DVIP數(shù)字圖像基礎(chǔ)

會(huì)計(jì)學(xué)1DVIP數(shù)字圖像基礎(chǔ)1.1人眼的構(gòu)造

眼睛的主要結(jié)構(gòu)如圖1.1所示。外面是一層較硬的膜，其前面一部分是透明的，稱為角膜。后面大部分稱為鞏膜，起外殼作用。膜內(nèi)是一個(gè)空室，稱為前室。前室后面是虹膜，虹膜中間有一小孔，稱為瞳孔，其直徑可在2到8mm間變化，以調(diào)節(jié)進(jìn)入眼睛的光通量。瞳孔后面是一個(gè)透鏡式的水晶體，起透鏡作用，把景象的光聚焦到視網(wǎng)膜上去成像。水晶體的后面是眼睛的內(nèi)腔，稱為后室，內(nèi)有粘液，也起濾光作用，以保護(hù)眼睛。后壁則為視網(wǎng)膜，由大量的光敏細(xì)胞組成。第2頁(yè)/共114頁(yè)第1頁(yè)/共114頁(yè)人眼的構(gòu)造光敏細(xì)胞可分為兩類，一類是錐狀細(xì)胞，另一類是桿狀細(xì)胞。錐狀細(xì)胞大約有一億個(gè)以上。它們?cè)谝暰W(wǎng)膜上的分布是很不均勻的，在視網(wǎng)膜中央正對(duì)著瞳孔的一個(gè)不大的區(qū)域里，錐狀細(xì)胞最多最密，沒(méi)有桿狀細(xì)胞，這一區(qū)域叫做黃斑。向外離開黃斑越遠(yuǎn)，視網(wǎng)膜上桿狀細(xì)胞的數(shù)目越多，在接近邊緣的地方，幾乎都是桿狀細(xì)胞了。錐狀細(xì)胞除了能夠區(qū)別明暗以外，還能辨別光的顏色，即不但能感光，也能感色。但是，桿狀細(xì)胞卻只能感光，不能感色。在亮光時(shí)，錐狀細(xì)胞起作用，能看清彩色景象。第3頁(yè)/共114頁(yè)第2頁(yè)/共114頁(yè)人眼的構(gòu)造

在黃斑的中心部分，每個(gè)錐狀細(xì)胞連接著一個(gè)神經(jīng)末梢，因此分辨景象細(xì)節(jié)的能力強(qiáng)。在遠(yuǎn)離黃斑的網(wǎng)膜上，神經(jīng)末梢分布較稀疏，錐狀和桿狀細(xì)胞群接合在一條神經(jīng)上，所以這些視神經(jīng)所傳遞的是這二種細(xì)胞群受光刺激后發(fā)出的平均電脈沖，故分辨能力差，但是感光靈敏度卻高些。視神經(jīng)在視網(wǎng)膜上匯聚到一點(diǎn)，通向大腦，此點(diǎn)無(wú)光敏細(xì)胞，稱為盲點(diǎn)。視覺是主觀對(duì)客觀的反應(yīng)，是一種主觀感覺。視覺包括光感覺與色感覺，色感覺又有色調(diào)與色飽和度之分。色調(diào)即顏色的類別，色飽和度指某種顏色的濃度。第4頁(yè)/共114頁(yè)第3頁(yè)/共114頁(yè)1.2視覺心理學(xué)—視覺感知特性

從視覺生理學(xué)

(psychophysics)的角度，人眼的視覺系統(tǒng)可以被看成一個(gè)輸入-輸出系統(tǒng)，輸入是視覺刺激（visualstimuli）,輸出是感覺。顯然，視覺系統(tǒng)完全可以由這個(gè)“黑盒子”的傳輸函數(shù)來(lái)定義。光強(qiáng)的感知特性空間頻率的感知特性時(shí)間的感知特性第5頁(yè)/共114頁(yè)第4頁(yè)/共114頁(yè)光強(qiáng)的感知特性定義1：在給定某個(gè)亮度環(huán)境下，人眼剛好能夠區(qū)分的2個(gè)相鄰區(qū)域的亮度差別的最小值，稱為視覺閾（VisibilityThreshold）。視覺閾值的大小與觀察條件（例如周圍環(huán)境的亮度、鄰近區(qū)域亮度的變化等）有關(guān)。第6頁(yè)/共114頁(yè)第5頁(yè)/共114頁(yè)

考慮圖1.2(a)所示情況，其中環(huán)境亮度為，圖的中間有一個(gè)張角為、亮度為的環(huán)，環(huán)內(nèi)包圍著一個(gè)亮度為的小區(qū)域。調(diào)節(jié)的大小使其剛好能被察覺到與有所不同，則為視覺閾，或者稱為臨界對(duì)比度。它與背景亮度和環(huán)境亮度，以及背景和環(huán)境的尺寸大小有關(guān)。如圖1.2(b)所示。在的情況下，視覺閾幾乎隨線性增長(zhǎng)，即為常數(shù)，這就是韋伯定律（Weber’slaw）。

第7頁(yè)/共114頁(yè)第6頁(yè)/共114頁(yè)根據(jù)韋伯定律，(1.1)所以(1.2)

(1.2)表明人眼對(duì)光的主觀視覺增量與客觀亮度的對(duì)數(shù)增長(zhǎng)成線性關(guān)系，即

，如圖1.3中直線部分所示。

第8頁(yè)/共114頁(yè)第7頁(yè)/共114頁(yè)圖1.3是實(shí)驗(yàn)獲得的人眼對(duì)不同亮度的主觀亮度感覺級(jí)數(shù)曲線。曲線中間有折斷點(diǎn)，表示兩種細(xì)胞的感覺不一樣。亮度低時(shí)桿狀細(xì)胞起作用。亮度高時(shí)錐狀細(xì)胞起作用，在某些亮度時(shí)二者同時(shí)起作用。每一種細(xì)胞的感覺曲線的中間部分都近于直線，這表示感覺差一級(jí)時(shí)，亮度的差

并不是常數(shù)，而

是常數(shù)。也就是說(shuō)，當(dāng)亮度大時(shí)，二者的差別

也要大才能感覺到亮度的差別。但在亮度很大或很小時(shí)，則與每一感覺級(jí)相對(duì)應(yīng)的

要更大一些，示如曲線兩端的彎曲部分。

第9頁(yè)/共114頁(yè)第8頁(yè)/共114頁(yè)定義2：眼睛所能感覺到的亮度級(jí)差 (1.3)稱為對(duì)比度閾，常稱韋伯比（WeberRatio）。

韋伯比表示相對(duì)某一亮度能引起亮度感覺差別所必需的最小相對(duì)亮度變化。

在對(duì)視頻信號(hào)的亮度分量進(jìn)行PCM數(shù)/模轉(zhuǎn)換時(shí)，通常就是根據(jù)上述的視覺閾效應(yīng)來(lái)選擇合適的量化級(jí)數(shù)。

第10頁(yè)/共114頁(yè)第9頁(yè)/共114頁(yè)另一方面，圖1.3的亮度感覺曲線還表明人眼的視覺范圍是非常寬闊的，它能感覺亮度低至千分之幾cd/m2的光，也能感受亮度高至百萬(wàn)cd/m2的光，差別達(dá)這樣大的視覺范圍是由于眼睛有適應(yīng)性。這是人眼適應(yīng)性的第一種表現(xiàn)在實(shí)際條件下觀看某一景象時(shí)，眼睛已適應(yīng)于景象的某一平均亮度，也就是說(shuō)已調(diào)節(jié)到某一平均靈敏度，這時(shí)視覺范圍就小多了。這是人眼適應(yīng)性的第二種表現(xiàn)，它說(shuō)明人眼是絕不可能同時(shí)觀看圖1.3所示那么大的視覺范圍的.

第11頁(yè)/共114頁(yè)第10頁(yè)/共114頁(yè)實(shí)驗(yàn)證明，在平均亮度一定時(shí)，人眼能觀察到亮度差別（即景象層次）的范圍如圖1.4中虛線所示，圖中按不同的平均亮度給出了相應(yīng)的范圍?？梢?，當(dāng)平均亮度為一定值時(shí)，大約在它周圍的范圍內(nèi)，對(duì)比度閾保持在比較小的數(shù)值，人眼有區(qū)別亮度層次的能力。

圖1.4的曲線還表明，由于人眼的適應(yīng)性，對(duì)于明暗的感覺是相對(duì)的，同一個(gè)亮度，在某種平均亮度下可能給人以白的感覺，但在更高的平均亮度下卻可能給人以黑的感覺。因此，對(duì)于一副景象，重要的是體現(xiàn)其相對(duì)的明暗層次。利用這一原理，電視實(shí)現(xiàn)了比自然景象亮度范圍小得多的景象視覺。第12頁(yè)/共114頁(yè)第11頁(yè)/共114頁(yè)空間頻率的感知特性空間頻率是指單位視角()內(nèi)所含黑或白的條紋數(shù)，單位是線/度。假設(shè)人眼的視覺系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，如果已知該系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)或者傳輸函數(shù)，則可以計(jì)算出給定背景亮度下的視覺閾值。如果用不隨時(shí)間變化的空間正弦光柵作為人眼的測(cè)試信號(hào)，即

(1.4)則可以得到視覺閾隨空間頻率變化的函數(shù)。例如圖1.5所示的曲線是在背景亮度為500cd/m2的條件下得到的。這個(gè)函數(shù)被稱為對(duì)比度靈敏度函數(shù)(ContrastSensitivityFunction)。它具有特定的形狀，空間頻率在3-4.5Cycles/degree時(shí)有最大值，即最小對(duì)比度閾。第13頁(yè)/共114頁(yè)第12頁(yè)/共114頁(yè)

值得說(shuō)明的是，圖1.5實(shí)際上不是視覺閾對(duì)空間頻率的函數(shù)，而是對(duì)比度靈敏度對(duì)空間頻率的函數(shù)。對(duì)比度靈敏度的定義是，平均背景亮度與測(cè)試信號(hào)達(dá)到視覺閾時(shí)的調(diào)制電平的比；或者說(shuō)是對(duì)比度閾的倒數(shù)。在(1.4)式中，是背景亮度，是正弦光柵的空間頻率，是空間頻率偏離縱軸的角度，是調(diào)制電平，是時(shí)間頻率。對(duì)于給定的，通過(guò)調(diào)整得到在、和的各種取值情況下的視覺閾。圖1.6(a)給出一種測(cè)試光柵圖樣，圖1.6(b)是前人的各種實(shí)驗(yàn)得出的對(duì)比度靈敏度函數(shù)曲線。

可得到如下結(jié)論:

第14頁(yè)/共114頁(yè)第13頁(yè)/共114頁(yè)

(1)給定光柵的和，視覺閾主要取決于調(diào)制深度，而不單單取決于背景亮度或調(diào)制電平。(2)對(duì)比度靈敏度，即達(dá)到視覺閾時(shí)的值，隨著空間頻率從低頻到中頻近似線性地增大，并在中頻區(qū)段取得最大值。從圖1.6(b)可見，在空間頻率的方向上，人眼對(duì)亮度的作用相當(dāng)于一個(gè)帶通或低通濾波器(3)對(duì)比度靈敏度還與光柵的角度有關(guān)。它在垂直或水平光柵時(shí)取得最大值，隨著光柵偏離水平或垂直軸而減小，在角時(shí)大約減小3dB。(4)圖1.7給出了視覺對(duì)彩色變化的頻率響應(yīng)。由圖可見，人眼對(duì)亮度的空間分辯力明顯地比對(duì)色度的空間分辨力要高。因此，在圖像及視頻傳輸時(shí)就可以使用較少的比特?cái)?shù)來(lái)傳輸色度信號(hào)，以達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)量、節(jié)省帶寬資源的目的。第15頁(yè)/共114頁(yè)第14頁(yè)/共114頁(yè)視覺的空間掩蔽(spatialmasking)效應(yīng)也發(fā)生在空間頻域。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，背景亮度變化（不均勻性）劇烈時(shí)，對(duì)比度靈敏度就會(huì)下降，即視覺閾增大。這被稱為空間掩蔽效應(yīng)。圖1.8、1.9給出了典型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在該試驗(yàn)中，一條很細(xì)的垂直光線出現(xiàn)在有一條垂直亮度邊界的背景的不同位置上，這條光線在不同位置上的視覺門限（即光線剛好能被識(shí)別時(shí)的亮度值）曲線如圖1.8所示。第16頁(yè)/共114頁(yè)第15頁(yè)/共114頁(yè)第17頁(yè)/共114頁(yè)第16頁(yè)/共114頁(yè)關(guān)于空間掩蔽效應(yīng)，一些相關(guān)實(shí)驗(yàn)得出的幾點(diǎn)重要結(jié)論如下：(1)在接近邊界的兩邊，光線的視覺閾增大。(2)在對(duì)比度較小的邊界附近，掩蔽效應(yīng)也較弱。(3)從圖1.9可以看出掩蔽效應(yīng)是一種非常局部化的效應(yīng)，僅出現(xiàn)在背景亮度劇烈變化的邊界附近很窄的區(qū)域上。(4)若背景掩蔽邊緣出現(xiàn)的時(shí)間很短，則視覺閾不會(huì)有明顯的提高。例如無(wú)意識(shí)的眼運(yùn)動(dòng)就是這種情況?，F(xiàn)代壓縮編碼中無(wú)例外的都利用了人眼的視覺掩蔽效應(yīng)。例如，使用不均勻量化步長(zhǎng)(stepsize)的DPCM量化就是依賴于亮度的空間變化對(duì)誤差的掩蔽。又如，對(duì)噪聲的主觀感受受圖像內(nèi)容的影響，在圖像亮度跳變邊沿處，視覺閾增高。即此處噪聲的可見度降低。在圖像大面積處（亮度變化緩慢），視覺閾降低，即對(duì)噪聲敏感。第18頁(yè)/共114頁(yè)第17頁(yè)/共114頁(yè)

需要強(qiáng)調(diào)的是，不應(yīng)把空間掩蔽效應(yīng)與馬赫效應(yīng)(Macheffect）混淆。馬赫效應(yīng)指的是在邊界處感知到的亮度的變化，如圖1.10所示，在較亮的一側(cè)亮度明顯地增大，而在較暗的一側(cè)亮度明顯地減小。因此，感知到的對(duì)比度增大，亮的一側(cè)更亮，暗的一側(cè)更暗。通常認(rèn)為，人眼的橫向抑制

(lateralinhibition)作用是導(dǎo)致馬赫效應(yīng)的主要原因。

第19頁(yè)/共114頁(yè)第18頁(yè)/共114頁(yè)時(shí)間的感知特性視覺系統(tǒng)的時(shí)域特性研究的是外界亮度以不同的時(shí)間頻率進(jìn)行變化時(shí)，人眼的視覺敏感度。時(shí)域中的視覺閾值對(duì)于幀間編碼技術(shù)十分重要。其中一個(gè)重要的時(shí)域視覺閾值就是臨界閃爍頻率

(CriticalFlickerFusionFrequency)。如果讓觀察者觀察按時(shí)間重復(fù)的亮度脈沖，當(dāng)脈沖重復(fù)頻率不夠高時(shí)，人眼就有一亮一暗的感覺，稱之為閃爍(Flicker)。如果重復(fù)頻率足夠高，閃爍感覺消失，看到的則是一個(gè)恒定的亮點(diǎn)。閃爍感剛好消失時(shí)的頻率稱為臨界閃爍頻率。

臨界閃爍頻率在圖像與視頻處理中應(yīng)用的非常廣泛，視頻采集和顯示設(shè)備的幀率必須大于臨界閃爍頻率，以避免人眼覺察到閃爍現(xiàn)象。第20頁(yè)/共114頁(yè)第19頁(yè)/共114頁(yè)1.3黑白視覺的數(shù)學(xué)模型光線進(jìn)入人眼首先要經(jīng)過(guò)由角膜、晶狀體組成的前端光學(xué)系統(tǒng)，其功能相當(dāng)于一個(gè)二維低通光學(xué)鏡頭，系統(tǒng)函數(shù)為。在電磁波譜范圍內(nèi)，分布在約380～780nm波長(zhǎng)范圍的電磁波可以被人類視覺感知，稱為可見光。人眼對(duì)不同波長(zhǎng)光的敏感程度并不相同，該特性用視覺系統(tǒng)的相對(duì)光效率函數(shù)描述，如圖1.12所示。來(lái)自光分布函數(shù)為的空間物體的光經(jīng)過(guò)人眼空間響應(yīng)之后的輸出空間分布函數(shù)為：

(1.5)第21頁(yè)/共114頁(yè)第20頁(yè)/共114頁(yè)接下來(lái)，桿狀細(xì)胞和錐狀細(xì)胞的作用是使人眼對(duì)亮度的對(duì)比度進(jìn)行分辨而不是亮度本身，用非線性函數(shù)表示，輸出為對(duì)比度。最后視覺細(xì)胞中的橫向抑制效應(yīng)可用空間頻率相應(yīng)為的空不變(spatiallyinvariant)的、各向同性的、線性系統(tǒng)來(lái)表示，輸出是神經(jīng)信號(hào)，即人眼感受到的主觀亮度。人眼的黑白系統(tǒng)的總體模型如圖1.13所示：第22頁(yè)/共114頁(yè)第21頁(yè)/共114頁(yè)1.4二維空間頻率與視頻時(shí)間信號(hào)譜二維空間頻率數(shù)字圖像是分布在二維空間的樣值陣列，因此需要研究其二維空間頻率。以下我們通過(guò)幾個(gè)二維空間信號(hào)的例子來(lái)直觀的了解二維空間頻率的概念第23頁(yè)/共114頁(yè)第22頁(yè)/共114頁(yè)第24頁(yè)/共114頁(yè)第23頁(yè)/共114頁(yè)第25頁(yè)/共114頁(yè)第24頁(yè)/共114頁(yè)視頻時(shí)間信號(hào)及頻譜1、二維取樣的定義視頻信號(hào)通常在攝像機(jī)的輸出端，通過(guò)掃描二維的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，并將其轉(zhuǎn)化為一維的電信號(hào)來(lái)產(chǎn)生。運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景是一組圖片或圖像，每幅被掃描的圖像生成一幀視頻信號(hào)。掃描從圖像的左上開始，到右下結(jié)束，如圖1.16所示。恒速掃描定義為從左至右的掃描速率為，從上至下的掃描速率為，即：

（1.7）

（1.8）其中，H是行周期，F(xiàn)是幀周期；a、b分別是圖像寬度和高度。第26頁(yè)/共114頁(yè)第25頁(yè)/共114頁(yè)線性恒速掃描等效為將圖像在x方向及y方向上無(wú)限重復(fù)地取樣，從而將二維圖形變?yōu)橐痪S時(shí)間信號(hào)。圖1.17是逐行掃描和隔行掃描。第27頁(yè)/共114頁(yè)第26頁(yè)/共114頁(yè)2、頻譜分析第28頁(yè)/共114頁(yè)第27頁(yè)/共114頁(yè)第29頁(yè)/共114頁(yè)第28頁(yè)/共114頁(yè)1.5、線性移不變?yōu)V波器

用表示第30頁(yè)/共114頁(yè)第29頁(yè)/共114頁(yè)線性系統(tǒng)第31頁(yè)/共114頁(yè)第30頁(yè)/共114頁(yè)移不變系統(tǒng)第32頁(yè)/共114頁(yè)第31頁(yè)/共114頁(yè)線性移不變（LSI）系統(tǒng)第33頁(yè)/共114頁(yè)第32頁(yè)/共114頁(yè)離散卷積的直接運(yùn)算第34頁(yè)/共114頁(yè)第33頁(yè)/共114頁(yè)第35頁(yè)/共114頁(yè)第34頁(yè)/共114頁(yè)1.6傅立葉變換二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性離散信號(hào)的展開第36頁(yè)/共114頁(yè)第35頁(yè)/共114頁(yè)二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性二維離散圖像信號(hào)的付氏變換和反變換如下：

(1.19a)

(1.19b)

其中，m、n為空間坐標(biāo)，k、l為空間頻率。k、l的單位是m、n的單位的倒數(shù)。第36頁(yè)/共114頁(yè)二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性下面介紹二維離散圖像信號(hào)的付氏變換的一些特性。(1)．空間頻率在1.4.1節(jié)已講述二維連續(xù)空間信號(hào)的空間頻率的概念。對(duì)于二維離散的亮度信號(hào)，空間頻率就是空間單位距離內(nèi)亮度的變化數(shù)，有時(shí)用cycles/degree(觀察角)來(lái)表示。(2)．可分離性從式(1.19a)可知，付氏變換的基核是可分離的，即可以對(duì)m和n分別作變換：第37頁(yè)/共114頁(yè)二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性(3)．傳輸函數(shù)及特征函數(shù)（特征矢量）特征函數(shù)的定義：用特征函數(shù)做輸入，則輸出等于此輸入函數(shù)乘傳輸函數(shù)（它是頻率的函數(shù)，即傳輸函數(shù)）。容易證明，是滿足以上定義的特征函數(shù)。第38頁(yè)/共114頁(yè)二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性(4)．兩函數(shù)卷積等于兩函數(shù)付氏變換之積。若則，(5)．能量保持若是的傅立葉變換，則。(6)．由付氏變換的相位函數(shù)恢復(fù)原圖像若是的傅立葉變換，則用相位幅度的形式表示為：第39頁(yè)/共114頁(yè)二維離散圖像信號(hào)的付氏變換及其特性從相位恢復(fù)的信號(hào)為：從幅度恢復(fù)的信號(hào)為：其中，是傅立葉反變換運(yùn)算符。實(shí)踐表明，比更像原始圖像。第40頁(yè)/共114頁(yè)1.6.2離散信號(hào)的展開用基函數(shù)作信號(hào)的展開，可實(shí)現(xiàn)各種正交變換（付氏變換及小波變換），進(jìn)一步易于用濾波器組（filterbank）實(shí)現(xiàn)。離散信號(hào)展開的原理：是平方可積序列,則在平方可積空間中可正交展開為：其中，是的變換?；瘮?shù)滿足正交條件：第41頁(yè)/共114頁(yè)離散信號(hào)的展開正交展開的一個(gè)重要特性是能量保持：

(1.22)第42頁(yè)/共114頁(yè)離散信號(hào)的展開作為數(shù)字圖像處理中常用的工具，我們?cè)谶@里考察傅立葉變換的離散性和周期性在時(shí)域與變換域中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)不同的組合列表如下：時(shí)域變換域傅氏級(jí)數(shù)連續(xù)周期離散非周期傅氏變換連續(xù)非周期連續(xù)非周期離散時(shí)間傅氏變換離散非周期連續(xù)周期離散傅氏級(jí)數(shù)離散周期離散周期離散傅氏變換離散非周期離散非周期第43頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換（1）傅氏級(jí)數(shù)給定平方可積周期函數(shù)，其周期為T，即，則它可表示為頻率為的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合：（1.23a）其中，（1.23b）第44頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換（2）傅氏變換給定絕對(duì)可積函數(shù)，它的傅氏變換：（1.24a）其反變換：

（1.24b）第45頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換（3）離散時(shí)間傅氏變換給定序列為平方可積的，其基函數(shù)為，（1.25a）它以為周期，其逆變換為：（1.25b）第47頁(yè)/共114頁(yè)第46頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換（4）離散時(shí)間傅氏級(jí)數(shù)若離散時(shí)間序列是周期為N的信號(hào)，即，基函數(shù)為，則的離散時(shí)間傅氏級(jí)數(shù)表示為：（1.26a）其中，（1.26b）（1.27）第48頁(yè)/共114頁(yè)第47頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換此時(shí)兩卷積為周期卷積其中和等于和的一個(gè)周期。即。以上四種傅氏變換/級(jí)數(shù)的時(shí)域和頻域波形示意圖如圖所示。第49頁(yè)/共114頁(yè)第48頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換第50頁(yè)/共114頁(yè)第49頁(yè)/共114頁(yè)傅立葉變換（5）離散傅氏變換有限長(zhǎng)的離散時(shí)間序列的傅氏變換叫離散傅氏變換（DFT），可實(shí)現(xiàn)FFT，基函數(shù)為，則的離散傅氏變換為（1.29a）逆變換（1.29b）其中。第51頁(yè)/共114頁(yè)第50頁(yè)/共114頁(yè)1.7矩陣表示1.7.1二維圖像的矩陣向量表示1.7.2卷積的矩陣向量積表示1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理第52頁(yè)/共114頁(yè)第51頁(yè)/共114頁(yè)1.7.1二維圖像的矩陣向量表示將二維圖像寫成向量形式，便于利用一維信號(hào)處理方法。二維圖像的坐標(biāo)表示到矩陣表示的映射如圖1.23所示。第53頁(yè)/共114頁(yè)第52頁(yè)/共114頁(yè)1.7.1二維圖像的矩陣向量表示二維圖像的行列矩陣表示為：第54頁(yè)/共114頁(yè)第53頁(yè)/共114頁(yè)1.7.1二維圖像的矩陣向量表示用列（或行）向量表示。第55頁(yè)/共114頁(yè)第54頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示用矩陣向量表示卷積，如圖1.24所示。由掃描矩陣得到，由掃描得到。卷積的矩陣向量表示為：（1.30）其中是維的矩陣。與系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)有關(guān)，關(guān)系在后頁(yè)分析。第56頁(yè)/共114頁(yè)第55頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示(1)一維的情況若與長(zhǎng)度不同，分別為和，即用補(bǔ)零的方法將它們變?yōu)殚L(zhǎng)度。于是有線性卷積：（1.31）第57頁(yè)/共114頁(yè)第56頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示寫為矩陣形式：或者， (1.32)

其中，的構(gòu)成元素取決于，滿足（1.33）這就是Toeplitz矩陣。第58頁(yè)/共114頁(yè)第57頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示對(duì)于因果系統(tǒng)有，所以為實(shí)現(xiàn)快速算法，在N≥M1+M2-1時(shí)，可用循環(huán)卷積來(lái)計(jì)算該線性卷積。長(zhǎng)為N的兩個(gè)序列和的循環(huán)卷積為第59頁(yè)/共114頁(yè)第58頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示式中表示整數(shù)模的最小非負(fù)余，例如圖1.25所示。用矩陣表示為：

或者，其中，矩陣既是Toeplitz矩陣，也是循環(huán)矩陣。第60頁(yè)/共114頁(yè)第59頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示(2)二維情況設(shè)大小為，大小為，將它們都變成大小為的延伸圖像，如圖1.26所示，方法是在上述序列中加零：（1.36）（1.37）其中，第61頁(yè)/共114頁(yè)第60頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示則循環(huán)卷積為（1.38）第62頁(yè)/共114頁(yè)第61頁(yè)/共114頁(yè)1.7.2卷積的矩陣向量積表示將一維的結(jié)論直接用在二維上，有：或者，即，其中、為列矢量，每個(gè)列矢量含M個(gè)像元。由個(gè)子塊組成，每一子塊是維的矩陣，由的第j列構(gòu)成的循環(huán)矩陣。第63頁(yè)/共114頁(yè)第62頁(yè)/共114頁(yè)1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理如前所述，數(shù)字圖像可以很方便的使用矩陣形式表示，這就給圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理帶來(lái)了方便。設(shè)矩陣中的元素代表8bit數(shù)字圖像中的象素，取值范圍為0至255之間的整數(shù)。因此該元素可使用C語(yǔ)言中的符號(hào)類型或浮點(diǎn)數(shù)類型來(lái)表示：第64頁(yè)/共114頁(yè)第63頁(yè)/共114頁(yè)1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理實(shí)際應(yīng)用中，圖像的大小往往是預(yù)先不知道的，同時(shí)，M、N是不能作為聲明變量來(lái)在函數(shù)間傳遞的。這樣，指針就成為解決這一問(wèn)題的最好方法。數(shù)組可以使用內(nèi)存分配進(jìn)程malloc動(dòng)態(tài)生成：

unsignedchar*a; a=(unsignedchar*)malloc(N*sizeof(unsignedchar));類似的，聲明浮點(diǎn)類型一維數(shù)組。第65頁(yè)/共114頁(yè)第64頁(yè)/共114頁(yè)1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理二維數(shù)組可以被看作一維數(shù)組的數(shù)組，即：指針**a指向指針數(shù)組*a[0],*a[1],...,*a[M-1]，其中每一元素又指向圖像的每一行?；緮?shù)字圖像處理包括圖像加、減和數(shù)乘：

（1.41）第66頁(yè)/共114頁(yè)第65頁(yè)/共114頁(yè)1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理時(shí)，上述運(yùn)算應(yīng)注意輸出圖像的上下溢出問(wèn)題。如果上溢出發(fā)生，對(duì)應(yīng)象素為白背景下的黑色；如果下溢出發(fā)生，對(duì)應(yīng)象素為黑背景下的白色。實(shí)際應(yīng)用中，上下溢出應(yīng)避免，這可以通過(guò)限幅處理來(lái)實(shí)現(xiàn)。 圖像的非線性變換用于大量的應(yīng)用中，其用式(1.42)表示：（1.42）使用C語(yǔ)言進(jìn)行處理時(shí)，常用到的操作是比較與緩沖器（Buffer）拷貝。第67頁(yè)/共114頁(yè)第66頁(yè)/共114頁(yè)1.7.3圖像在計(jì)算機(jī)中的表示及處理限幅（Clipping）：旋轉(zhuǎn)（Rotation）：其中分別為圖像旋轉(zhuǎn)前后的坐標(biāo)值。由式(1.44)可知，旋轉(zhuǎn)之后的圖像可表示為：通過(guò)緩存器(Buffer)映射，即可實(shí)現(xiàn)上述變換過(guò)程。第68頁(yè)/共114頁(yè)第67頁(yè)/共114頁(yè)1.8隨機(jī)過(guò)程及其分類1.8.1一維隨機(jī)過(guò)程1.8.2二維隨機(jī)過(guò)程——隨機(jī)場(chǎng)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性1.8.4用矩陣表示的統(tǒng)計(jì)特性：1.8.5隨機(jī)過(guò)程的分類第69頁(yè)/共114頁(yè)第68頁(yè)/共114頁(yè)1.8.1一維隨機(jī)過(guò)程大致地說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)過(guò)程就是一系列具有概率測(cè)度的時(shí)間函數(shù)。對(duì)于有限結(jié)果樣本空間，隨機(jī)過(guò)程可以看作是樣本空間到時(shí)間波形空間的一個(gè)映射，如圖1.27所示。第70頁(yè)/共114頁(yè)第69頁(yè)/共114頁(yè)1.8.1一維隨機(jī)過(guò)程一個(gè)隨機(jī)過(guò)程也可以被看作是，給定概率為的結(jié)果樣本，則時(shí)間波形出現(xiàn)，如圖1.28所示。這n個(gè)時(shí)間信號(hào)代表時(shí)間波形的整體。如果在時(shí)刻觀察這些時(shí)間波形，則得到右邊第二列值。從上向下，得到從最左端的結(jié)果樣本到該列對(duì)應(yīng)數(shù)值的一個(gè)映射，該映射描述了一個(gè)特定的隨機(jī)變量。同理，從結(jié)果樣本到最后一列的映射描述了時(shí)刻的隨機(jī)變量。值得注意的是，隨機(jī)過(guò)程是具有兩個(gè)變量和的函數(shù)，其中是時(shí)間變量，是結(jié)果樣本變量。第71頁(yè)/共114頁(yè)第70頁(yè)/共114頁(yè)1.8.1一維隨機(jī)過(guò)程對(duì)于給定時(shí)刻，是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)樗菢颖究臻g的函數(shù)。若給定結(jié)果樣本，則是一個(gè)特定的時(shí)間函數(shù)，稱為一個(gè)樣本函數(shù)，或者稱為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。若同時(shí)給定和，則對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程就是一個(gè)實(shí)數(shù)，對(duì)于復(fù)隨機(jī)過(guò)程就是一個(gè)復(fù)數(shù)。

第72頁(yè)/共114頁(yè)第71頁(yè)/共114頁(yè)1.8.2二維隨機(jī)過(guò)程——隨機(jī)場(chǎng)數(shù)字圖像的象素點(diǎn)分布在二維平面上，因此我們可以將其看作是二維的隨機(jī)過(guò)程。下面來(lái)看一種最簡(jiǎn)單的由黑白兩個(gè)亮度電平構(gòu)成的數(shù)字圖像：表示位于點(diǎn)上的圖像象素的亮度。表示隨時(shí)間變化的二維序列，該序列是各種可能的圖像集合中的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。如圖1.29所示。第73頁(yè)/共114頁(yè)第72頁(yè)/共114頁(yè)1.8.2二維隨機(jī)過(guò)程——隨機(jī)場(chǎng)由以上分析可見：對(duì)于一維情況，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)變量是隨時(shí)間變化的；在二維情況下，是一個(gè)隨機(jī)場(chǎng)，隨機(jī)變量是在空間兩個(gè)方向上分布的，給定平面上n個(gè)點(diǎn)，有n個(gè)隨機(jī)變量，進(jìn)一步推廣到活動(dòng)圖像序列的情況，圖像單元可看成三維隨機(jī)序列或隨機(jī)場(chǎng)的一個(gè)樣值，其中是t時(shí)間參量。這是在三個(gè)方向上變化的隨機(jī)變量的一種表述法。第74頁(yè)/共114頁(yè)第73頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于不能精確表述的信號(hào)的波形，采用隨機(jī)信號(hào)表述是一種基本的方法。我們知道，隨機(jī)變量的常用統(tǒng)計(jì)特性包括均值、方差、階矩等。類似地，隨機(jī)過(guò)程的重要統(tǒng)計(jì)特性也包括均值、方差和階矩，但通常都是時(shí)間的函數(shù)。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，還必須定義一些新的特性，包括n階密度、自相關(guān)函數(shù)和譜密度，這些特性對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的分析很有幫助。由前面已知，對(duì)于每個(gè)t，是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，一個(gè)隨機(jī)過(guò)程給出了可列無(wú)限或無(wú)限多個(gè)隨機(jī)變量。如果對(duì)于所有時(shí)刻和所有的n，隨機(jī)變量的聯(lián)合密度都已知，那么就說(shuō)這個(gè)隨機(jī)過(guò)程被完全地定義，或者說(shuō)被完整地描述。一般而言，完整的統(tǒng)計(jì)特性只在極少數(shù)情況下需要，而且這種特性是不可實(shí)現(xiàn)的。因此，定義并使用部分特性是很實(shí)用的。第75頁(yè)/共114頁(yè)第74頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于離散隨機(jī)過(guò)程，給定時(shí)刻n，則是隨機(jī)變量。其統(tǒng)計(jì)特性如下：·概率分布函數(shù)：。其意義是,若隨機(jī)變量是實(shí)數(shù)，則對(duì)于全部實(shí)參變量x，事件的概率是確定的。?概率密度函數(shù)(pdf)：是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即

(1.46)不同時(shí)刻的概率密度不一定相同。若該統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間無(wú)關(guān)（即平穩(wěn)過(guò)程），則所有時(shí)刻的概率密度都相同，可省去時(shí)間參量，記為第76頁(yè)/共114頁(yè)第75頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性·均值： (1.47)

則對(duì)于一切n，離散隨機(jī)過(guò)程的均值是時(shí)間的函數(shù)。當(dāng)?shù)木蹬c時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，是一個(gè)常量?！し讲睿?/p>

(1.48)?自相關(guān)函數(shù)(acf)：給定兩個(gè)隨機(jī)變量和，相關(guān)性是二者間線性關(guān)系的量度。和可以取所有可能的值，這個(gè)相關(guān)性是和的函數(shù)。因此，實(shí)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間參量和的二維函數(shù)，定義為第77頁(yè)/共114頁(yè)第76頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性因?yàn)椋躁P(guān)于和對(duì)稱，即(1.50)在稍后將要說(shuō)明的廣義平穩(wěn)的情況下，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)。在這種情況下，定義一維自相關(guān)函數(shù)為

(1.51)

因?yàn)榭梢院徒粨Q位置，所以是的偶函數(shù)，可以寫作

=(1.52)第78頁(yè)/共114頁(yè)第77頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性

·自協(xié)方差函數(shù)：

(1.56)

如果把標(biāo)準(zhǔn)化，得到標(biāo)準(zhǔn)自協(xié)方差函數(shù)，定義為

(1.57)

復(fù)隨機(jī)過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)定義為第79頁(yè)/共114頁(yè)第78頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性把標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)自協(xié)方差函數(shù)

(1.59)

有一類十分重要的隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即：即所有矩函數(shù)都獨(dú)立于n。同樣地，自相關(guān)和自協(xié)方差函數(shù)也僅取決于時(shí)間差：第80頁(yè)/共114頁(yè)第79頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于階平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)時(shí)叫廣義平穩(wěn)過(guò)程。而當(dāng)隨機(jī)信號(hào)在所有時(shí)刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于所有移動(dòng)都保持不變時(shí)，稱該隨機(jī)信號(hào)為嚴(yán)格平穩(wěn)。嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程必然是廣義平穩(wěn)的，但反之并不一定成立。只有對(duì)于高斯分布的隨機(jī)過(guò)程，嚴(yán)格平穩(wěn)與廣義平穩(wěn)是等價(jià)的。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程還有一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)特性：·功率譜密度函數(shù)（psdf）：是自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換。這個(gè)公式大致地描述了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率在頻率域中的分布情況。第81頁(yè)/共114頁(yè)第80頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，是實(shí)偶函數(shù)，所以自相關(guān)函數(shù)可改寫為：

平均功率第82頁(yè)/共114頁(yè)第81頁(yè)/共114頁(yè)1.8.3隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性下面研究系統(tǒng)對(duì)功率譜密度的頻率響應(yīng)?？紤]沖擊響應(yīng)為、傳輸函數(shù)為的線性移不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)輸入是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則輸出的隨機(jī)過(guò)程有：由于的均值為常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù)只依賴于時(shí)移n，所以廣義平穩(wěn)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性移不變系統(tǒng)后輸出也是廣義平穩(wěn)的。第83頁(yè)/共114頁(yè)第82頁(yè)/共114頁(yè)1.8.4用矩陣表示的統(tǒng)計(jì)特性：對(duì)于由維的隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矢量，可以定義用矩陣表示的統(tǒng)計(jì)特性如下：均值協(xié)方差其中，分別稱為隨機(jī)變量的均值矢量和協(xié)方差矩陣。第84頁(yè)/共114頁(yè)第83頁(yè)/共114頁(yè)1.8.5隨機(jī)過(guò)程的分類給定平面上個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)地有個(gè)隨機(jī)變量

這些隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：。對(duì)數(shù)字圖像而言，隨機(jī)變量數(shù)非常大。因此，測(cè)量一個(gè)實(shí)際的聯(lián)合概率密度函數(shù)是非常困難的。而對(duì)于以下幾種特殊的隨機(jī)過(guò)程，情況可以大大簡(jiǎn)化。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程高斯隨機(jī)過(guò)程白噪聲過(guò)程周期隨機(jī)過(guò)程（periodicrandomprocesses）Markov過(guò)程（相關(guān)過(guò)程）第85頁(yè)/共114頁(yè)第84頁(yè)/共114頁(yè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程熱噪聲就是一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的物理參量不隨時(shí)間改變，結(jié)果樣本的概率密度函數(shù)也不隨時(shí)間變化，即對(duì)于隨機(jī)序列，若它的部分序列的聯(lián)合概率密度函數(shù)和時(shí)移后序列相等，則它的均值與自相關(guān)函數(shù)是時(shí)不變的確定量。在弱平穩(wěn)意義下的隨機(jī)過(guò)程又叫作廣義平穩(wěn)。廣義平穩(wěn)的條件是： 即相關(guān)性，只與時(shí)間差有關(guān)。因此平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)可用表示：第86頁(yè)/共114頁(yè)第85頁(yè)/共114頁(yè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程得到的相關(guān)矩陣： 它是Toeplitz矩陣。的協(xié)方差為 即，協(xié)方差也只與時(shí)間差有關(guān)。得到平穩(wěn)過(guò)程的協(xié)方差矩陣

： 它也是Toeplitz矩陣。實(shí)際上，平穩(wěn)序列協(xié)方差矩陣和自相關(guān)矩陣都是Toeplitz矩陣；反之，若序列的協(xié)方差矩陣和自相關(guān)矩陣是Toeplitz矩陣，則序列是平穩(wěn)的。第87頁(yè)/共114頁(yè)第86頁(yè)/共114頁(yè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程因?yàn)?當(dāng)均值為零時(shí)，自相關(guān)矩陣等于協(xié)方差矩陣： 其中，，，。具體地,第88頁(yè)/共114頁(yè)第87頁(yè)/共114頁(yè)高斯隨機(jī)過(guò)程若一個(gè)隨機(jī)矢量為有限子序列，且其聯(lián)合概率密度函數(shù)是高斯分布，則稱其為高斯隨機(jī)過(guò)程。高斯序列的聯(lián)合概率密度函數(shù)是： 其中是的協(xié)方差矩陣。高斯隨機(jī)過(guò)程具有一些特殊性質(zhì)，下面列出其中比較重要的三條：

（1）若高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的，則它必定也是嚴(yán)格平穩(wěn)的 （2）高斯隨機(jī)過(guò)程在任意時(shí)間段內(nèi)的積分也是服從高斯分布的隨機(jī)變量，對(duì)不同時(shí)間段積分所得的不同高斯變量之間服從聯(lián)合高斯分布 （3）高斯隨機(jī)過(guò)程在（）,上積分所得的隨機(jī)過(guò)程仍是高斯過(guò)程

高斯隨機(jī)過(guò)程具有如下統(tǒng)計(jì)特性： 均值=常數(shù) 協(xié)方差第89頁(yè)/共114頁(yè)第88頁(yè)/共114頁(yè)白噪聲過(guò)程為簡(jiǎn)化分析，定義一種白噪聲過(guò)程，之所以稱其為白噪聲過(guò)程是因?yàn)樵撨^(guò)程的譜密度在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都是一個(gè)確定的常數(shù)。由于它在所有瞬時(shí)的信號(hào)都是獨(dú)立的，則其中任意瞬時(shí)的信號(hào)值也是獨(dú)立的，可知在所有瞬時(shí)的概率密度函數(shù)相等。因此很顯然，這種信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)。其功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別定義為：

第90頁(yè)/共114頁(yè)第89頁(yè)/共114頁(yè)白噪聲過(guò)程圖1.30示出了白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)

若白噪聲過(guò)程的概率密度為高斯分布，則稱為高斯白噪聲或正態(tài)白噪聲。第91頁(yè)/共114頁(yè)第90頁(yè)/共114頁(yè)周期隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，若其自相關(guān)函數(shù)是周期的，則叫周期隨機(jī)過(guò)程。例如隨機(jī)正弦過(guò)程，若A、為獨(dú)立隨機(jī)變量，有確定概率密度函數(shù)，其自相關(guān)函數(shù) 因其自相關(guān)函數(shù)是周期的，把它叫做周期隨機(jī)過(guò)程。同樣的形式，由其付氏級(jí)數(shù)表示的隨機(jī)過(guò)程 它有獨(dú)立的零均值幅度隨機(jī)變量和?？梢宰C明，它的自相關(guān)函數(shù)是周期性，因此它也是周期隨機(jī)過(guò)程。第92頁(yè)/共114頁(yè)第91頁(yè)/共114頁(yè)Markov過(guò)程若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的條件概率函數(shù)具有下列特性：

則稱該隨機(jī)過(guò)程為一階Markov序列。由上式可見，設(shè)為現(xiàn)在時(shí)刻，為過(guò)去時(shí)刻，在給定所有過(guò)去隨機(jī)變量的條件下，的條件概率取決于給定條件下的條件概率。高斯過(guò)程也是Markov過(guò)程。例7：一階平穩(wěn)Markov序列的協(xié)方差函數(shù)為：

它常用做黑白圖像掃描行的協(xié)方差模型。對(duì)于矢量，它的協(xié)方差矩陣是：

該矩陣為Toeplitz矩陣。第93頁(yè)/共114頁(yè)第92頁(yè)/共114頁(yè)1.9隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)模型用隨機(jī)模型表示圖像，有兩種方法：協(xié)方差模型和線性系統(tǒng)模型。本節(jié)講述協(xié)方差模型。該模型常用在圖像編碼和圖像恢復(fù)問(wèn)題中。線性模型留在下一節(jié)討論。平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)中各點(diǎn)的均值與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，即 設(shè)，自協(xié)方差平移不變，它可寫成一個(gè)依賴兩個(gè)變量的函數(shù)： （1.98）其中，下角標(biāo)代表水平方向，代表垂直方向。滿足上述條件的平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)的相關(guān)模型有兩種：可分離模型和不可分離模型。對(duì)于平穩(wěn)圖像場(chǎng)，均值為常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)可以采用可分或不可分的指數(shù)模型?？煞帜Ｐ驮趫D像處理中易于進(jìn)行分析；不可分模型的協(xié)方差模型更好，但不易分析。第94頁(yè)/共114頁(yè)第93頁(yè)/共114頁(yè)可分離模型對(duì)于一階平穩(wěn)Markov模型：，其中是圖像水平與垂直方向上的空間位移，為相關(guān)量。令，代入式（1.98）得，。若，則上式為：，歸一化相關(guān)系數(shù)得到對(duì)角線相關(guān)系數(shù)

相鄰小象素之間的相關(guān)系數(shù)。如圖1.31所示。第95頁(yè)/共114頁(yè)第94頁(yè)/共114頁(yè)各向同性模型，它有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱特性，稱為各向同性特性，它不可分離。用水平和垂直間隔的空間坐標(biāo)表示。令，則：。歸一化的相鄰象素間的相關(guān)系數(shù)為其對(duì)角相鄰象素間的相關(guān)系數(shù)為。具體實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)圖像的和接近0.95。 對(duì)于一幅象素的黑白圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1.32所示。 由上圖可見，水平與垂直方向上，自相關(guān)函數(shù)都以相似速率隨增加而衰減，但給定，細(xì)節(jié)少圖像與細(xì)節(jié)多圖像的自相關(guān)函數(shù)有顯著差異。第96頁(yè)/共114頁(yè)第95頁(yè)/共114頁(yè)1.10隨機(jī)場(chǎng)的線性系統(tǒng)模型隨機(jī)過(guò)程除前面講的協(xié)方差模型外，還可由一階因果模型表示，如圖1.33所示。類型包括：

?AR過(guò)程——自回歸過(guò)程，用IIR濾波器實(shí)現(xiàn)； ?MA過(guò)程——滑動(dòng)平均過(guò)程，用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)； ?ARMA過(guò)程——自回歸滑動(dòng)平均過(guò)程。第97頁(yè)/共114頁(yè)第96頁(yè)/共114頁(yè)1.10隨機(jī)場(chǎng)的線性系統(tǒng)模型給定頻譜密度,利用譜分解技術(shù)以得到因果的最小時(shí)延傳輸函數(shù)。具體地，輸入是零均值單位方差、具有高斯分布的隨機(jī)變量，通過(guò)濾波器，產(chǎn)生輸出序列要求的的譜密度。系統(tǒng)傳輸函數(shù)為

令，輸出隨機(jī)過(guò)程具有如下的遞歸形式： 其中，第一部分和式是AR模型，第二部分和式是MA模型第98頁(yè)/共114頁(yè)第97頁(yè)/共114頁(yè)線性均方估值的正交原理設(shè)為隨機(jī)變量，均值為零。線性預(yù)測(cè)估值是用過(guò)去的值預(yù)測(cè)現(xiàn)在的值，即其中，是線性預(yù)測(cè)系數(shù)。預(yù)測(cè)誤差表示為：

定義均方誤差為，我們要研究的問(wèn)題是如何求使 最?。扛鶕?jù)拉格朗日極值定理，將對(duì)求偏導(dǎo)，并令其等于0，則得到：即與所有隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)上正交?；蛘哂洖椋旱?9頁(yè)/共114頁(yè)第98頁(yè)/共114頁(yè)自回歸AR模型（AutoRegressive）簡(jiǎn)單表征圖像是把它考慮為光柵掃描器輸出的一維信號(hào)，是行或列的序列信號(hào)。若行間(或列間)互不相關(guān)，則可用一維線性系統(tǒng)來(lái)模擬這樣的信號(hào)。令是實(shí)的平穩(wěn)隨機(jī)序列，其均值為零，協(xié)方差為，它是線性移不變系統(tǒng)的輸出，其輸入為平穩(wěn)零均值白噪聲序列，于是它的譜密度函數(shù)SDF為：其中是的SDF。對(duì)其進(jìn)行解析開拓：和有一個(gè)根（極點(diǎn)）在單位圓內(nèi)，必有一個(gè)根在單位圓外。線性移不變系統(tǒng)，極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，滿足因果穩(wěn)定條件，則：用IIR濾波的實(shí)現(xiàn)有：，一切極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)第100頁(yè)/共114頁(yè)第99頁(yè)/共114頁(yè)自回歸AR模型（二）當(dāng)系統(tǒng)輸出零均值的隨機(jī)序列時(shí)，叫做階AR（自回歸）過(guò)程。如圖1.34所示，其數(shù)學(xué)描述如下：其中是平穩(wěn)零均值序列，它與過(guò)去的輸出無(wú)關(guān)。上式的意義為：通過(guò)最近個(gè)輸出和現(xiàn)在的輸入遞歸產(chǎn)生下一個(gè)輸出。第101頁(yè)/共114頁(yè)第100頁(yè)/共114頁(yè)自回歸AR模型（三）AR模型具有如下特性： （1）最佳線性均方預(yù)測(cè)器的值 它是基于所有個(gè)過(guò)去樣值的結(jié)果。對(duì)于高斯白噪聲序列，它意味著階AR序列是Markov-p過(guò)程，則： 時(shí)刻的樣值是“最小方差因果預(yù)測(cè)估值+預(yù)測(cè)誤差”，因此AR模型也被叫做因果最小方差表示。

（2）因果濾波器 被叫做預(yù)測(cè)誤差濾波，如圖1.35所示。第102頁(yè)/共114頁(yè)第101頁(yè)/共114頁(yè)自回歸AR模型（四）此濾波器由序列產(chǎn)生預(yù)測(cè)誤差序列