學(xué)習(xí)-大二上電路分析

十、頻率響應(yīng)多頻正弦穩(wěn)態(tài)電路對(duì)于動(dòng)態(tài)電路,由于容抗和感抗都是頻率的函數(shù),因此,不同頻率的正弦激勵(lì)作用于電路時(shí),即使其振幅和初相相同,響應(yīng)的振幅和初相都將隨之而變。這種電路響應(yīng)隨激勵(lì)頻率而變化的特性稱(chēng)為電路的頻率特性或頻率響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻響。

或者說(shuō)，動(dòng)態(tài)電路對(duì)不同的正弦激勵(lì)產(chǎn)生不同的響應(yīng)。響應(yīng)與頻率的關(guān)系稱(chēng)頻率響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻響。

10.1.基本概念

出現(xiàn)多個(gè)頻率正弦激勵(lì)大致可分為兩種情況：其一：電路的激勵(lì)原本就是多個(gè)不同頻率的正弦波。但頻率之間不一定成整倍數(shù)關(guān)系。其二：電路的激勵(lì)原本為非正弦周期波，如方波、鋸齒波等等。非正弦周期信號(hào)可展為傅立葉級(jí)數(shù)。非正弦周期信號(hào)可展為傅立葉級(jí)數(shù)：tu(t)0以一個(gè)周期的情況為例進(jìn)行分析：u1u1與方波同頻率,稱(chēng)為方波的基波u3u3的頻率是方波的3倍,稱(chēng)為方波的三次諧波。u1和u3的合成波,顯然較接近方波U1m1/3U1mtu(t)0u5的頻率是方波的5倍,稱(chēng)為方波的五次諧波。u13和u5的合成波,顯然更接近方波1/5U1mu135u5三角波：10.2.再論阻抗和導(dǎo)納1、Z=ù/ìY==ì/ù

|Z|=U/IZ=ψu(yù)-ψi|Y|=IUY=ψi-ψu(yù)

2、Z(j)=|Z(j)|/

Z=R()+jX()

X()<0容性X()>0感性|Z|與頻率的關(guān)系稱(chēng)為輸入阻抗的幅頻特性；可用解析式和曲線(xiàn)表示。

Z與頻率的關(guān)系稱(chēng)為輸入阻抗的相頻特性。3、Y(j)=G()+jB()

B()>0容性B()<0感性10.3.正弦穩(wěn)態(tài)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)1、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在電路分析中,電路的頻率特性通常用正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來(lái)描述。在具有單個(gè)正弦激勵(lì)源(設(shè)其角頻率為ω)的電路中,如果將我們所關(guān)心的某一電壓或電流作為響應(yīng),根據(jù)齊次定理,響應(yīng)相量

(振幅相量?m或有效值相量?)與激勵(lì)相量（振幅相量?m或有效值相量?)成正比,即：

H(jω)=?／?=響應(yīng)相量

（輸出）／激勵(lì)相量（輸入）式中的比例系數(shù)H(jω)稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

H(jω)=|H(jω)|/（ω）激勵(lì)相量響應(yīng)相量H(jω)

H(jω)=?／?H(jω)=|H(jω)|∠（ω）可得頻率為ω的正弦激勵(lì)：e(t)=(2)Ecos(ωt+ψ1)在它作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：r(t)=(2)Rcos(ωt+ψ2)其中：R=|H(jω)|Eψ2=（ω）+ψ1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的,并且一般是激勵(lì)角頻率（或頻率）的復(fù)函數(shù)。它反映了電路自身的特性。顯然,當(dāng)激勵(lì)的有效值和初相保持不變而頻率改變時(shí),響應(yīng)將隨頻率的改變而變化,其變化規(guī)律與H(jω)的變化規(guī)律一致。也就是說(shuō),響應(yīng)與激勵(lì)頻率的關(guān)系決定于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與頻率的關(guān)系。故網(wǎng)絡(luò)函數(shù)又稱(chēng)為頻率響應(yīng)函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)頻率響應(yīng)。|H(jω)|是H(jω)的模,它是響應(yīng)相量的模與激勵(lì)相量的模之比,稱(chēng)為幅度-頻率特性或幅頻響應(yīng)；(ω)是H(jω)的輻角,它是響應(yīng)相量與激勵(lì)相量之間的相位差,稱(chēng)為相位-頻率特性或相頻響應(yīng)。2、策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)（或傳輸函數(shù)）根據(jù)響應(yīng)和激勵(lì)是否在電路同一個(gè)端口,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可分為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)（或傳輸函數(shù)）。當(dāng)響應(yīng)與激勵(lì)處于電路的同一端口時(shí),則稱(chēng)為策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，否則稱(chēng)為轉(zhuǎn)移函數(shù)。根據(jù)響應(yīng)、激勵(lì)是電壓還是電流,策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)又可分為策動(dòng)點(diǎn)阻抗和策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納；轉(zhuǎn)移函數(shù)又分為轉(zhuǎn)移電壓比、轉(zhuǎn)移電流比、轉(zhuǎn)移阻抗和轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。轉(zhuǎn)移電壓比：Au=ù2／ù1（設(shè)端口1為深入，端口2為輸出）轉(zhuǎn)移電流比：Ai=ì2／ì1轉(zhuǎn)移阻抗：ZT=ù2／ì1轉(zhuǎn)移導(dǎo)納：YT=ì2／ù13、頻率響應(yīng)也可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定。4、多個(gè)激勵(lì)源，需用疊加的概念。例1：圖(a)是雙RC電路,如以ù1為激勵(lì),以ù2為響應(yīng),求電壓比函數(shù)H(jω)=ù2／

ù1，并分析其特性。解：令ω0=1/RC,Q=1/3,H0=1/3,于是上式可寫(xiě)為帶通函數(shù)。分子、分母同除以jωω0/Q,并稍加整理,可得帶通函數(shù)的另一種典型形式：其幅頻和相頻特性分別為由上式可見(jiàn),當(dāng)ω=ω0時(shí),|H(jω0)|=H0。其幅頻、相頻特性曲線(xiàn)如圖(b)所示。

其幅頻、相頻特性曲線(xiàn)如圖(b)所示。由幅頻特性曲線(xiàn)可知,幅頻特性的極大值發(fā)生在ω=ω0處,ω0稱(chēng)為中心角頻率。在ω=ω0處,Hmax=|H(jω0)|=H0,ψ(0)=0°;當(dāng)ω=∞和ω=0處,|H(0)|=|H(j∞)|=0,ψ(0)=ψ(∞)=±π/2。ψψ（）帶通濾波器例2.低通濾波器網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)：濾掉輸入信號(hào)的高頻成分，通過(guò)低頻成分。低通濾波器的傳遞函數(shù)---幅頻特性：輸出與輸入有效值之比與頻率的關(guān)系。其中：相頻特性：輸出與輸入相位差與頻率的關(guān)系。---相頻特性幅頻特性低通濾波器的頻率特性100~：帶寬：截止頻率分貝數(shù)定義：半功率點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，幅頻特性上時(shí)，叫3分貝點(diǎn)或半功率點(diǎn)。1三分貝點(diǎn)例3.高通濾波器濾掉輸入信號(hào)的低頻成分，通過(guò)高頻成分。高通濾波器的傳遞函數(shù)高通濾波器的頻率特性幅頻特性相頻特性1例4.帶阻濾波器雙T網(wǎng)絡(luò)RRR2CC2C110.4.正弦穩(wěn)態(tài)的疊加

1、多個(gè)正弦電源的疊加多個(gè)正弦電源，可運(yùn)用疊加定理。對(duì)其它電壓源，可令其短路；對(duì)其它電流源，可令其開(kāi)路。

如果電源頻率相同，則疊加后仍為同一頻率的正弦波。

不同頻率的正弦波的疊加不再是正弦波。（1）同頻（1=2）：如：設(shè)輸入為US，IS，輸出為UK（t），則：ùK=ùK′

+ùK″=UK

/ψk其中：ùK′=Au(j)ùsùK″=ZT(j)ìs(轉(zhuǎn)移電壓比Au；轉(zhuǎn)移電流比ZT)得：uK=(2)UKcos(t+ψk)（2）不同頻（1≠2）：若兩個(gè)電源的頻率分別為1和2，則可用相量法求兩個(gè)響應(yīng)分量，在寫(xiě)出uK′和uK″后，然后運(yùn)用疊加定理

求：

uK（t）=uK′

（t）+uK″

（t）（3）

1≠2的波形問(wèn)題：可表為2=r1（r≠1）

設(shè)uK′（t）周期為T(mén)1，T1=2／1

uK″（t）周期為T(mén)2，T2=2／2

只要r是有理數(shù)，總可以找到一個(gè)公周期TC：TC=mT1=nT2(m、n為正整數(shù))因此uK=uK′

+uK″

是一個(gè)以TC為周期的非正弦波。即：如果ω1/ω2=T2/T1=m/n為有理數(shù),那么uK=uK′

+uK″

仍然是周期函數(shù)。例如r=1.2，T=5T1=6T2如果r是正整數(shù)，若T1＞T2，則TC即T1。例如：

uK′（t）=2sint，

uK″

（t）=sin(2t+90o)則uK為以周期為T(mén)C=T1=2／的非正弦周期波。如圖。

例:如圖電路，L=1H，C=1F，R=1Ω，uS1(t)=10cos(t)V，uS2(t)=10cos(2t)V，求電流i(t)。解:

注意：相量法只適用于單頻率電源作用下的穩(wěn)態(tài)電路。利用疊加定理：uS1(t)單獨(dú)作用時(shí)，畫(huà)出相量模型。故i1(t)=10cos(t-90°)A故i2(t)=11cos(2t+33.7°)A。故i1(t)=10cos(t-90°)Ai(t)=i1(t)+i2(t)=10cos(t-90°)+11cos(2t+33.7°)AuS2(t)單獨(dú)作用時(shí)，畫(huà)出相量模型。2、非正弦周期信號(hào)作用下的線(xiàn)性電路分析非正弦周期電流電路的分析計(jì)算一般步驟(1)將電路中的激勵(lì)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式；(2)將激勵(lì)分解為直流和一系列正弦諧波(一般計(jì)算至3~5次諧波即可)；(3)對(duì)各次諧波單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)分別進(jìn)行求解；(4)求解出的響應(yīng)均用解析式進(jìn)行表示；(5)將電路響應(yīng)中的各次諧波分量進(jìn)行疊加后即為待求響應(yīng)。例已知電路中：零次諧波電壓?jiǎn)为?dú)作用時(shí)，由于直流下C相當(dāng)開(kāi)路，因此I0=0；解例f=50Hz，求i(t)和電流有效值I。一次諧波電壓?jiǎn)为?dú)作用時(shí)，應(yīng)先求出電路中的復(fù)阻抗，然后再求一次諧波電流三次諧波電壓?jiǎn)为?dú)作用時(shí)：五次諧波電壓?jiǎn)为?dú)作用時(shí)：電流解析式根據(jù)疊加定理可求得：電流的有效值：其中三次諧波電壓、電流同相，說(shuō)明電路在三次諧波作用下發(fā)生了串聯(lián)諧振。例：圖(a)的電路,已知uS(t)=15+（2）10cosωt+（2）10cos2ωt(V)。式中ω=103rad/s,求輸出電壓u(t)。解：相量法是用以分析單一頻率的正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法,這時(shí)電路中各處電流、電壓都是同一頻率的正弦量。本例中，電壓源uS由三項(xiàng)不同頻率的信號(hào)組成。根據(jù)疊加定理,我們把uS看作是由三個(gè)不同頻率的電壓源相串聯(lián)而組成的,而uS產(chǎn)生的響應(yīng)是三個(gè)電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。設(shè)uS(t)=uS1(t)+uS2(t)+uS3(t)式中：uS1(t)=15(V)uS2(t)=（2）10cosωt(V)uS3(t)=（2）10cos2ωt（V）下面分別求出uS1、uS2和uS3產(chǎn)生的響應(yīng)。圖(b)是對(duì)不同角頻率的相量模型。(1)uS1單獨(dú)作用于電路。uS1是直流電壓源,它相當(dāng)于ω=0。電感可看作短路,電容可看作開(kāi)路,因而其響應(yīng)u1(t)=uS1(t)=15V(2)uS2單獨(dú)作用于電路。uS2(t)=（2）10cosωt(V)；ω=103rad/s。令uS2所對(duì)應(yīng)的相量為ùS2=10∠0°(V),根據(jù)圖(b)的相量模型有：XL2=ωL=103×0.5=500ΩXC2=1/ωC=1/（103×2×10-6）=500ΩR與C并聯(lián)的阻抗總阻抗Z2=jXL2+ZRC2=250+j250(Ω)輸出電壓相量其瞬時(shí)值為u2(t)=（2）10cos(ωt-90°)=14.1cos(ωt-90°)(V)(3)uS3單獨(dú)作用于電路。uS3(t)=（2）10cos2ωt（V）令uS3所對(duì)應(yīng)的相量為ùS3=10∠0°(V),電源角頻率為2ω=2×103rad/s,由圖(b)的相量模型,有XL3=2ωL=1000ΩXC3=1/（2ωC）

=250ΩR與C并聯(lián)的阻抗總阻抗Z3=jXL3+ZRC3=100+j800(Ω)其瞬時(shí)值為:u3(t)=（2）2.77cos(2ωt-146.3°)=3.92cos(2ωt-146.3°)(V)u1(t)=uS1(t)=15Vu2(t)=（2）10cos(ωt-90°)=14.1cos(ωt-90°)(V)u3(t)=（2）2.77cos(2ωt-146.3°)=3.92cos(2ωt-146.3°)(V)根據(jù)疊加定理,輸出電壓:u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=15+14.1cos(ωt-90°)+3.92cos(2ωt-146.3°)(V)10.5.平均功率的疊加1、瞬時(shí)功率：如圖所示的電路,由疊加定理知,通過(guò)電阻R的電流i是電源uS1與uS2單獨(dú)作用產(chǎn)生的電流i1與i2的疊加,即i(t)=i1(t)+i2(t)電阻吸收的瞬時(shí)功率p(t)=R［i1(t)+i2(t)］2==Ri21(t)+Ri22(t)+2Ri1(t)i2(t)==p1(t)+p2(t)+2Ri1(t)i2(t)式中，p1(t)=Ri21(t)和p2(t)=Ri22(t)分別為uS1和uS2單獨(dú)作用時(shí)電阻吸收的瞬時(shí)功率。一般對(duì)所有的時(shí)間t,i1(t)i2(t)≠0,故p(t)≠p1(t)+p2(t),即疊加定理不適用于計(jì)算瞬時(shí)功率。

p(t)=R［i1(t)+i2(t)］2=p1(t)+p2(t)+2Ri1(t)i2(t)2、平均功率：（1）多個(gè)不同頻率的正弦量的平均功率:設(shè)i1(t)=Im1cos(ω1t+ψ1)i2(t)=Im2cos(ω2t+ψ2)式中,i1的周期為T(mén)1(T1=2π/ω1);i2的周期為T(mén)2(T2=2π/ω2)。如果ω1/ω2=T2/T1=m/n為有理數(shù),那么i1+i2仍然是周期函數(shù),從而瞬時(shí)功率p也是周期函數(shù)。（如果ω1/ω2=T2/T1是無(wú)理數(shù)，那么i1+i2以及瞬時(shí)功率p將不是周期函數(shù)，這里不予討論。）這時(shí)就能求得i1與i2的公共周期T,使T=mT1=nT2。如令ω=2π/T(稱(chēng)為基波角頻率),則有ω1=mω、ω2=nω(分別稱(chēng)為m次諧波和n次諧波的角頻率)。式中,P1和P2分別為uS1和uS2單獨(dú)作用時(shí)電阻吸收的平均功率。上式中第三項(xiàng)：(不同頻率的余弦量乘積據(jù)正交性得零)RIm1Im2cos(ψ1-ψ2)m=n0m≠n=上式表明：若m=n,即ω1=ω2,則平均功率P=P1+P2+RIm1Im2cos(ψ1-ψ2)≠≠P1+P2,就是說(shuō),對(duì)于同頻率的正弦量,其平均功率不能疊加計(jì)算;若m≠n,即不同頻的正弦量，則平均功率P=P1+P2,可以疊加計(jì)算。

在一個(gè)周期T內(nèi),電阻R上的平均功率:結(jié)論：多個(gè)不同頻率(各頻率之比為有理數(shù))的正弦電流(或電壓)形成的總平均功率等于每個(gè)正弦電流(或電壓)單獨(dú)作用時(shí)所形成的平均功率之和。（2）非正弦周期電路的平均功率:如圖的一端口電路,設(shè)其端口電壓、電流分別為：u(t)=U0+Ukcos(kωt+ψu(yù)k)i(t)=I0+

Ikcos(kωt+ψik)式中U0、I0為電壓、電流的直流分量,角頻率為ω(即k=1)的項(xiàng)稱(chēng)為基波,角頻率為kω(k=2,3,…,N)的項(xiàng)稱(chēng)為k次諧波,UK(IK)為k次諧波電壓(電流)的有效值。設(shè)對(duì)各頻率的阻抗角為k=ψu(yù)k-ψik(k=1,2,…,N),則該一端口電路吸收的平均功率為：結(jié)論：非正弦周期電路中的平均功率為直流分量構(gòu)成的功率與各次諧波構(gòu)成的平均功率之和。【例】已知一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)試求該二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率P二端網(wǎng)絡(luò)+_解：3、用周期電流（電壓）的有效值計(jì)算平均功率：周期電流（電壓）作用在電阻上，相當(dāng)于一直流的效果，平均功率為：

周期性非正弦波在用傅立葉級(jí)數(shù)分解出它的直流分量和各次諧波分量后，可用上述公式計(jì)算該非正弦波電流（電壓）的有效值。諧振現(xiàn)象是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種特定的工作狀態(tài)。諧振電路由于其良好的選頻特性,在通信與電子技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。通常的諧振電路由電感、電容和電阻組成。按照電路的組成形式可分為串聯(lián)諧振電路、并聯(lián)諧振電路和雙調(diào)諧回路。12.6.RLC電路的諧振

含有L和C的電路，如果無(wú)功功率得到完全的補(bǔ)償，即端口電壓和電流出現(xiàn)同相現(xiàn)象時(shí)，此時(shí)電路的功率因數(shù)cos

=1，稱(chēng)電路處于諧振狀態(tài)。

諧振電路在無(wú)線(xiàn)電工程和電子測(cè)量技術(shù)等許多電路中應(yīng)用非常廣泛。

1、串聯(lián)電路的諧振右圖為r、L、C組成的串聯(lián)電路,其電源是角頻率為ω(頻率為f)的正弦電壓源,設(shè)電源電壓相量為ùS,其初相為零。串聯(lián)回路的總阻抗

式中電抗：X=ωL-（1/C）串聯(lián)電路中的電流相量：其模和相角分別為由以上關(guān)系可以看出,在電路參數(shù)r、L、C一定的條件下,當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的角頻率ω變化時(shí),感抗ωL隨ω增高而增大,容抗1/(ωC)隨ω增高而減小。所以總電抗X=ωL-1/(ωC)也隨頻率而變化,右圖畫(huà)出了感抗、容抗、總電抗X和阻抗的模值|Z|隨角頻率變化的情況。由圖可見(jiàn),當(dāng)頻率較低時(shí),ωL<1/(ωC),電抗X為負(fù)值,電路呈容性。因而電流超前于電壓ùS,如圖(a)所示。隨著頻率的逐漸升高,|X|減小,從而阻抗的模值也減小,電流的模值增大。當(dāng)電源角頻率改變到某一值ω0時(shí),使ω0L=1/(ω0C),這時(shí)電抗X等于零,阻抗的模|Z|達(dá)最小值。這時(shí)電流達(dá)最大值,且與電源電壓ùS同相。其相量關(guān)系如圖(b)所示。如電源頻率繼續(xù)升高,則ωL>1/(ωC),電抗為正值,電路呈感性。因而電流落后于電壓,其相量關(guān)系如圖(c)所示。當(dāng)回路電抗等于零,電流與電源電壓同相時(shí),稱(chēng)電路發(fā)生了串聯(lián)諧振。這時(shí)的頻率稱(chēng)為串聯(lián)諧振頻率,用f0表示,相應(yīng)的角頻率用ω0表示。電路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí),有X=ω0L-1/（0C）=0故得諧振角頻率ω0及諧振頻率f0分別為

由上式可知,電路的諧振頻率僅由回路元件參數(shù)L和C決定,而與激勵(lì)無(wú)關(guān),但僅當(dāng)激勵(lì)源的頻率等于電路的諧振頻率時(shí),電路才發(fā)生諧振現(xiàn)象。諧振反映了電路的固有性質(zhì)。除改變激勵(lì)頻率使電路發(fā)生諧振外,實(shí)際中，經(jīng)常通過(guò)改變電容或電感參數(shù)使電路對(duì)某個(gè)所需頻率發(fā)生諧振,這種操作稱(chēng)為調(diào)諧。譬如,收音機(jī)選擇電臺(tái)就是一種常見(jiàn)的調(diào)諧操作。當(dāng)rLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí),電抗X=0,故阻抗為純阻性,且等于r,阻抗模最小。若諧振時(shí)的阻抗用Z0表示,則有Z0=r諧振時(shí)的感抗與容抗數(shù)值相等,其值稱(chēng)為諧振電路的特性阻抗,用ρ表示,即ρ=ω0L=可見(jiàn)，特性阻抗是一個(gè)僅由電路參數(shù)決定的量。在工程中,通常用電路的特性阻抗ρ與回路的電阻r的比值來(lái)表征諧振電路的性質(zhì),此比值稱(chēng)為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)用Q表示（品質(zhì)因數(shù)和無(wú)功功率符號(hào)相同，注意不要混淆）。即：

它是一個(gè)無(wú)量綱的量。其含義稍后說(shuō)明。此時(shí),電流ì0與ùS同相,并且I0達(dá)到最大值。諧振時(shí),各元件電壓分別為諧振時(shí)：可見(jiàn),諧振時(shí),電感電壓和電容電壓的模值相等,均為激勵(lì)電壓的Q倍,即UL0=UC0=QUS,但相位相反，故相互抵消。這時(shí),激勵(lì)電壓US全部加到電阻r上,電阻電壓Ur達(dá)到最大值。實(shí)際中的串聯(lián)諧振電路,通常Q值可達(dá)幾十到幾百。因此諧振時(shí)電感和電容上的電壓值可達(dá)激勵(lì)電壓的幾十到幾百倍,所以,串聯(lián)諧振又稱(chēng)電壓諧振。

在通信和電子技術(shù)中,傳輸?shù)碾妷盒盘?hào)很弱,利用電壓諧振現(xiàn)象可獲得較高的電壓,但在電力工程中,這種高壓有時(shí)會(huì)使電容器或電感線(xiàn)圈的絕緣被擊穿而造成損害,因此常常要避免諧振情況或接近諧振情況的發(fā)生。2、品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)Q通?？啥x為,在正弦穩(wěn)態(tài)條件下,元件或諧振電路儲(chǔ)能的最大值與其在一個(gè)周期內(nèi)所消耗能量之比的2π倍,即

首先討論電感線(xiàn)圈和電容器的品質(zhì)因數(shù)：當(dāng)考慮電感線(xiàn)圈的能量損耗時(shí),其電路模型如圖(a)所示。如果通過(guò)它的電流i=（2）Icosωt電感的儲(chǔ)能為其最大儲(chǔ)能為L(zhǎng)I2。一周期內(nèi)線(xiàn)圈電阻r所消耗的能量為I2rT=I2r/f(式中T為周期,f為頻率)。根據(jù)定義式,電感線(xiàn)圈的品質(zhì)因數(shù)電容器的品質(zhì)因數(shù)的討論方法與此類(lèi)似：

當(dāng)考慮電容器的能量損耗時(shí),其電路模型如圖(b)所示。當(dāng)用電感線(xiàn)圈與電容器組成串聯(lián)諧振電路時(shí),通常,電容器的損耗較電感線(xiàn)圈的損耗小得很多,可以忽略不計(jì),這時(shí)的串聯(lián)諧振電路如圖(c)所示。現(xiàn)在考慮諧振電路的能量關(guān)系設(shè)諧振時(shí)電路中的電流為則電感的瞬時(shí)儲(chǔ)能為

諧振時(shí)電容電壓的振幅為,其相位落后于電流π/2,于是電容的瞬時(shí)儲(chǔ)能為以上幾式表明,電感與電容元件儲(chǔ)能的最大值相等。串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)總的瞬時(shí)儲(chǔ)能w0等于兩個(gè)儲(chǔ)能元件的瞬時(shí)儲(chǔ)能之和,即

換句話(huà)說(shuō)，在串聯(lián)諧振狀態(tài)下，由于電感元件兩端的電壓與電容元件兩端的電壓大小相等、相位相反，因此，電感元件儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量時(shí)，恰逢電容元件放電；電感元件釋放磁場(chǎng)能量時(shí)又恰逢電容元件充電，兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件上不斷地進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換，在整個(gè)串聯(lián)諧振的過(guò)程中，存儲(chǔ)能量的總和始終保持不變。

諧振電路中任意時(shí)刻t的電磁能量恒為常數(shù)，說(shuō)明電路諧振時(shí)與激勵(lì)源之間確實(shí)無(wú)能量交換。只是電容與電感之間存在電磁能量的相互交換。設(shè)串諧時(shí)回路電流為：電阻上的瞬時(shí)功率為：電源向電路供出的瞬時(shí)功率為：可見(jiàn)，諧振狀態(tài)下電源供給電路的有功功率全部消耗在電阻元件上。又：諧振時(shí),電路中只有電阻r消耗能量,一周期內(nèi)電阻r所消耗的能量為I20rT0=I20r/f0。根據(jù)定義式,諧振電路諧振時(shí)的品質(zhì)因數(shù)

由此可見(jiàn),諧振電路的Q值實(shí)質(zhì)上描述了諧振時(shí)電路的儲(chǔ)能和耗能之比。必須指出,諧振電路的品質(zhì)因數(shù)僅在諧振時(shí)才有意義,在失諧情況下,

品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系式不再適用。這就是說(shuō),計(jì)算電路Q(chēng)值時(shí)應(yīng)該用諧振角頻率ω0。3、頻率響應(yīng)輸出電壓可以取自電容、電感或電阻。這里進(jìn)一步研究串聯(lián)諧振電路的頻率特性。ùiùR下降到最大值的70.7%時(shí)，兩個(gè)頻率點(diǎn)稱(chēng)為上半頻率點(diǎn)1和下半頻率點(diǎn)2，定義通頻帶BW=2-1由：即：電阻越小，電感越大，通帶越窄。實(shí)踐和理論都可以證明：顯然通頻帶B和品質(zhì)因數(shù)Q是一對(duì)矛盾，實(shí)際當(dāng)中如何兼顧二者，應(yīng)具體情況具體分析。幅頻和相頻特性曲線(xiàn),常稱(chēng)為諧振電路的諧振曲線(xiàn)。（BW=2-1=R/L）由相頻特性知：=0，=00<0，>0，容性[ùR(即

ì）超前ùi

]，>0，<0，感性諧振曲線(xiàn)：諧振電路對(duì)頻率具有選擇性,其Q值越高,幅頻曲線(xiàn)越尖銳,電路對(duì)偏離諧振頻率的信號(hào)的抑制能力越強(qiáng),電路的選擇性越好。常用諧振電路從許多不同頻率的各種信號(hào)中選擇所需信號(hào)?？墒菍?shí)際信號(hào)都占有一定的帶寬,由于帶寬與Q成反比,所以Q過(guò)高,電路帶寬則過(guò)窄,這樣將會(huì)過(guò)多地削弱所需信號(hào)中的主要頻率分量,引起嚴(yán)重失真。如廣播電臺(tái)的信號(hào)占有一定的帶寬,收音機(jī)為選擇某個(gè)電臺(tái)信號(hào)所用的諧振電路應(yīng)同時(shí)具備兩方面功能：一方面從減小信號(hào)失真的角度出發(fā),要求電路通頻帶范圍內(nèi)的特性曲線(xiàn)盡可能平坦些,以使信號(hào)通過(guò)回路后各頻率分量的幅度相對(duì)值變化不大,為此Q值低些較好;另一方面從抑制臨近電臺(tái)信號(hào)的角度出發(fā),要求電路對(duì)不需要的信號(hào)各頻率成分能提供足夠大的衰減,為此Q值越高越好。實(shí)際設(shè)計(jì)中,必須根據(jù)需要選擇適當(dāng)?shù)腝值以兼顧這兩方面的要求．回路電流與頻率的關(guān)系曲線(xiàn)RLC串諧電路諧振時(shí)的電流電路諧振時(shí)，串諧電路中的電流達(dá)到最大，為了便于比較不同參數(shù)下串諧電路的特性，有：稱(chēng)相對(duì)頻率特性上式表示在直角坐標(biāo)系中，即可得到I—ω諧振特性曲線(xiàn)如下圖所示：11ω00ωI0IQ小Q大從I—ω諧振特性曲線(xiàn)可看出，電流的最大值I0出現(xiàn)在諧振點(diǎn)ω0處，只要偏離諧振角頻率，電流就會(huì)衰減，而且衰減的程度取決于電路的品質(zhì)因數(shù)Q。即：Q大電路的選擇性好；Q小電路的選擇性差。串聯(lián)諧振小結(jié)：一、諧振條件與諧振頻率：諧振條件：諧振頻率：或諧振產(chǎn)生方法：

1）信號(hào)源給定，改變電路參數(shù)；2）電路給定，改變信號(hào)源頻率。二、諧振參數(shù)：1、諧振阻抗：諧振時(shí)電路的輸入阻抗Z0

串聯(lián)諧振電路：Z0=R3、品質(zhì)因數(shù)：2、特征阻抗：諧振時(shí)的感抗或容抗。

串聯(lián)諧振電路：三、串聯(lián)諧振特性1）阻抗最?。篫0=R2)

ψu(yù)-ψ

i=03)cos=14)電流達(dá)到最大值：

Im=U/R5)L、C端出現(xiàn)過(guò)電壓:

UL=UC=QU6)相量圖（電流與電壓同相位）?四、頻率特性：1、阻抗頻率特性：其中：電路各個(gè)物理量隨激勵(lì)信號(hào)頻率變化的特性。2、導(dǎo)納頻率特性：3、電流頻率特性其中：4、電壓頻率特性：以UL為例：頻率增加，I0下降，ωL增加，所以峰值出現(xiàn)在ω0之后。5、相對(duì)頻率特性：

（通用頻率特性、歸一化頻率特性）

116、Q對(duì)頻率特性的影響：118、通頻帶：

7、選擇性：選擇有用信號(hào)、抑制無(wú)用信號(hào)的能力。例1：一串聯(lián)諧振電路,L=50μH,C=200pF,回路品質(zhì)因數(shù)Q=50,電源電壓US=1mV。求電路的諧振頻率、諧振時(shí)回路中的電流I0和電容上的電壓UC0以及帶寬BＷ。解：電路的諧振頻率為求出諧振時(shí)的電流,可先求出回路的損耗電阻r。諧振時(shí)的電流諧振時(shí)電容電壓UC0=QUS=50×10-3=50mV為電源電壓US的50倍。電路的帶寬BW=r/L=2×105rad/s例2:如圖所示諧振電路,已知Q=50，Us1=1mV,f1=540kHz；Us2=1mV,f2=600kHz.求Uc。解：R310H280pF可見(jiàn)，f1=fo電路對(duì)540kHz諧振電路對(duì)600kHz處于失諧：+uc-例3RLC串諧回路中的L=310μH，欲接收載波f=540KHz的電臺(tái)信號(hào)，問(wèn)這時(shí)的調(diào)諧電容C=？若回路解Q=50時(shí)該臺(tái)信號(hào)感應(yīng)電壓為1mV，同時(shí)進(jìn)入調(diào)諧回路的另一電臺(tái)信號(hào)頻率為600KHz，其感應(yīng)電壓也為1mV，問(wèn)兩信號(hào)在回路中產(chǎn)生的電流各為多大？(1)由諧振頻率公式可得：(3)600KHz的信號(hào)在回路中產(chǎn)生的電流為：此例說(shuō)明，當(dāng)信號(hào)源的感應(yīng)電壓值相同、而頻率不同時(shí)，電路的選擇性使兩信號(hào)在回路中所產(chǎn)生的電流相差10倍以上。因此，電流小的電臺(tái)信號(hào)就會(huì)被抑制掉，而發(fā)生諧振的電臺(tái)信號(hào)自然就被選擇出來(lái)。(2)540KHz的信號(hào)在回路中產(chǎn)生的是諧振電流：收音機(jī)接收電路串聯(lián)諧振應(yīng)用舉例其中：L1：收音機(jī)接收電路的接收天線(xiàn)；L2和C：組成收音機(jī)的諧振電路；L3：將選擇出來(lái)的電臺(tái)信號(hào)送到接收電路。e1RL2L2e2e3C三個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)來(lái)自于三個(gè)不同的電臺(tái)在空中發(fā)射的電磁波。L2和C組成收音機(jī)選頻（調(diào)臺(tái)）電路，通過(guò)調(diào)節(jié)不同的C值選出所需電臺(tái)。問(wèn)題：如果要收聽(tīng)e1節(jié)目，C應(yīng)調(diào)節(jié)為多大？e1RL2L2e2e3C已知：L2=250μH，RL2=20Ω，f1=820KHz。分析結(jié)論：當(dāng)C調(diào)到150pF時(shí)，即可收到e1的節(jié)目。4、GCL并聯(lián)諧振

串聯(lián)諧振電路僅適用于信號(hào)源內(nèi)阻較小的情況,如果信號(hào)源內(nèi)阻較大,將使電路Q(chēng)值過(guò)低,以至電路的選擇性變差。這時(shí),為了獲得較好的選頻特性,常采用并聯(lián)諧振電路。下圖是GCL并聯(lián)諧振電路,它是RLC串聯(lián)諧振電路的對(duì)偶電路,因此它的一些結(jié)果都可由串聯(lián)諧振電路對(duì)偶地得出。對(duì)此,下面將作簡(jiǎn)略的討論。

Y=G+jB=G+j（ω0C–1／ω0L）式中電導(dǎo)G=1/R。當(dāng)電納B=0時(shí),電路的端電壓ù與激勵(lì)ìS同相,稱(chēng)為并聯(lián)諧振。這時(shí)的頻率稱(chēng)為并聯(lián)諧振頻率,用f0表示,角頻率用ω0表示。于是在并聯(lián)諧振時(shí)有可得諧振角頻率ω0和頻率f0分別為ω0=f0=在并聯(lián)諧振時(shí),由于B=0,故諧振導(dǎo)納Y0=G=并聯(lián)電路的總導(dǎo)納為這時(shí)導(dǎo)納為最小值,且為電阻性,而諧振阻抗為最大值,

且為電阻性。諧振時(shí),感納1/ω0L與容納ω0C相等,因而感抗ω0L和容抗1/ω0C也相等,稱(chēng)為諧振電路的特性阻抗,即ρ=ω0L=并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)為（與串聯(lián)相比：）諧振時(shí),回路的端電壓為最大值。這時(shí)各支路電流分別為可見(jiàn),并聯(lián)諧振時(shí),電容電流和電感電流的模值都等于QIS,但相位相反,故相互抵消（參見(jiàn)后圖(b)）。根據(jù)這一特點(diǎn),并聯(lián)諧振也稱(chēng)為電流諧振。這時(shí)電源電流全部通過(guò)電導(dǎo)G,電導(dǎo)電流IG達(dá)最大值。在不同頻率時(shí),各支路電流與電壓的相量關(guān)系如圖所示。由圖可見(jiàn),當(dāng)ω<ω