上海民辦揚(yáng)波中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海民辦揚(yáng)波中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.南北朝數(shù)學(xué)家祖暅在推導(dǎo)球的體積公式時構(gòu)造了一個中間空心的幾何體，經(jīng)后繼學(xué)者改進(jìn)后這個中間空心的幾何體其三視圖如圖所示.現(xiàn)用一與下底面平行且與下底面距離為的平面去截該幾何體，則截面面積是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意，首先得到幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，得到截面為圓環(huán)，明確其半徑求面積．【詳解】由已知得到幾何體為一個圓柱挖去一個圓錐，底面半徑為2高為2，截面為圓環(huán)，小圓半徑為，大圓半徑為2，設(shè)小圓半徑為，則，得到，所以截面圓環(huán)的面積.故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體得到三視圖以及截面面積的求法；關(guān)鍵是明確幾何體形狀，然后得到截面的性質(zhì)以及相關(guān)的數(shù)據(jù)求面積．2.將兩個數(shù)a=2,

b=-6交換，使a=-6,b=2，下列語句正確的是(

)參考答案：B略3.（5分）已知空間兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，則下列命題中正確的是（） A． 若m∥α，n?α，則m∥n B． 若α∩β=m，m⊥n，則n⊥α C． 若m∥α，n∥α，則m∥n D． 若m∥α，m?β，α∩β=n，則m∥n參考答案：D考點(diǎn)： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題： 證明題．分析： D為線面平行的判定定理，故正確．而A、B、C可在熟悉的幾何體如正方體中舉反例即可．解答： A中m∥α，m與α無公共點(diǎn)，故l與α內(nèi)的直線平行或異面，故A錯誤；B中n與α可以是任意的位置關(guān)系，故B錯誤；C中m與n可以是任意的位置關(guān)系，故C錯誤；D為線面平行的判定定理，故正確．故選D點(diǎn)評： 本題考查空間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力和空間想象能力．4.已知，則為

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5參考答案：A5.取第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)P（）、P（），使1，，，2，依次成等差數(shù)列，1，，，2依次成等比數(shù)列，則點(diǎn)P、P與射線l：y=x(x≥0)的關(guān)系為

A、點(diǎn)P、P都在l的上方

B、點(diǎn)P、P都在l上C、點(diǎn)P、P都在l的下方

D、點(diǎn)P在l的下方，點(diǎn)P在l的上方。參考答案：C6.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且，則m的值為（

）A． B.

C.

D.參考答案：B7.設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，則a=(

)A． B．2 C． D．4參考答案：D【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】因?yàn)閍＞1，函數(shù)f（x）=logax是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值與最小值之分別為loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之分別為loga2a，logaa，∴l(xiāng)oga2a﹣logaa=，∴，a=4，故選D【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值問題．對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時單調(diào)遞減．8.設(shè)有直線m、n和平面、，下列四個命題中，正確的是

A．若m∥，n∥，則m∥nB．若，，m∥，n∥，則∥C．若，，則D．若，，，則m∥參考答案：D9.函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C．

D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由題意，x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞增，x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞增，x≥0時，函數(shù)單調(diào)遞減，故選A．10.若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為A

B

C

D參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍為_________參考答案：12.已知圓（x﹣1）2+y2=4上一動點(diǎn)Q，則點(diǎn)P（﹣2，﹣3）到點(diǎn)Q的距離的最小值為．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【分析】求出圓心與P的距離，減去半徑，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，圓心與P的距離為=3，∴點(diǎn)P（﹣2，﹣3）到點(diǎn)Q的距離的最小值為﹣2，故答案為：﹣2．13.已知函數(shù)在區(qū)間上為偶函數(shù)，則__________．參考答案：∵在上為偶函數(shù)，∴．，，∴，∴．14.如果冪函數(shù)f（x）=xn的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f（4）=

．參考答案：8【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的解析式然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=xn的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得2=2n，可得n=，冪函數(shù)的解析式為：f（x）=．f（4）==8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．15.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，32）則它的解析式是

.參考答案：略16.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍是

.參考答案：[2,27]因?yàn)椋?所以.

17.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4，﹣3），則2sinα+3cosα=．參考答案：【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+3cosα的值．【解答】解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，cosα==，∴2sinα+3cosα=2?（﹣）+3?=，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（19）（本小題滿分12分）P是平行四邊形ABCD外的一點(diǎn)，Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDQ．參考答案：證明：如圖，連結(jié)AC交BD于O∵ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC連結(jié)OQ，則OQ平面BDQ，且OQ是△APC的中位線∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外∴PC∥平面BDQ．略19.已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120°,且|b|=2|a|求向量a與c的夾角。

參考答案：

由題意可畫出右邊的圖示,在平行四邊形OABC中,因?yàn)椤螼AB=60°,|b|=2|a|,所以∠AOB=30°,即AB⊥OB,即向量a與c的夾角為90°.略20.（14分）一個三棱柱的三視圖及直觀圖如圖所示，E，F(xiàn)，G分別是A1B，B1C1，AA1的中點(diǎn)，AA1⊥底面ABC．（1）求證：B1C⊥平面A1BC1；（2）求證：EF∥平面ACC1A1；（3）在BB1上是否存在一點(diǎn)M，使得GM+MC的長最短．若存在，求出這個最短值，并指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）利用直三棱柱的性質(zhì)，只要證明B1C垂直與平面A1BC1的兩條相交直線；（2）連接A1C，AC1交于點(diǎn)O，連接OE，利用中位線的性質(zhì)得到四邊形OEFG為平行四邊形，再由線面平行的判定定理可得；（3）在BB1上存在一點(diǎn)M，使得GM+MC的長最短．通過勾股定理求得．解答： （1）證明：∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BC，…（2分）∵AC∥A1C1，∴A1C1⊥平面BC，∴A1C1⊥B1C…（3分）又B1C⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，∴B1C⊥平面A1BC1…（5分）（2）連接A1C，AC1交于點(diǎn)O，連接OE…（6分）由題意可得，O為A1C中點(diǎn)，因?yàn)镋為A1B中點(diǎn)，∴OE∥并且OE=因?yàn)镕為C1B1的中點(diǎn)中點(diǎn)，∴，∴OE∥C1F，OE=C1F∴四邊形OEFG為平行四邊形…（8分）∴FE∥OC1…（9分）∵FE?平面ACC1A1，OC1?平面ACC1A1，∴FE∥平面ACC1A1…（10分）（3）在BB1上存在一點(diǎn)M，使得GM+MC的長最短，此時沿CC1展開，時G，M，C在一條直線上．最短值為GC=此時BM=…（14分）點(diǎn)評： 本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面平行的判定定理以及線段最短問題，屬于中檔題．21.(本題滿分10分)一個盒子中有2個紅球和1個白球，每次取一個。(1)若每次取出后放回，連續(xù)取兩次，記A=“取出兩球都是紅球”，B=“第一次取出紅球，第二次取出白球”，求概率P(A)，P(B)；(2)若每次取出后不放回，連續(xù)取2次，記C=“取出的兩球都是紅球”，D=“取出的兩個球中恰有1個是紅球”，求概率P(C)，P(D)。參考答案：解：(1)取出后放回，連續(xù)取兩次，兩個紅球分別記為紅1和紅2，列樹狀圖如下：紅1

紅2

白

即共有9種，其中“取出兩球都是紅球”有4種，“第一次取出紅球，第二次取出白球”有2種，所以P（A）=．

………………3分P（B）=．

………………5分22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)．(1)證明：PA∥平面BDE；(2)證明：平面PAC