(shù)數(shù)率衰減。。類似地，，如果acf圖形是是在第q=k個(gè)條后截尾尾，而pacf圖形形為拖尾，，則數(shù)據(jù)滿滿足MA(q)模型。如如果兩個(gè)圖圖形都拖尾尾則可能滿滿足ARMA(p,q)模型。具具體判別法法總結(jié)在下下面表中：：acf和pacf圖圖如acf和和pacf圖中至少少一個(gè)不是是以指數(shù)形形式或正弦弦形式衰減減，那么說(shuō)說(shuō)明該序列列不是平穩(wěn)穩(wěn)序列，必必須進(jìn)行差差分變換來(lái)來(lái)得到一個(gè)個(gè)可以估計(jì)計(jì)參數(shù)的滿滿足ARMA(p,q)模型的序序列。如一個(gè)時(shí)間間序列的acf和pacf圖圖沒(méi)有任何何模式，而而且數(shù)值很很小，那么么該序列可可能就是一一些互相獨(dú)獨(dú)立的無(wú)關(guān)關(guān)的隨機(jī)變變量。一個(gè)個(gè)很好擬合合的時(shí)間序序列模型的的殘差就應(yīng)應(yīng)該有這樣樣的acf和pacf圖。例：數(shù)據(jù)AR1.txt根據(jù)acf和pacf圖圖的形態(tài)，不不用進(jìn)行任任何差分就就可以直接接用AR(1)模型擬合。。利用SPSS軟件，選擇擇AR(1)模型(等價(jià)價(jià)地ARIMA(1,0,0)(0,0,0)模型),得得到參數(shù)估估計(jì)為1=0.86;也就是是說(shuō)該AR(1)模型為例：數(shù)據(jù)AR1.txt下圖為ar1.sav數(shù)據(jù)的的原始序列列和由模型型得到的擬擬合值以及及對(duì)未來(lái)10個(gè)觀測(cè)測(cè)的預(yù)測(cè)圖圖；看來(lái)擬擬合得還不不錯(cuò)。例：數(shù)據(jù)AR1.txt下面再看剩剩下的殘差差序列是否否還有什么么模式。這這還可以由由殘差的pacf(左)和acf(右右)圖來(lái)判斷。?？梢钥闯龀觯鼈儧](méi)沒(méi)有什么模模式；這說(shuō)說(shuō)明擬合比比較成功。。例：數(shù)據(jù)AR1.txt下圖為殘差差對(duì)擬合值值的散點(diǎn)圖圖?？床怀龀鋈魏文Ｊ绞健Ｕf(shuō)明殘殘差的確是是獨(dú)立的和和隨機(jī)的。。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在對(duì)含有季季節(jié)和趨勢(shì)勢(shì)/循環(huán)等等成分的時(shí)時(shí)間序列進(jìn)進(jìn)行ARIMA模型型的擬合研研究和預(yù)測(cè)測(cè)時(shí)，就不不象對(duì)純粹粹的滿足可可解條件的的ARMA模型那么么簡(jiǎn)單了。。一般的ARIMA模模型有多個(gè)個(gè)參數(shù)，沒(méi)沒(méi)有季節(jié)成成分的可以以記為ARIMA(p,d,q)，如果沒(méi)沒(méi)有必要利利用差分來(lái)來(lái)消除趨勢(shì)勢(shì)或循環(huán)成成分時(shí)，差差分階數(shù)d=0，模型型為ARIMA(p,0,q)，即ARMA(p,q)。ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型在有已知的的固定周期期s時(shí)，模模型多了4個(gè)參數(shù)，，可記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。這里增加的的除了周期期s已知之之外，還有有描述季節(jié)節(jié)本身的ARIMA(P,D,Q)的的模型識(shí)別別問(wèn)題。因因此，實(shí)際際建模要復(fù)復(fù)雜得多。。需要經(jīng)過(guò)過(guò)反復(fù)比較較。用ARIMA模型擬合例例tssales.txt對(duì)數(shù)據(jù)tssales.txt序列列已進(jìn)行了分解解，并用指指數(shù)平滑做做了預(yù)測(cè),知有季節(jié)節(jié)和趨勢(shì)成成分。要對(duì)其進(jìn)行行ARIMA模型擬擬合，先對(duì)對(duì)該序列做做acf和和pacf條形圖。。其中acf圖顯然然不是拖尾尾（不是以以指數(shù)速率率遞減），，因此需要要進(jìn)行差分分。用ARIMA模型擬合例例tssales.txt關(guān)于于參數(shù)數(shù)，不要選選得過(guò)大；；每次擬合合之后要檢檢查殘差的的acf和pacf圖，看是否否為無(wú)關(guān)隨隨機(jī)序列。。在SPSS軟件中還有有類似于回回歸系數(shù)的的檢驗(yàn)以及及其他一些些判別標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)的計(jì)算機(jī)機(jī)輸出可做做參考（這這里不細(xì)說(shuō)說(shuō)）。經(jīng)過(guò)幾次對(duì)對(duì)比之后，，對(duì)于例16.1數(shù)據(jù)我們最最后選中了了ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12模型來(lái)擬合合。擬合的的結(jié)果和對(duì)對(duì)2003年12個(gè)月的預(yù)測(cè)測(cè)在下圖中中。例tssales.txt的原始序列列和由模型型得到的擬擬合值及對(duì)對(duì)未來(lái)12個(gè)月的預(yù)測(cè)測(cè)圖。例：數(shù)據(jù)tssales.txt為了核對(duì)，，當(dāng)然要畫(huà)畫(huà)出殘差的的acf和和pacf的條形圖圖來(lái)看是否否還有什么么非隨機(jī)的的因素存在在。下圖為為這兩個(gè)點(diǎn)點(diǎn)圖，看來(lái)來(lái)我們的模模型選擇還還是適當(dāng)?shù)牡?。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列例：數(shù)據(jù)tsadds2.txt是一個(gè)銷售售時(shí)間序列列，以每周周七天為一一個(gè)季節(jié)周周期，除了了銷售額序序列sales之外，還有有一個(gè)廣告告花費(fèi)的獨(dú)獨(dú)立變量adds。先不理睬睬這個(gè)獨(dú)立立變量，把把該序列當(dāng)當(dāng)成純粹時(shí)數(shù)據(jù)tsadds2.txt再首先點(diǎn)出出其acf和pacf條形圖圖acf圖顯然不是是拖尾模式式，因此，，必須進(jìn)行行差分以消消除季節(jié)影影響。試驗(yàn)驗(yàn)多次之后后，看上去去ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7的結(jié)果還可可以接受。。殘差的pacf和和acf條條形圖在下下一頁(yè)圖中中用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列繼續(xù)改進(jìn)我我們的模型型，再把獨(dú)獨(dú)立變量廣廣告支出加加入模型，，最后得到到的帶有獨(dú)獨(dú)立變量adds的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型。擬合合后的殘差差圖在下圖圖中。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列從各種角度度來(lái)看擬合合帶獨(dú)立變變量平方的的ARIMA(2,1,2)(0,1,1)7模型給出更更好的結(jié)果果。雖然從上面面的acf和pacf圖看不不出（一般般也不應(yīng)該該看出）獨(dú)獨(dú)立變量對(duì)對(duì)序列的自自相關(guān)性的的影響，但但是根據(jù)另另外的一些些判別準(zhǔn)則則，獨(dú)立變變量的影響響是顯著的的;加入獨(dú)獨(dú)立變量使使得模型更更加有效。。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列要注意，一一些獨(dú)立變變量的效果果也可能是是滿足某些些時(shí)間序列列模型的，，也可能會(huì)會(huì)和季節(jié)、、趨勢(shì)等效效應(yīng)混雜起起來(lái)不易分分辯。這時(shí)，模型型選擇可能能就比較困困難。也可可能不同模模型會(huì)有類類似的效果果。用ARIMA模型擬合帶帶有獨(dú)立變變量的時(shí)間間序列一個(gè)時(shí)間序序列在各種種相關(guān)的因因素影響下下的模型選選擇并不是是一件簡(jiǎn)單單明了的事事情。實(shí)際上沒(méi)有有任何統(tǒng)計(jì)計(jì)模型是絕絕對(duì)正確的的，它們的的區(qū)別在于于，在某種種意義上，，一些模型型的某些性性質(zhì)可能要要優(yōu)于另外外一些。SPSS的的實(shí)現(xiàn):ARIMA模型時(shí)間序列的的acf和和pacf圖：可以以用選項(xiàng)Graphs－TimeSeries－Autocorrelations，然后把變量量選入Variables中中(對(duì)于數(shù)數(shù)據(jù)AR1.sav，把時(shí)間間序列Z選選入)。在Display中中(默認(rèn)地地)有選項(xiàng)項(xiàng)Autocorrelations和Partialautocorrelations導(dǎo)致acf和pacf圖圖。人們還經(jīng)常常對(duì)殘差項(xiàng)項(xiàng)繪acf和pacf圖。SPSS的的實(shí)現(xiàn):ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型擬合選擇Analyze－TimeSeries－ARIMA，然然后把數(shù)據(jù)據(jù)中的時(shí)間間序列選入入Dependent(在數(shù)數(shù)據(jù)AR1.sav中,選Z,對(duì)數(shù)據(jù)據(jù)tssales.sav時(shí)時(shí)選sales,而而對(duì)數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選選sales),對(duì)對(duì)于Independent,僅在使使用數(shù)據(jù)tsadds2.sav時(shí)選選了adds。在Model的第一一列為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的前三三個(gè)參數(shù)(p,d,q),第第二列(sp,sd,sq)為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的后三三個(gè)參數(shù)(P,D,Q)。這這樣只要選選定我們所所希望嘗試試的模型參參數(shù)即可。。周期s由于在在定義序列時(shí)時(shí)已有(見(jiàn)對(duì)對(duì)話框中注明明的CurrentPeriodicity后面的數(shù)字字),不用用另外輸入了了.在輸出的的變量中有誤誤差和擬合(預(yù)測(cè))的序序列，在輸出出中還有各個(gè)個(gè)參數(shù)和一些些判別準(zhǔn)則等等。公式：指數(shù)平滑模型型這些模型中有有a，g，d，f為待估計(jì)參數(shù)數(shù)，g＝0意味著斜率為為常數(shù)（趨勢(shì)勢(shì)無(wú)變化），，而d＝0意味著沒(méi)有季季節(jié)成分，f和減幅趨勢(shì)有有關(guān)；對(duì)于時(shí)時(shí)間序列Xt，趨勢(shì)、光滑滑后的序列、、季節(jié)因子和和預(yù)測(cè)的序列列分別用Tt、St、It和表表示；另外，，p表示周期，et為殘差指數(shù)平滑模型型:線性趨勢(shì)可加加季節(jié)模型（Lineartrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:線性趨勢(shì)可乘乘季節(jié)模型（（Lineartrend,multiplicativeseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:指數(shù)趨勢(shì)可加加季節(jié)模型（（Exponentialtrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:指數(shù)趨勢(shì)可乘乘季節(jié)模型(Exponentialtrend,multiplicativeseasonalitymodel)指數(shù)平滑模型型:減幅趨勢(shì)可加加季節(jié)模型（（Dampedtrend,additiveseasonalitymodel）指數(shù)平滑模型型:減幅趨勢(shì)可乘乘季節(jié)模型（（Dampedtrend,multiplicativeseasonalitymodel）ARIMA模型平穩(wěn)時(shí)間序列列滿足的條件件：對(duì)所有t,E(Zt)=m，而且自協(xié)方方差函數(shù)gts=cov(Xt,Xs)=E(Xt-m)(Xs-m)。僅僅與差t-s有關(guān)，因此可可以記gk=gt,t+k=cov(Xt-m)(Xt-m)。

對(duì)于平平穩(wěn)序列，自自相關(guān)函數(shù)(acf)定定義為corr(Zt,Zt+k)=gk/g0。偏相關(guān)函數(shù)數(shù)(pacf)定義為corr(Zt,Zt+k|Zt+1,…,Zt+k-1)。函數(shù)acf和和pacf的的點(diǎn)圖可以用用來(lái)幫助識(shí)別別平穩(wěn)過(guò)程的的ARMA(p,q)模型。AR(p)和MA(q)模型是ARMA(p,q)模型的特例例，而ARMA(p,q)模型又是ARIMA(p,d,q)的特例（這這里只有趨勢(shì)勢(shì)，沒(méi)有季節(jié)節(jié)），而ARIMA(p,d,q)又是既有趨趨勢(shì)又有季節(jié)節(jié)成分的ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型的特例。。ARIMA模模型:為了便于描述述公式，定義義算子AR(p)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，MA(q)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，ARMA(p,q)模型或者，用等價(jià)的算子子符號(hào)，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型這里為為類似于ARMA(p,q)模型中的算子子只不過(guò)是描述述季節(jié)序列的的罷了；它們們定義為9、靜夜四四無(wú)鄰，，荒居舊舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、雨中黃葉葉樹(shù)，燈下下白頭人。。。21:19:3621:19:3621:191/4/20239:19:36PM11、以我獨(dú)沈久久，愧君相見(jiàn)見(jiàn)頻。。1月-2321:19:3621:19Jan-2304-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。21:19:3621:19:3621:19Wednesday,January4,202313、乍見(jiàn)見(jiàn)翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問(wèn)問(wèn)年。。。1月-231月-2321:19:3621:19:36January4,202314、他他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生生白白發(fā)發(fā)，，舊舊國(guó)國(guó)見(jiàn)見(jiàn)青青山山。。。。04一一月月20239:19:36下下午午21:19:361月月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。一月239:19下午午1月-2321:19January4,202316、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2023/1/421:19:3621:19:3604January202317、做前前，能能夠環(huán)環(huán)視四四周；；做時(shí)時(shí)，你你只能能或者者最好好沿著著以腳腳為起起點(diǎn)的的射線線向前前。。。9:19:36下下午9:19下下午午21:19:361月-239、沒(méi)有失失敗，只只有暫時(shí)時(shí)停止成成功！。。1月-231月-23Wednesday,January4,202310、很多事情努努力了未必有有結(jié)果，但是是不努力卻什什么改變也沒(méi)沒(méi)有。。21:19:3621: