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2001年普通高等數(shù)學(xué)招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔全國(guó)Ⅱ〕理科數(shù)學(xué)參考公式:三角函數(shù)的積化和差公式:正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng),表示斜高或母線長(zhǎng).球的體積公式:,其中表示球的半徑.第一卷〔選擇題共60分〕一、選擇題:本大題共12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的.1.假設(shè),那么在A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限2.過(guò)點(diǎn),且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.B.C.D.3.設(shè)是遞增等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,那么它的首項(xiàng)是A.1B.2C.4D.64.假設(shè)定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足,那么的取值范圍是A.B.C.D.Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1Ox1A.B.C.D.6.函數(shù)的反函數(shù)是A.B.C.D.7.假設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且焦點(diǎn)為,,那么其離心率為A.B.C.D.8.假設(shè),,,那么A.B.C.D.9.在正三棱柱中,假設(shè),那么與所成的角的大小為A.60°B.90°C.105°D.75°10.設(shè),都是單調(diào)函數(shù),有如下四個(gè)命題:①假設(shè)單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,那么單調(diào)遞增;②假設(shè)單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,那么單調(diào)遞增;③假設(shè)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,那么單調(diào)遞減;④假設(shè)單調(diào)遞減,單調(diào)遞減,那么單調(diào)遞減.其中,正確的命題是A.①③B.①④C.②③D.②④11.一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法:①單向傾斜;②雙向傾斜;③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為,,.假設(shè)屋頂斜面與水平面所成的角都是,那么A.B.C.D.①②③①②③34768612126347686121265A.26B.24C.20D.19第二卷〔非選擇題共90分〕考前須知:用鋼筆或圓珠筆直接答在答題卡上.二、填空題:本大題共4小題,每題4分,共20分,把答案填在題中橫線上.13.假設(shè)一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是.14.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,點(diǎn)在雙曲線上.假設(shè),那么點(diǎn)到的距離為.15.設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和.假設(shè)是等差數(shù)列,那么=.16.圓周上有個(gè)等分點(diǎn),以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為.三、解答題:本大題共6小題,共74分,解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.SADCB17.〔本小題總分值10分〕如圖,在底面是直角梯形的四棱錐中,,面,,.SADCB〔1〕求四棱錐的體積;〔2〕求面與面所成的二面角的正切值.18.〔本小題總分值12分〕復(fù)數(shù).〔1〕求及;〔2〕當(dāng)復(fù)數(shù)滿足,求的最大值.19.〔本小題總分值12分〕設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,經(jīng)過(guò)的直線交拋物線于,兩點(diǎn),點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,且∥軸.證明:直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).20.〔本小題總分值12分〕,,是正整數(shù),且.〔1〕證明:;〔2〕證明:.21.〔本小題總分值12分〕從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此開(kāi)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬(wàn)元,以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元,由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.〔1〕設(shè)年內(nèi)〔本年度為第一年〕總投入為萬(wàn)元,旅游業(yè)總收入為萬(wàn)元.寫(xiě)出,的表達(dá)式;〔2〕至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入?22.〔本小題總分值12分〕設(shè)是定義在上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)任意,都有.〔1〕求及;〔2〕證明是周期函數(shù);〔3〕記,求.?dāng)?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題,此題考查根底知識(shí),根本概念和根本運(yùn)算能力題號(hào)123456789101112答案二、填空題.此題考查根底知識(shí),根本概念和根本運(yùn)算技巧13.14.15.16.三、解答題17.?dāng)?shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一.選擇題:此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算.每題5分,總分值60分.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)C(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C(11)D(12)D二.填空題:此題考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算.每題4分.總分值16分.(13)2π(14)(15)1(16)2n(n-1)三.解答題.(17)本小題考查線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算,以及空間想象能力和邏輯推理能力.總分值12分.解:(I)直角梯形ABCD的面積是M底面=(BC+AD)AB=……2分∴四棱推S-ABCD的體積是……4分(II)延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E,連結(jié)SE,那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD∥BC,BC=2AD∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB∵SA⊥面ABCD,得面ASB⊥面ESC,EB是交線,又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影,∴CS⊥SE,所以∠BSC是所求二面角的平面角.……10分即所求二面角的正切值為.……12分(18)本小題考查復(fù)數(shù)的根本性質(zhì)和根本運(yùn)算,以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.總分值12分.(19)本小題考查拋物線的概念和性質(zhì),直線的方程和性質(zhì),運(yùn)算能力和邏輯推理能力.總分值12分.證明一:因?yàn)閽佄锞€y2=2pc(p>0)的焦點(diǎn)為F(),所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+代人拋物線方程得y2-2pcmy-p2=0假設(shè)記A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1,y2是該方程的兩個(gè)根,所以y1y2=-p2因?yàn)锽C∥x軸,且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,y2),故直線CO的斜率為即k也是直線OA的斜率,所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.證明二:如圖,記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E,過(guò)A作AD⊥l,D是垂足.那么AD∥FE∥BC.……2分連結(jié)AC,與EF相交手點(diǎn)N,那么根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì),|AF|=|AD|,|BF|=|BC|……8分即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),與拋物線的頂點(diǎn)O重合,所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.……12分(20)本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的根本知識(shí)和邏輯推理能力.總分值12分.(21)本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等根底知識(shí);考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.總分值12分.解.(I)第1年投入為800萬(wàn)元.第2年投入為800×(1-)萬(wàn)元,……,第n年投入為800×(1-)n-1萬(wàn)元.所以,n年的總收入為第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)萬(wàn)元,……,第n年旅游業(yè)收人為400×(1
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