光的電磁理論基礎(chǔ)

光的電磁理論基礎(chǔ)第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日因此本課程的結(jié)構(gòu)安排主要突出了以下幾點(diǎn)：

光的電磁理論基礎(chǔ)——波動(dòng)方程，光波在無界空間(真空及無限大均勻各向同性介質(zhì))中的傳播，光波在界面上(介質(zhì)及金屬)的反射和折射特性，光波在有界空間(波導(dǎo))中的傳播，光波在各向異性介質(zhì)空間(晶體)中的傳播，光波場(chǎng)的疊加與相干性，光子特性等。上述內(nèi)容基本上包含了現(xiàn)代光學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)內(nèi)容。希望本課程在強(qiáng)調(diào)光學(xué)的系統(tǒng)性、簡(jiǎn)潔性、時(shí)代性及應(yīng)用性的同時(shí)，能夠以全新的概念給同學(xué)建立起一個(gè)從經(jīng)典光學(xué)到現(xiàn)代光學(xué)的簡(jiǎn)明的系統(tǒng)理論構(gòu)架。為后續(xù)的相關(guān)課程，奠定必要的理論基礎(chǔ)。第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日教材及學(xué)生必讀參考資料：1．教材：趙建林，高等光學(xué)，國防工業(yè)出版社季家镕，高等光學(xué)教程，科學(xué)出版社

M.波恩、E.沃耳夫，光學(xué)原理，科學(xué)出版社2．參考書籍、資料：謝建平，近代光學(xué)基礎(chǔ)，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社蘇顯渝、李繼陶，信息光學(xué)，科學(xué)出版社朱自強(qiáng)等，現(xiàn)代光學(xué)教程，四川大學(xué)出版社鐘錫華，現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)，北京大學(xué)出版社第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第1章光的電磁理論基礎(chǔ)

按照經(jīng)典物理學(xué)觀點(diǎn)，光是一種波長(zhǎng)極短的電磁波。光的傳播與電磁波的傳播服從同一規(guī)律。光與物質(zhì)相互作用現(xiàn)象實(shí)際上就是電磁場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的結(jié)果。也就是說，一切經(jīng)典的光現(xiàn)象，如干涉、衍射、偏振、反射、折射、色散、成像等，均可以由電磁場(chǎng)理論給以解釋。所以，討論光的經(jīng)典傳播問題時(shí)，都以電磁場(chǎng)理論為其基礎(chǔ)，而電磁場(chǎng)理論又以麥克斯韋（Maxwell)方程組為基礎(chǔ)，故麥克斯韋方程組是研究光波傳播規(guī)律的基礎(chǔ)之基礎(chǔ)。本章將從麥克斯韋方程組出發(fā)，建立自由空間光波場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程。第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.1電磁場(chǎng)的基本方程1．1．1麥克斯韋方程組眾知，描述電磁場(chǎng)的主要特征量是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E、電位移矢量D、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B及磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。其中E和B為基本特征量，D

和H

為輔助量（所有矢量均以粗體表示）。電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間由麥克斯韋方程組相聯(lián)系，其積分形式包括如下4個(gè)方程：第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

方程組第1式來自法拉第(Faraday)電磁感應(yīng)定律，其實(shí)質(zhì)即變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生變化的電場(chǎng)。微分式(1．1．2a)的意義是電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率(負(fù)值)。對(duì)上述積分應(yīng)用斯托克斯公式和高斯公式：可得到微分形式的麥克斯韋方程組:第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日方程組第2式來自安培(Ampere)環(huán)路定律，其實(shí)質(zhì)即由電流場(chǎng)或變化的電場(chǎng)產(chǎn)生變化的磁場(chǎng)。其中積分式(1．1．1b)的意義是磁場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合環(huán)路的積分等于該環(huán)路所包圍的電流強(qiáng)度之代數(shù)和。這些電流包括傳導(dǎo)電流和位移電流兩部分，前者代表穩(wěn)恒電流場(chǎng)，后者代表變化的電場(chǎng)。微分式(1．1．2b)的意義是磁場(chǎng)強(qiáng)度之旋度等于引起該磁場(chǎng)的傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度之和。方程組第3式來自電場(chǎng)的高斯(Gauss)定理。其中積分式(1．1．1c)的意義是穿過閉合曲面的電位移通量等于該曲面所包圍空間體積內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。微分式(1．1．2c)的意義是電位移矢量的散度等于空間同一處的自由電荷密度。方程組第4式來自磁場(chǎng)的高斯定理。其中積分式(1．1．1d)的意義是穿過任一閉合曲面的磁感應(yīng)通量等于0。微分式(1．1．2d)的意義是磁場(chǎng)中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度之散度恒等于0。第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日可以看出：由麥克斯韋方程組給出的4個(gè)場(chǎng)量中1）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E是一個(gè)渦旋場(chǎng)，相應(yīng)的電位移矢量D則是一個(gè)有源場(chǎng)，這與靜電場(chǎng)不同。2）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H

與磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B均是一個(gè)有旋無源場(chǎng)?？梢宰C明，4個(gè)方程式中只有2個(gè)是獨(dú)立的。分別對(duì)(1．1．2a)式和(1．1．2b)式取散度，可得：顯然，由（1.1.3)式直接可得出(1.1.2d)式；由（1.1.4)式并利用電荷守恒定律即可得出(1.1.2c)式。第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日綜上所述，僅由麥克斯韋方程組給出的這4個(gè)方程還不足以求解出描述電磁場(chǎng)的4個(gè)場(chǎng)量E

、D

、B和H

。為此，還需給出4個(gè)場(chǎng)量之間的關(guān)系。一般地，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E與電位移矢量D

、磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H

之間的關(guān)系與電磁場(chǎng)所處的空間介質(zhì)有關(guān)，因而稱這些關(guān)系為電磁場(chǎng)的物質(zhì)方程或介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程。1.1.2電磁場(chǎng)的物質(zhì)方程

(1)真空中式中分別稱為真空介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率。第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(2)均勻各向同性介質(zhì)中進(jìn)入某種介質(zhì)的電磁場(chǎng)將與該介質(zhì)發(fā)生相互作用，最終導(dǎo)致介質(zhì)被極化。當(dāng)這種極化僅取決于作用場(chǎng)強(qiáng)大小，而與場(chǎng)量的作用方向及位置無關(guān)時(shí)，則稱這種介質(zhì)為均勻各向同性介質(zhì)。極化特性與作用場(chǎng)頻率無關(guān)的介質(zhì)稱為無色散介質(zhì)，與作用場(chǎng)頻率有關(guān)的介質(zhì)稱為色散介質(zhì)。式中和分別稱為介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，分別稱為介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率。

在線性極化條件下，對(duì)于均勻各向同性的無色散介質(zhì)，電磁場(chǎng)的物質(zhì)方程可表示為：第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日

對(duì)于均勻各向同性的色散介質(zhì)，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率一般是電磁場(chǎng)頻率的函數(shù)。此時(shí)，上述物質(zhì)方程只對(duì)單個(gè)頻率成立(場(chǎng)量?jī)H對(duì)應(yīng)單個(gè)頻率成分)，即：(1.1.8a)(1.1.8b)第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

對(duì)于一個(gè)具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場(chǎng):物質(zhì)方程不再成立。對(duì)于一般非磁性介質(zhì):

對(duì)于導(dǎo)電介質(zhì)(導(dǎo)體)，還有如下方程：

(1．1．9)此即歐姆定律的微分式，其中稱為導(dǎo)體的電導(dǎo)率。第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

(3)非均勻各向同性介質(zhì)中非均勻各向同性介質(zhì)中，電磁場(chǎng)的極化與方向無關(guān)，但與作用位置及場(chǎng)強(qiáng)大小有關(guān)。因而其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是位置矢量的函數(shù)，于是有：第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(4)均勻各向異性介質(zhì)中均勻各向異性介質(zhì)的特點(diǎn)是：電磁場(chǎng)的極化與作用位置無關(guān)，但與方向有關(guān)。因而電位移矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，一般可表示為：式中為二階張量，稱為介電張量。一般情況下，介電張量由9個(gè)非0元素構(gòu)成，即：若選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)方向，如以晶體的介電主軸為坐標(biāo)軸(簡(jiǎn)稱主坐標(biāo)系)，則介電張量可簡(jiǎn)化為一個(gè)只有3個(gè)非0元素的對(duì)角張量，即：(1.1.11)第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日對(duì)于雙軸晶體，其在主坐標(biāo)系的3個(gè)介電張量元素互不相等。為便于討論，一般按大小順序確定其角標(biāo)，即或。前者稱為正晶體，后者稱為負(fù)晶體。對(duì)于單軸晶體，其在主坐標(biāo)系的介電張量元素，因而介電張量還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

綜上所述，電磁場(chǎng)的物質(zhì)方程反映了所處介質(zhì)的宏觀電磁性質(zhì)。

在真空以及各向同性介質(zhì)中，電位移矢量D與電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E之間、磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H之間均呈現(xiàn)線性關(guān)系，且方向一致；

在各向異性介質(zhì)中，D與E及B與H之間仍呈現(xiàn)線性關(guān)系，但方向卻一般不同。然而必須注意，上述給出的D與E及B與H之間的線性關(guān)系只在一般的弱電磁場(chǎng)中成立。在強(qiáng)電磁場(chǎng)作用下，許多介質(zhì)會(huì)呈現(xiàn)更為復(fù)雜的非線性關(guān)系。亦即D

不僅與E的一次方有關(guān)，而且還與E的二次、三次甚至更高次方有關(guān)。在鐵磁物質(zhì)中，B與H的關(guān)系也呈現(xiàn)非線性特征。此外，近年來發(fā)現(xiàn)的各種光折變介質(zhì)中，盡管作用光場(chǎng)很弱，但卻同樣呈現(xiàn)非線性特征。所有這些內(nèi)容均屬于非線性光學(xué)范疇。第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．1．3電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系當(dāng)電磁場(chǎng)穿越兩種介質(zhì)的分界面時(shí)，一般來講，會(huì)在分界面上引起束縛面電荷和電流分布，從而使分界面兩側(cè)電磁場(chǎng)量發(fā)生躍變而不連續(xù)。因此，研究電磁場(chǎng)在有界空間的特性時(shí)，有必要先確定出分界面兩側(cè)電磁場(chǎng)量與分界面上電荷、電流分布的關(guān)系。這一關(guān)系可由積分形式的麥克斯韋方程組給出，即：式中n為界面法線方向單位矢量，為界面上的傳導(dǎo)電流線密度，為自由電荷體密度。當(dāng)不存在自由電荷、電流分布時(shí)，(1．1．15)式可簡(jiǎn)化為：第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日式中n、t分別表示場(chǎng)的法向和切向分量。上式表明，當(dāng)界面上不存在自由電荷、電流分布時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量在切線方向連續(xù)，電位移矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量在法線方向連續(xù)。第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2無源空間中的電磁波動(dòng)方程

當(dāng)空間無自由電荷、傳導(dǎo)電流分布時(shí)，即時(shí)，則麥克斯韋方程組可簡(jiǎn)化為如下形式：

可見，在無源空間中，磁場(chǎng)與電場(chǎng)的分布具有類似的形式，且麥克斯韋方程組為齊次形式。第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日

空間為真空取上述齊次麥克斯韋方程組中(1．2．1a)式的旋度并利用物質(zhì)方程(1．1．7)式，可得：分別將(1．2．1b)式和(1．2．1c)式代入(1．2．2)式的右、左端，并利用物質(zhì)方程(1．1．6)式得：由此得到電場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程為：第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日取常數(shù)：則波動(dòng)方程式(1．2．3a)和(1．1．3b)可化簡(jiǎn)為：顯然，這對(duì)方程給出了一組在真空中隨時(shí)間和空間作周期性變化的電磁波動(dòng)。式中的常數(shù)c正是該波動(dòng)在真空中的傳播速度，它等于真空介電常數(shù)與真空磁導(dǎo)率兩者乘積開方的倒數(shù)。第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日表示電磁場(chǎng)在介質(zhì)中的傳播速度，其中最后一個(gè)等號(hào)成立于非磁性物質(zhì)中。1.2.2空間為無色散的均勻各向同性介質(zhì)對(duì)于均勻各向同性的無色散介質(zhì)，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率與電磁場(chǎng)的頻率無關(guān)，于是有：(1.2.6)其中：(1.2.7)第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2.3空間為有色散的均勻各向同性介質(zhì)

對(duì)于色散介質(zhì)，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是電磁場(chǎng)頻率的函數(shù)。這樣，一個(gè)具有各種頻率成分的非正弦變化的電磁場(chǎng)(非定態(tài)場(chǎng))，其場(chǎng)量E(t)和D(t)、B(t)和H(t)之間不再具有物質(zhì)方程所確定的簡(jiǎn)單線性關(guān)系，因而在此類介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量E(t)和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B(t)不再滿足由(1.2.6)式所確定的波動(dòng)方程。然而，按照線性疊加原理，一個(gè)隨時(shí)間任意變化的非定態(tài)波場(chǎng)可以看成是由各種具有恒定頻率成分的簡(jiǎn)諧波場(chǎng)(定態(tài)波場(chǎng)或單色波場(chǎng))的線性疊加。假設(shè)某一定態(tài)電磁波場(chǎng)的圓頻率為，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量分別表示為：(1.2.8)第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日則一個(gè)非定態(tài)場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量可分別表示為：(1.2.9)單色波的波動(dòng)方程應(yīng)具有與(1.2.6)式相同的形式，即：(1.2.10)第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日所不同的是(1.2.10)式中的速度只對(duì)應(yīng)于圓頻率為的單色波場(chǎng)。將(1.2.8)式代入(1.2.10)式并消去時(shí)間因子，可得：此即一定頻率的電磁波所滿足的基本方程——定態(tài)波動(dòng)方程，通常稱之為亥姆霍茲(Helmholtz)方程。亥姆霍茲方程的解E(r)、B(r)表征了給定頻率的電磁波場(chǎng)在空間的分布情況，每一種可能的形式稱為電磁波的一種模式或波型。式中k表示圓頻率為的單色波的(角)波數(shù)。其值為：(1.2.10)(1.2.11)第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日注意:

由于在導(dǎo)出方程式(1．2．11)的過程中曾利用了條件和，而亥姆霍茲方程本身的解并不能保證和成立，故亥姆霍茲方程的解必須再加上條件和，才代表電磁波場(chǎng)的解。其次，求解定態(tài)波動(dòng)方程時(shí)，實(shí)際上只需要求解其中的一個(gè)場(chǎng)量(E或B)方程，而另一個(gè)場(chǎng)量則可以直接根據(jù)麥克斯韋方程組導(dǎo)出。如若已知E(或B)矢量的解，則將其代入麥克斯韋方程組，便可得B(或E)矢量的解為：第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.2.4空間為無色散的非均勻各向同性介質(zhì)對(duì)于無色散的非均勻各向同性介質(zhì)，代入麥克斯韋方程組第3式得：再取麥克斯韋方程組第1式的旋度并將上式代入，得：第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日同樣，由麥克斯韋方程組第4式得：對(duì)麥克斯韋方程組第2式取旋度并將上式代入，得：第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日即：因此，對(duì)于無色散的非均勻各向同性介質(zhì)，波動(dòng)方程為：第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.3有源空間中的電磁波動(dòng)方程第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.3.1電磁場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)

麥克斯韋方程組第4式表明，無論對(duì)穩(wěn)恒場(chǎng)還是迅變場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的散度始終等于0，因此，磁場(chǎng)是一個(gè)有旋無源場(chǎng)。由矢量分析理論可知，散度等于0的矢量可以看作是某個(gè)矢量A的旋度，故可將磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B表示為：(1.3.1)這里定義矢量A為電磁場(chǎng)的矢勢(shì)。

在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)是一保守場(chǎng)，故電場(chǎng)強(qiáng)度可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)即電勢(shì)來描述。在迅變場(chǎng)中，電場(chǎng)不僅由電荷激發(fā)，而且也可能由變化的磁場(chǎng)激發(fā)，因而不再是一個(gè)保守場(chǎng)，但也不是一個(gè)有旋無源場(chǎng)。這樣，電場(chǎng)就不能用一個(gè)單一的標(biāo)量或矢量來描述。將上式代入麥克斯韋方程組第1式得：第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日顯然，為一無旋場(chǎng)，故可表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即：與矢勢(shì)A對(duì)應(yīng)，這里定義函數(shù)為電磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)。1.3.2洛倫茲規(guī)范與庫侖規(guī)范標(biāo)勢(shì)的引入僅僅是為了簡(jiǎn)化電磁場(chǎng)問題的求解，并不具有電勢(shì)能的意義，因?yàn)檫@里的電場(chǎng)E并非保守場(chǎng)。在變化著的電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互作用的整體，故需把矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)也作為一個(gè)整體來描述電磁場(chǎng)。然而必須注意，用矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)可以替代電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B描述電磁場(chǎng)，但這種代替并不是唯一的，即給定E和B并不對(duì)應(yīng)唯一的A和。這是因?yàn)楫?dāng)(1.3.2)式成立時(shí)，若給其加上任意一個(gè)滿足的矢量函數(shù)時(shí)，同樣有：第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日故仍然不能解出一個(gè)確定的E。因此，需要對(duì)矢勢(shì)A加上一個(gè)約束條件，或曰規(guī)范。常用的規(guī)范條件有兩種，即洛倫茲規(guī)范和庫侖(Coulomb)規(guī)范，分別表示為：在這種規(guī)范下，矢勢(shì)A為無源場(chǎng)，因而(1.3.4)式中第2項(xiàng)()也為無源場(chǎng)，而第1項(xiàng)()為無旋場(chǎng)。前者對(duì)應(yīng)于感應(yīng)電場(chǎng)，即變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)，而后者則對(duì)應(yīng)于庫侖場(chǎng)。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日顯然，由(1.3.6)式和(1.3.7)式給出的不同規(guī)范條件對(duì)應(yīng)著不同的一組矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)解(A，)，但卻對(duì)應(yīng)著同一組電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B。這說明用勢(shì)函數(shù)描述電磁場(chǎng)時(shí)，可以有不同的規(guī)范選擇。但無論對(duì)勢(shì)函數(shù)取何種規(guī)范，所描述的物理量和物理規(guī)律都應(yīng)保持不變，這種不變性稱為規(guī)范不變性。

從數(shù)學(xué)上也可以這樣來理解這種規(guī)范變換的自由性：在引入矢勢(shì)A時(shí)只給出了其旋度而沒有給出其散度，而僅有旋度是不足以確定一個(gè)矢量場(chǎng)的。為了確定矢勢(shì)A，必須再給出其散度。而電磁場(chǎng)E和B本身對(duì)A的散度并沒有任何限制。因此作為確定矢勢(shì)A的輔助條件，我們可以取其散度為任意值，每一種選擇就對(duì)應(yīng)一種規(guī)范，但不同規(guī)范又都對(duì)應(yīng)著同一組E和B。至于實(shí)際中究竟選取哪一種規(guī)范，要視所求解問題的方便而定。第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)的引入并采取適當(dāng)?shù)囊?guī)范條件可使基本方程的求解得到簡(jiǎn)化。滿足洛倫茲規(guī)范條件的矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)稱為洛倫茲規(guī)范下的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。將洛倫茲規(guī)范分別代入麥克斯韋方程組的第2和第3式，并利用物質(zhì)方程，可分別得到A和滿足的波動(dòng)方程