2023年山西省忻州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)

2023年山西省忻州市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________

一、單選題(20題)1.圖示為研磨細(xì)砂石所用球磨機(jī)的簡(jiǎn)化示意圖，圓筒繞0軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)筒內(nèi)的許多鋼球一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)到一定角度α=50。40時(shí)，它和筒壁脫離沿拋物線下落，借以打擊礦石，圓筒的內(nèi)徑d=32m。則獲得最大打擊時(shí)圓筒的轉(zhuǎn)速為()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min

2.

3.A.

B.0

C.

D.

4.

5.

6.曲線y=x+(1/x)的凹區(qū)間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

7.

8.在下列函數(shù)中，在指定區(qū)間為有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

9.

10.

A.必定存在且值為0B.必定存在且值可能為0C.必定存在且值一定不為0D.可能不存在11.設(shè)函數(shù)為()．A.A.0B.1C.2D.不存在

12.

13.設(shè)y=2x，則dy=A.A.x2x-1dx

B.2xdx

C.(2x/ln2)dx

D.2xln2dx

14.當(dāng)x→0時(shí)，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價(jià)無窮小C.等價(jià)無窮小D.低階無窮小

15.

16.

17.

18.

19.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

20.

二、填空題(20題)21.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為______．

22.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.設(shè)y1(x)、y2(x)是二階常系數(shù)線性微分方程y″+py′+qy=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則它的通解為______．30.設(shè)y=sin2x，則y'______．31.設(shè)區(qū)域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，則x2dxdy化為極坐標(biāo)系下的二重積分的表達(dá)式為________。

32.

33.

34.設(shè)f(x，y，z)=xyyz，則

=_________．35.

sint2dt=________。36.設(shè)y=1nx，則y'=__________．37.38.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

39.

40.設(shè)y=x2+e2，則dy=________三、計(jì)算題(20題)41.42.

43.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)．44.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù)．45.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，則

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達(dá)式；

(2)求S(x)的最大值．

48.49.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0．50.求曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線方程．51.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．52.證明：53.

54.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線l的方程．

55.

56.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

57.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

58.

59.60.求微分方程的通解．四、解答題(10題)61.

62.在第Ⅰ象限內(nèi)的曲線上求一點(diǎn)M(x，y)，使過該點(diǎn)的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的長(zhǎng)度為最?。?/p>

63.

64.

65.

66.求微分方程xy'-y=x2的通解．

67.

68.

69.(本題滿分8分)設(shè)y＝x＋sinx，求y．

70.設(shè)y=xsinx，求y．

五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.

是

收斂的()條件。

A.充分B.必要C.充分且必要D.無關(guān)六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C

2.A

3.A

4.C

5.B

6.D解析：

7.C

8.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在區(qū)間(一∞，0)內(nèi)為有界函數(shù)。

9.A

10.B

11.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限與左極限、右極限的關(guān)系．

由于f(x)為分段函數(shù)，點(diǎn)x=1為f(x)的分段點(diǎn)，且在x=1的兩側(cè)，f(x)的表達(dá)式不相同，因此應(yīng)考慮左極限與右極限．

12.D解析：

13.Dy=2x，y'=2xln2，dy=y'dx=2xln2dx，故選D。

14.D解析：

15.B

16.B

17.B

18.D

19.A

20.A

21.

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．

注意此處冪級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形．

22.

23.

24.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的計(jì)算．25.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為換元積分法．

26.

27.

28.29.由二階線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)可知所給方程的通解為

其中C1，C2為任意常數(shù)．30.2sinxcosx本題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算．

31.因?yàn)镈：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，則=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

32.

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的湊微分法．

33.arctanx+C

34.=xylnx.yz+xy.zyz-1=xyz-1y(ylnx+z)。

35.

36.37.1

38.

39.π/840.(2x+e2)dx

41.

42.

則

43.

列表：

說明

44.45.由等價(jià)無窮小量的定義可知

46.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.

48.

49.

50.曲線方程為，點(diǎn)(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

51.由二重積分物理意義知

52.

53.由一階線性微分方程通解公式有

54.

55.

56.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

注意

57.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1％需求量減少2．5％

58.

59.

60.

61.

62.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)的最大值、最小值應(yīng)用題．

這類問題的關(guān)鍵是先依條件和題中要求，建立數(shù)學(xué)模型．

依題目要求需求的最小值．由于L為根式