角的概念及任意角的三角函數(shù) 課件

第一節(jié)角的概念及任意角的三角函數(shù)三年3考高考指數(shù):★★1.了解任意角的概念、弧度的意義；2.能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算；3.理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；4.了解余切、正割、余割的定義.

1.弧度與角度的換算及任意角的三角函數(shù)定義是本節(jié)的重點(diǎn)，三角函數(shù)定義的應(yīng)用是難點(diǎn);2.本節(jié)一般不會(huì)單獨(dú)命題，但本節(jié)內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).1.任意角的相關(guān)概念(1)任意角①定義：角可以看成平面內(nèi)__________繞著_____從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.②分類：正角、_____和_____.(2)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=_________________}.一條射線端點(diǎn)負(fù)角零角α+k·360°，k∈Z(3)象限角象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}【即時(shí)應(yīng)用】思考：(1)始邊和終邊都分別相同的兩個(gè)角一定相等嗎？(2)α=k·360°+90°(k∈Z)是第幾象限角?(3)在平面直角坐標(biāo)系中，始邊與x軸正半軸重合的60°與120°角的終邊有什么關(guān)系？提示：(1)不一定，始邊和終邊都分別相同的兩個(gè)角可能相等，也可能相差360°的整數(shù)倍.(2)不是任何象限的角，α=k·360°+90°(k∈Z)是終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角，不是任何象限的角.(3)關(guān)于y軸對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合易知.2.角度制與弧度制(1)角度制與弧度制的互化360°=___rad,1°=____rad,1rad=()°≈57.30°=_______.(2)扇形的弧長(zhǎng)與面積設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角為α(rad),半徑為r,面積為S,則l=______;S=______.2π57°18′|α|r【即時(shí)應(yīng)用】(1)30°=_____rad，45°=_____rad,60°=_____rad,90°=_____rad.(2)=_____°，=_____°.(3)半徑為1,圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)為____，面積為____.【解析】(1)30°=,同理可得45°=,60°=,90°=.(2)(3)∵120°角的弧度數(shù)為,∴弧長(zhǎng)，面積S=.答案：(1)(2)120150(3)3.任意角的三角函數(shù)(1)定義①條件：設(shè)α是一個(gè)任意角，其終邊上任意一點(diǎn)P(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是(x,y)，它與原點(diǎn)的距離|OP|=r=____________.②圖示：③結(jié)論：sinα=___;cosα=___;tanα=___;cotα=___;secα=___;cscα=___.(2)三角函數(shù)線①概念:三角函數(shù)線是表示三角函數(shù)值的有向線段.有向線段的方向表示了三角函數(shù)值的_____.有向線段的長(zhǎng)度表示了三角函數(shù)值的________.正負(fù)絕對(duì)值②圖示:如圖所示：正弦線用線段___表示余弦線用線段___表示正切線用線段___表示MPOMAT【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考：根據(jù)三角函數(shù)的定義，角α的正弦與余割、余弦與正割、正切與余切有什么關(guān)系？各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)有何規(guī)律?

提示：由三角函數(shù)的定義易知，角α的正弦與余割、余弦與正割、正切與余切分別互為倒數(shù)；第一象限角的三角函數(shù)值都是正的，第二象限角只有正弦與余割是正的，其他四個(gè)值是負(fù)的；第三象限角正切與余切是正的，其他四個(gè)值是負(fù)的；第四象限角只有余弦和正割是正的，其他四個(gè)值是負(fù)的，可簡(jiǎn)記為一全正，二正弦(余割)，三兩切，四余弦(正割).(2)結(jié)合三角函數(shù)的正弦線，在內(nèi)α與sinα的大小關(guān)系為α______sinα.【解析】數(shù)形結(jié)合易知，在單位圓中，弧長(zhǎng)大于垂線段的長(zhǎng)度，而在內(nèi)弧長(zhǎng)l=α·1=α，所以α＞sinα.答案：＞(3)已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-2,2)，則α=______.【解析】由點(diǎn)A的坐標(biāo)可知角α終邊在第二象限，由三角函數(shù)的定義可知，所以α=.答案：

角的概念【方法點(diǎn)睛】1.角的范圍角的范圍由初中熟悉的角的范圍0°≤α≤180°(［0,π］)推廣到任意角，即有負(fù)角、零角和正角.正角的度數(shù)可以很大，負(fù)角的度數(shù)可以很小.2.終邊相同的角角大小不同，其終邊位置可能相同；終邊相同，角的性質(zhì)也相同，這就是角的周期性.與α終邊相同的角可表示為：k·2π+α(k∈Z)，即與α終邊相同的角與α相差2π的整數(shù)倍.3.象限角根據(jù)角的范圍可以確定角的終邊的位置，解答與角的終邊有關(guān)的問題常用數(shù)形結(jié)合法.【例1】(1)在-720°～720°內(nèi)寫出與45°角終邊相同的角構(gòu)成的集合.(2)如果角α是第三象限角，那么角-α,π-α，π+α的終邊在第幾象限？【解題指南】(1)寫出與45°角終邊相同的所有角，再確定在-720°～720°內(nèi)的角;(2)根據(jù)α的范圍，確定-α，π-α,π+α的范圍，再根據(jù)范圍確定所在象限.

【規(guī)范解答】(1)與45°角終邊相同的角可表示為45°+k·360°(k∈Z)，在-720°～720°內(nèi)，k可取-2,-1,0,1.所以與45°角終邊相同的角構(gòu)成的集合為{-675°,-315°,45°,405°}.(2)∵,∴①∴-α終邊在第二象限.又由①各邊都加上π，得.∴π-α終邊在第四象限.∵,∴π+α終邊在第一象限.【互動(dòng)探究】對(duì)本例(2)，試探究α的終邊與-α,π-α,π+α的終邊的關(guān)系.【解析】在同一坐標(biāo)系里畫出角α，-α,π-α,π+α如圖所示.由圖易知角α的終邊與-α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，與π-α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，與π+α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此結(jié)論對(duì)任意角α都成立.π+α的終邊π-α的終邊α的終邊-α的終邊xyO【反思·感悟】1.根據(jù)角α的取值范圍，確定與α有關(guān)的角的取值范圍時(shí),要注意不等式的變形與應(yīng)用.

2.利用與角α的終邊相同的角β的集合S={β|β=α+k·2π,k∈Z}，可以把任意角轉(zhuǎn)化到［0,2π)內(nèi)來研究.【變式備選】已知α是第一象限角，試分別確定2α，的終邊所在位置.【解析】∵α為第一象限角，∴,(1)∵4kπ＜2α＜4kπ+π，故2α是第一象限角或第二象限角或其終邊在y軸的非負(fù)半軸上.(2)∵,當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n，n∈Z,則;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1，n∈Z，則,故是第一象限角或第三象限角.

與扇形有關(guān)的問題【方法點(diǎn)睛】與扇形弧長(zhǎng)、面積有關(guān)的問題因?yàn)榛《葦?shù)是借助于扇形定義的，所以有關(guān)扇形的周長(zhǎng)及面積問題的解答常用到扇形的圓心角的弧度數(shù)，設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，圓心角的弧度數(shù)為α(α＞0)，則l=αr,S=.【例2】(1)已知扇形的面積為，半徑為4，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為_____.(2)已知扇形的周長(zhǎng)是c(c＞0)，當(dāng)其圓心角α是多少弧度時(shí)，扇形的面積S最大，最大面積是多少？【解題指南】(1)先求弧長(zhǎng)，再求角的弧度數(shù).(2)建立S關(guān)于α(或弧長(zhǎng)l)的函數(shù)，通過求函數(shù)的最值解決問題.【規(guī)范解答】(1)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，則答案：

(2)設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l,方法一，∵2R+l=c,即2R+αR=c,∴R=.∴S扇=,當(dāng)且僅當(dāng)α=,即α=2時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)α=2時(shí)，扇形的最大面積是.方法二，∵2R+l=c，∴R=,∴S扇=,∴當(dāng)l=時(shí)，(S扇)max=,此時(shí)α=,

即當(dāng)α=2時(shí)，扇形的最大面積是.【互動(dòng)探究】試求本例(1)中扇形的弧長(zhǎng)所在弓形的面積.【解析】如圖，由本例(1)知S弓=S扇形AOB-S△AOB==.【反思·感悟】求函數(shù)最值時(shí)，要分清哪是常數(shù)，哪是變量，然后選擇正確方法求解.如本例(2)可以創(chuàng)造條件用基本不等式求最值，也可以求二次函數(shù)的最值.【變式備選】一條弦的長(zhǎng)度等于其所在圓的半徑r，求這條弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)及這條弦和劣弧所組成的弓形的面積.【解析】如圖所示，在半徑為r的⊙O中弦AB長(zhǎng)度為r，則△OAB為等邊三角形，所以∠AOB=，則弦AB所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為∵S△AOB=,S扇形AOB=，∴S弓形=S扇形AOB-S△AOB=.

三角函數(shù)定義的應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】三角函數(shù)定義的理解與應(yīng)用(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，角α的各個(gè)三角函數(shù)值與α終邊上取點(diǎn)的位置無關(guān)，只與α角的大小有關(guān)，當(dāng)角的終邊落在y軸上時(shí)，其正切值不存在.(2)角α的各個(gè)三角函數(shù)(比如正弦)中涉及三個(gè)量，已知兩個(gè)量，可以求另一個(gè)量.【提醒】若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則sinα=y,cosα=x.【例3】(2011·江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ=,則y=_______.【解題指南】首先根據(jù)條件求出|OP|的長(zhǎng)度，再根據(jù)任意角三角函數(shù)定義列方程求y的值.【規(guī)范解答】∵sinθ=及P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn)，可知θ為第四象限角，∴y＜0.,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，得，解得y=-8.答案：-8【反思·感悟】解答本題易誤填±8，出錯(cuò)的原因是解方程時(shí)兩邊平方，擴(kuò)大了y的取值范圍，而忘了檢驗(yàn)，在以后的學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成檢驗(yàn)的良好習(xí)慣.【變式訓(xùn)練】1.比較大小,sin10____0，tan10____0.【解析】∵3π＜10＜,∴10rad是第三象限角,∴sin10＜0,tan10＞0.答案：＜＞2.已知角α的終邊在直線3x+4y=0上，求sinα,cosα，tanα的值.【解析】∵角α的終邊在直線3x+4y=0上,∴可在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t≠0),則x=4t,y=-3t,r=.當(dāng)α是第四象限角時(shí),t＞0,r=5t,sinα=,cosα=,tanα=;當(dāng)α是第二象限角時(shí)，t＜0,r=-5t,sinα=,綜上可知,當(dāng)α是第四象限角時(shí),sinα=,cosα=,tanα=;當(dāng)α是第二象限角時(shí)，sinα=,cosα=,tanα=.【易錯(cuò)誤區(qū)】三角函數(shù)定義的應(yīng)用誤區(qū)【典例】(2012·玉林模擬)設(shè)α是第三、四象限角，sinα=，則m的取值范圍是______.【解題指南】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列關(guān)于m的不等式，解答時(shí)要注意不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【規(guī)范解答】由題意,得-1＜sinα＜0，即,由得，即(m+1)(m-4)＜0,∴-1＜m＜4.又由,得(2m-3)(m-4)＞0，∴或m＞4,∴.答案：【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：誤區(qū)警示解答本題易出現(xiàn)如下兩個(gè)誤