邊坡工程三維穩(wěn)定分析方法

會(huì)計(jì)學(xué)1邊坡工程三維穩(wěn)定分析方法其邊界條件是

(1.2)

其中

Wi

為體積力,Ti為作用于表面S上的邊界力，nj為S面法線的方向?qū)?shù)。靜力平衡的另一個(gè)表達(dá)形式是虛功原理，即相應(yīng)任一協(xié)調(diào)的位移場(chǎng)增量，有

(1.3)第1頁(yè)/共67頁(yè)

(2)

變形協(xié)調(diào)

(1.4)(3)

理論本構(gòu)關(guān)系

(1.5)

第2頁(yè)/共67頁(yè)

(1.5)和(1.6)分別反映了材料必須遵守的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和強(qiáng)度準(zhǔn)則。其中Cijkl為反映彈性或彈塑性本構(gòu)關(guān)系的張量表達(dá)式。式(1.6)通常采用摩爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則，即

(1.7)

和τ為破壞面上的法向和剪切應(yīng)力，c和為抗剪強(qiáng)度指標(biāo)。在一般的巖土材料中，我們還提出不容許出現(xiàn)拉應(yīng)力的限制條件，即

(1.8)

3為土體內(nèi)任一點(diǎn)的小主應(yīng)力。第3頁(yè)/共67頁(yè)3為土體內(nèi)任一點(diǎn)的小主應(yīng)力。

全面滿足上述條件的解答，即是反映實(shí)際情況的真實(shí)解。但是，巖土材料的不連續(xù)性，各向異性和非線性的本構(gòu)關(guān)系以及結(jié)構(gòu)在破壞時(shí)呈現(xiàn)的體脹和軟化、大變形等特性，使求解巖土材料穩(wěn)定的問(wèn)題變得十分困難和復(fù)雜。在工程實(shí)踐中尋找能基本反映上述條件的簡(jiǎn)化方法，始終是人們長(zhǎng)期探索的一條途徑。

第4頁(yè)/共67頁(yè)1.2

邊坡穩(wěn)定的塑性力學(xué)上限解和下限解

(1)

加載的定義在實(shí)際工程中我們分析的對(duì)象往往是一個(gè)具有一定安全儲(chǔ)備的結(jié)構(gòu)。分析這樣一個(gè)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的提法往往是這樣的：對(duì)某一處于穩(wěn)定的結(jié)構(gòu),需要一個(gè)多大的外部干擾因素,方可將其過(guò)渡到極限狀態(tài)。在塑性力學(xué)和邊坡穩(wěn)定領(lǐng)域,通常有以下處理方案：,

,

第5頁(yè)/共67頁(yè)(2)方案2。極限狀態(tài)是通過(guò)施加一個(gè)假想的水平體積力實(shí)現(xiàn)的。其中W為滑坡體的自重。Sarma(1973)首先提出這一思路,并稱為臨界加速度系數(shù)。這一方案在邊坡問(wèn)題中較適用,因?yàn)榇蠖鄶?shù)的邊坡問(wèn)題中不存在表面荷載。采用(1)、(2)兩種處理方案，或通常可以直接通過(guò)一個(gè)公式求得，不需迭代。同時(shí)，這兩種處理與塑性力學(xué)上、下限定理中的加載概念一致，因此，可以獲得較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。(3)方案3。定義安全系數(shù)F是這樣的一個(gè)數(shù)值,如果材料的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c和按下式降低為ce和

(1.11)第6頁(yè)/共67頁(yè)

(1.10)

(1.11)第7頁(yè)/共67頁(yè)

那么,邊坡處于極限狀態(tài)。采用這一方法時(shí),F常以隱式出現(xiàn)在求解的方程式中,需要進(jìn)行迭代。通常的作法時(shí)，先假設(shè)一系列的F值，分別求得相應(yīng)的或，然后找到使或?yàn)榱銜r(shí)相應(yīng)的F值。為了表達(dá)方便,在以下的敘述中,我們?yōu)檫@三種方案提供統(tǒng)一的計(jì)算公式。對(duì)出現(xiàn)下標(biāo)e的物理量，如相應(yīng)方案1和2，則意味著式(1.10)和(1.11)中的F值為1。第8頁(yè)/共67頁(yè)1.3

塑性力學(xué)上限定理和下限定理下限定理從構(gòu)筑一個(gè)靜力許可的應(yīng)力場(chǎng)入手，認(rèn)定凡是滿足式(1.1)、(1.2)和(1.7)、(1.8)的應(yīng)力場(chǎng)所相應(yīng)的外荷載一定比真實(shí)的荷載小。上限定理從構(gòu)筑一個(gè)處于塑性區(qū)內(nèi)和滑裂面上的協(xié)調(diào)的位移場(chǎng)出發(fā)(參見圖1.1(a))，認(rèn)定凡是滿足式(1.3)和(1.7)中的等式所相應(yīng)的外荷載一定比相應(yīng)真實(shí)的塑性區(qū)的真實(shí)的荷載T大，T*是通過(guò)虛功原理獲得的，即第9頁(yè)/共67頁(yè)(1.12)

第10頁(yè)/共67頁(yè)

由于彈性變形通常相對(duì)塑性變形小許多，所以在應(yīng)用上限定理通過(guò)式(1.3)確定外荷載時(shí)，還可以將其中的u僅理解為塑性變形。V為在微小荷載增量作用下滑塊沿滑面的相對(duì)位移，以下稱速度。式(1.3)左端的內(nèi)能耗散包括兩項(xiàng)，即塑性區(qū)域內(nèi)沿滑面上的內(nèi)能耗散。和在本文將要著重討論的近似方法(條分法)中，我們將圖1.1(a)的破壞模式近似表達(dá)為多塊體的破壞模式，如圖1.1(b)所示，如果材料遵守摩爾--庫(kù)倫破壞準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則,則可確認(rèn)沿滑面的位移V與滑面夾角為e（chen,1975）。 滑面上的反力在速度方向作的功，即單位面積內(nèi)能耗散，可用下式表示(Chen,1975)：第11頁(yè)/共67頁(yè)第12頁(yè)/共67頁(yè)第13頁(yè)/共67頁(yè)第14頁(yè)/共67頁(yè)其中c為凝聚力，u為孔壓，說(shuō)明，在根據(jù)式（1.12）計(jì)算左邊二項(xiàng)時(shí)，不需要知道滑面上的法向和切向應(yīng)力。

(1.13)第15頁(yè)/共67頁(yè)(2)由于速度V與滑動(dòng)界面的夾角必須為e，知道第一個(gè)條塊的速度V1后,即可求得第二個(gè)條塊的速度V2和第一個(gè)條塊相對(duì)于第二個(gè)條塊的速度V1j(參見圖1.1(b))。依此類推，任意一條塊的V和Vj可表達(dá)成第一個(gè)條塊的速度V1的線性函數(shù)。將式(1.13)代入(1.12)后，V

不再是未知數(shù)，我們將通過(guò)一個(gè)公式（1.12）求解一個(gè)未知量（F值）。 用塑性力學(xué)上、下限定理分析邊坡穩(wěn)定問(wèn)題，就是從下限和上限兩個(gè)方向逼近真實(shí)解。在近代計(jì)算技術(shù)軟、硬件飛速發(fā)展的今日，已經(jīng)可以成為現(xiàn)實(shí)。這一求解方法最大的好處是回避了在工程中最不易弄清的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式(1.5)，而同樣獲得了理論上十分嚴(yán)格的計(jì)算結(jié)果。第16頁(yè)/共67頁(yè)1.4

潘家錚最大最小原理在邊坡、壩基和其它建筑物的抗滑穩(wěn)定分析中，極限平衡法是工程中普遍采用的方法，這一方法包含兩個(gè)步驟：

(1)對(duì)不穩(wěn)定巖體或土體內(nèi)某一滑裂面，根據(jù)靜力平衡條件確定其抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)。

(2)在所有可能的滑裂面中，重復(fù)上述步驟，找出相應(yīng)最小安全系數(shù)的臨界滑裂面。在極限平衡的理論體系中，上述第一步驟在本質(zhì)上是一個(gè)靜不定的力學(xué)問(wèn)題，需要引入必要的假定，使問(wèn)題變得可解。潘家錚(1980)在詳細(xì)分析了建筑物和地基抗滑穩(wěn)定的各種方法后，提出了以下兩條原理，試圖彌補(bǔ)傳統(tǒng)的分析方法在理論上的缺陷。第17頁(yè)/共67頁(yè)

(1)滑坡如能沿許多滑面滑動(dòng)，則失穩(wěn)時(shí)，它將沿抵抗力最小的一個(gè)滑面破壞(最小值原理)。

(2)滑坡體的滑面肯定時(shí)，則滑面上的反力(以及滑坡體內(nèi)的內(nèi)力)能自行調(diào)整，以發(fā)揮最大的抗滑能力(最大值原理)。為了說(shuō)明潘氏原理的理論意義,讓我們回顧一個(gè)簡(jiǎn)單的例題。圖1.3(a)示一個(gè)作用有垂直荷載T的無(wú)重量的均質(zhì)邊坡，將假定的滑坡體分成4個(gè)具有傾斜界面的塊體，那么如果按照潘氏最大值原理來(lái)確定滑面和滑坡體的內(nèi)力，顯然，應(yīng)選擇在滑面和界面上均達(dá)到極限平衡的那個(gè)內(nèi)力體系,即在滑面和界面上的法向力N和切向力S均滿足下面的關(guān)系式：第18頁(yè)/共67頁(yè)式中N和S為作用在破壞面上的法向和切向反力，和c為摩爾－庫(kù)倫準(zhǔn)則的強(qiáng)度指標(biāo)。在滿足式(1.23)的前提下，本問(wèn)題是靜定可解的。在邊坡穩(wěn)定分析領(lǐng)域，Sarma法就是按照這一思路求解的。我們將按這一方法確定的相應(yīng)外荷與實(shí)際荷載T的相對(duì)比值稱為加載系數(shù)。即

條間力示意圖WαNQiQi+1TρβGiβGi+1水平向(1.23)

第19頁(yè)/共67頁(yè)(1.24)在本例中，如果設(shè)T=111.437kPa，c=98kPa，=30°，則計(jì)算獲得的為0.274。第20頁(yè)/共67頁(yè)根據(jù)潘氏最小值原理，作為穩(wěn)定分析的第二步，我們應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，尋找一個(gè)使為最小的破壞機(jī)構(gòu)，得到了如圖1.3(b)的破壞機(jī)構(gòu)。其相應(yīng)值為=0.027，對(duì)這個(gè)例題，索科洛夫斯基(Sokolovski,1954)曾經(jīng)給出過(guò)理論解，其模式如圖3(c)所示。對(duì)本例所采用的強(qiáng)度指標(biāo)和其它參數(shù)，其極限荷載的理論解就是111.437kPa。故理論解的應(yīng)為零?？梢园l(fā)現(xiàn)對(duì)本例采用4個(gè)塊體的解＝0.027已和理論值非常接近，誤差為1.7％，其破壞模式也十分相似。事實(shí)上當(dāng)條塊數(shù)增加到19時(shí)，即可采用這一方法得＝0.0097，其破壞模式和索氏解答(圖3(c))完全一致。 通過(guò)這一簡(jiǎn)單的例子，我們可以看到，存在著一個(gè)十分簡(jiǎn)便的途徑來(lái)確定結(jié)構(gòu)破壞的極限荷載。如果潘氏原理可以獲得證明，那么傳統(tǒng)的極限平衡分析方法可以和結(jié)構(gòu)分析方法一樣成為一個(gè)嚴(yán)格的理論分析體系。第21頁(yè)/共67頁(yè)1.5

數(shù)值分析方法－非線性規(guī)劃上、下限定理（或潘家錚最大最小原理）最終形成了一個(gè)求解目標(biāo)函數(shù)（安全系數(shù)或加載系數(shù)）的極值問(wèn)題。巖土工程問(wèn)題通常包括復(fù)雜的地形和地質(zhì)條件。上述求解巖體穩(wěn)定上、下限解的命題只有在數(shù)值分析的軟、硬件技術(shù)發(fā)展到一定水平后方能成為現(xiàn)實(shí)。非線性規(guī)劃中的最優(yōu)化方法為解決這類問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的手段(Chen,ZandShao,C.1988)。第22頁(yè)/共67頁(yè)

最優(yōu)化問(wèn)題的提法是：對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)自變量

=(,,…,)的目標(biāo)函數(shù)F，確定使F獲得最小值的自變量。 在穩(wěn)定分析中，自變量是滑裂面。因此，需要將它所代表的曲線y(x)用若干參數(shù)來(lái)模擬。也就是說(shuō)，需要將任意形狀滑裂面y(x)用來(lái)近似表達(dá)。

將滑裂面曲線用m個(gè)點(diǎn)A1,A2,…,Am離散(圖1.4)，也就是將此m個(gè)點(diǎn)用直線或光滑的曲線連起來(lái)，以近似模擬此曲線。此m個(gè)坐標(biāo)用Zi(i=1，2，…，m)表示：

(1.25)第23頁(yè)/共67頁(yè)一旦這種連接的模式確定，安全系數(shù)F即可表達(dá)成此m個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)x1,y1,x2,y2,...,xn,yn的函數(shù)。而在上限解中，條塊側(cè)面的傾角i

也是自變量，因此

(1.26)第24頁(yè)/共67頁(yè)在進(jìn)行最優(yōu)化搜索過(guò)程中,A1,A2,…,Am

將移到臨界滑裂面的位置B1,B’2,…,Bm(圖1.4，此處m=6)，其中端點(diǎn)A1，Am原來(lái)在邊坡線上，有可能移到邊坡線外或內(nèi)，需要通過(guò)一定的處理方式，分別找到他們和邊坡線的交點(diǎn)。各點(diǎn)的界面傾角i也將過(guò)渡到使目標(biāo)函數(shù)最小的新的數(shù)值。對(duì)均勻的土體介質(zhì)，通常希望滑裂面比較光滑，此時(shí)，采用三次或更高次的樣條函數(shù)連接這些點(diǎn)。作為一般的處理，我們采用直線和光滑曲線組合構(gòu)筑的滑裂面。例如圖1.4中A3、A4、A5、A6用曲線相連，A2、A3用直線相連。通常只用少量的節(jié)點(diǎn)構(gòu)筑這一破壞模式，然后再按線性內(nèi)插的原則在相鄰節(jié)點(diǎn)中進(jìn)一步將土體細(xì)分成土條，圖1.1(c)。第25頁(yè)/共67頁(yè)1.7三維邊坡極限平衡分析法分析現(xiàn)有的三維極限平衡分析方法，可以發(fā)現(xiàn)它們實(shí)際上是二維“條分法”的拓展。這些方法把破壞體離散成柱體，柱體按行、列系列編排。并應(yīng)用力平衡條件和摩爾－庫(kù)倫準(zhǔn)則求解安全系數(shù)。和二維方法中相似，這些方法必須對(duì)滑裂面的形狀和條柱間內(nèi)力引入一些假定，以使分析在數(shù)值上變得可解。Hungr(1987)推廣了簡(jiǎn)化Bishop法，該法忽略柱體縱向和側(cè)向面的剪力并應(yīng)用力矩平衡條件求解。Chen和Chameau(1983)提出的方法事實(shí)上是Spencer’s法的延伸。Lam和Fredlund(1993)提出的方法對(duì)條柱間作用力的傾角分布形狀作出假定，并要求塊體滿足力和力矩平衡條件。某種程度上說(shuō)，該法與Morgenstern-Price法是等效的。第26頁(yè)/共67頁(yè)以往的工作尚存在以下不足，使三維邊坡穩(wěn)定分析始終未能獲得廣泛的實(shí)際應(yīng)用： （1）為了使問(wèn)題變得靜定可解，在“條柱法”中引入眾多假定。Lam和Fredlund(1993)計(jì)算了以物理和力學(xué)要求為基礎(chǔ)可建立的方程個(gè)數(shù)及這些方程中的未知數(shù)數(shù)目。他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于離散成n行和m列條塊的破壞體(參見圖7.1)，總共需要8mn個(gè)假定。更為麻煩的是，在進(jìn)行假定的時(shí)候，通常不可能恰好使可建立的方程和未知物理量的數(shù)量匹配。Lam&Fredlund在建立它們的條柱法時(shí)，發(fā)現(xiàn)，最終還多出了兩個(gè)系數(shù)3、4。于是，他們進(jìn)一步假定3應(yīng)該在若干個(gè)數(shù)值中選一個(gè)相應(yīng)安全系數(shù)最小的。這樣的作法，進(jìn)一步增加了方法的任意性，使方法失去了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。第27頁(yè)/共67頁(yè)（2）極限平衡法在求解過(guò)程中，涉及繁復(fù)的三維矢量運(yùn)算，最終需要求解一個(gè)非線性的聯(lián)立方程組。為了避免大型非線性方程組的迭代，勢(shì)必引入更多的簡(jiǎn)化。第28頁(yè)/共67頁(yè)和傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定分析方法一樣，引入安全系數(shù)F的定義。即當(dāng)強(qiáng)度指標(biāo)c和tan縮小為和邊坡處于極限平衡狀態(tài)。將滑動(dòng)土體分成具有垂直界面的條柱，建立如圖1所示的坐標(biāo)系，x和y的正方向分別與滑坡方向和重力方向相反，xoy平面應(yīng)基本反映主滑方向。z軸的正方向按右手法則確定。第29頁(yè)/共67頁(yè)WSTPiViQiPVi+1Qi+1XiEiHiXEHi+1i+1i+1αi+1N第30頁(yè)/共67頁(yè)在分析作用在條柱上的作用力的力和力矩平衡條件時(shí)，我們引入如下假定(圖1.5)：

第31頁(yè)/共67頁(yè)

條間力示意圖 1、作用在行界面的條間力G平行于xoy平面，其與x軸的傾角β為常量，這一假定相當(dāng)于二維領(lǐng)域中的Spencer法。 WαNQiQi+1TρβGiβGi+1水平向 2、作用在列界面的作用力Q為水平方向，與z軸平行。 3、作用在底滑面的剪切力T與xoy平面的夾角為ρ。規(guī)定剪切力的z軸分量為正時(shí)ρ為正值。

靜力假定：第32頁(yè)/共67頁(yè)

假定同一列條柱（z=常量）的ρ值相同，對(duì)不同z坐標(biāo)的條柱，假定ρi的一個(gè)分布形狀：①ρ=k=常量（圖3(a)）；②在xoy平面的左、右兩側(cè)假定ρ的方向相反，并線性分布（圖3(b)），假定此分布形狀為：

第33頁(yè)/共67頁(yè)

條間力示意圖 1、ρ=k=常量 2、在xoy平面的左、右兩側(cè)假定ρ的方向相反，并線性分布假定此分布形狀為f(z)，則有:

ρ的分布形狀：第34頁(yè)/共67頁(yè)假定②中均含有一個(gè)系數(shù)，此值反映左、右側(cè)ρ的變化的不對(duì)稱特性，當(dāng)滑體的幾何形狀和物理指標(biāo)完全對(duì)稱時(shí)，相應(yīng)假定①的應(yīng)為零，相應(yīng)假定②的應(yīng)為1。和二維領(lǐng)域一樣，我們期待著在合理性條件限制下(參見1.2節(jié))，不同的分布形狀假定將不會(huì)導(dǎo)致安全系數(shù)的重大差別。第35頁(yè)/共67頁(yè)

設(shè)nx，ny，nz為底滑面的法線的方向?qū)?shù)，mx，my，mz為切向力Ti的方向?qū)?shù)。這個(gè)方向?qū)?shù)在確定了ρ值后即為已知。因?yàn)楦鶕?jù)可以得到，(在mx的兩個(gè)解中，為不合理解，予以刪除)。第36頁(yè)/共67頁(yè)建立力和力矩平衡方程解題步驟如下

:(1)分析作用在某一條柱上的力，求解底滑面的法向力N。由于我們假定了行界面土條側(cè)向力平行于xoy平面，列界面土條側(cè)向力與z軸平行，在xoy平面上沒有分力。因此可以方便地通過(guò)xoy平面上的力學(xué)平衡條件來(lái)求解N。考慮到左、右兩側(cè)的G（其方向以S代表）均與x軸夾一個(gè)β角，求解N的一個(gè)方便的方法是將作用在土條上的力投影到垂直于S的軸S上，這樣就回避了Gi和Gi+1這兩個(gè)未知力，將Ni求得。第37頁(yè)/共67頁(yè)在S方向的條柱的平衡方程式為：根據(jù)摩爾－庫(kù)侖準(zhǔn)則即可求解條底法向力：式中Ai為底滑面的面積，u為作用于滑面上的孔隙水壓力。

第38頁(yè)/共67頁(yè)(2)

建立整個(gè)滑坡體的靜力平衡方程式和繞z軸的力矩平衡方程式。在計(jì)算Ni時(shí)，已經(jīng)滿足了每個(gè)條柱S’方向的靜力平衡條件。因此，我們建立與S’垂直的S方向的整體平衡方程式：建立z方向的整體平衡方程式：同時(shí)，建立繞z軸的整體力矩平衡方程式（以逆時(shí)針為正）：

第39頁(yè)/共67頁(yè)

由于整體的靜力平衡在坐標(biāo)系的三個(gè)軸上均已滿足，因此，建立式（11）時(shí)可以繞任一與z軸平行的軸取矩。在建立S’、S方向和z方向的靜力平衡方程式(6)，(9)和(10)時(shí)，最為方便的方法是要求各個(gè)力矢量與投影方向的點(diǎn)積之和為零。已知S方向?qū)?shù)為（cos，sin，0），W方向?qū)?shù)為（0，-1，0），N方向?qū)?shù)為（nx，ny，nz），T方向?qū)?shù)為（mx，my，mz），S’方向?qū)?shù)為（-sin，cos，0）。據(jù)此可以方便地建立這些靜力平衡方程式。

第40頁(yè)/共67頁(yè)作用在條柱上的力在S軸的投影

求解底滑面的法向力N

靜力平衡方程式和求解步驟：第41頁(yè)/共67頁(yè)S方向的整體平衡方程式

z方向的整體平衡方程式

繞z軸的整體力矩平衡方程式

第42頁(yè)/共67頁(yè)(3)用Newton-Raphson法迭代求解安全系數(shù)第43頁(yè)/共67頁(yè)例題和驗(yàn)證

第44頁(yè)/共67頁(yè)

考題1：橢球體滑面算例（ZhangXing)第45頁(yè)/共67頁(yè)

考題1：橢球體滑面算例（ZhangXing)上限解的解答垂直界面：F=2.339優(yōu)化界面：F=2.259第46頁(yè)/共67頁(yè)

考題1：橢球體滑面算例（ZhangXing)下限解的解答垂直界面：F=2.187計(jì)算迭代收斂過(guò)程：第47頁(yè)/共67頁(yè)

考題1：橢球體滑面算例（ZhangXing)小結(jié)：安全系數(shù)FZhangXing： 2.122上限解： 2.259下限解： 2.187相差3.2%第48頁(yè)/共67頁(yè)

考題2：楔形體算例（Hoek）幾何、物理參數(shù)： 坡高為64.89m

巖石容重為26KN/m3

在對(duì)稱例題中

c=50KN/m2，φ=20°

材料不對(duì)稱例題中 右結(jié)構(gòu)面度指標(biāo)不變， 左結(jié)構(gòu)面采用 c=30KN/m2，φ=10°第49頁(yè)/共67頁(yè)

考題2：楔形體算例（Hoek）材料對(duì)稱例題： 安全系數(shù)FHoek： 1.556上限解： 1.685下限解： 1.556相差8%第50頁(yè)/共67頁(yè)1.8邊坡穩(wěn)定分析的三維極限分析上限解法

(1)

理論背景

為便于理解邊坡穩(wěn)定的三維極限分析方法的基本原理。引入安全系數(shù)K的定義，即當(dāng)強(qiáng)度指標(biāo)c和tan縮小為和

邊坡處于極限平衡狀態(tài)。設(shè)作用在左邊塊體上的體積力為Wl，作用在滑面上的切向力全分成兩個(gè)部分，一部分為凝聚力，其值為,另一部分為法向力形成的摩擦阻力，其值為Nl

tane,它和法向力Nl構(gòu)成一個(gè)與滑面法向夾角為e的合力Pl,e。對(duì)左條塊建立靜力平衡方程，第51頁(yè)/共67頁(yè)Theforceequilibriumapproaches

Thevirtualdisplacementapproaches

第52頁(yè)/共67頁(yè)其中Pj,e

和Cj,e為右側(cè)條塊通過(guò)傾斜邊界AB作用于左側(cè)條塊的力。對(duì)右邊塊體有第53頁(yè)/共67頁(yè)上兩式為矢量表達(dá)式，在x,y方向投影，可建立4個(gè)方程式，其中包含了Pl,ePr,e和Pj,e這三個(gè)未知量，同時(shí)也包括安全系數(shù)K，它隱含于強(qiáng)度指標(biāo)ce和tane中?？傆?jì)為4個(gè)未知量。因此，這個(gè)塊體系統(tǒng)的安全系數(shù)K是靜定可解的。遵照求解上述靜力平衡的思路解題就是傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定分析的極限平衡方法，具有代表性的，即Sarma法(1979)。但是，還存在一種按虛功原理解題的方法。假設(shè)左右塊體分別有速度Vl

和Vr

，其分別與滑面夾角為e。那么，對(duì)每個(gè)塊體，作用在上面的未知內(nèi)力P沿該位移作的功的總和為零。式(1)Vl+(2)

Vr

，我們有第54頁(yè)/共67頁(yè)其中Vj

為左條塊相對(duì)右條塊的速度標(biāo)量表達(dá)形式為 其中e,r分別為重力與Vl

和Vr的夾角。根據(jù)位移協(xié)調(diào)的要求，Vl

，Vr和Vj應(yīng)構(gòu)成一個(gè)閉合速度三角形，故有 第55頁(yè)/共67頁(yè) (7)第56頁(yè)/共67頁(yè)這樣式中左、右側(cè)均可表達(dá)為Vl的線性函數(shù)，Vl可消去。在式中只剩下一個(gè)未知量即安全系數(shù)K，它可以方便地通過(guò)迭代求解。式(1.21)左右端分別代表作用在滑體上的外力功總和和內(nèi)能耗散總和。上述論證過(guò)程說(shuō)明，按式(6)解題和按式(1)和(2)解題是等效的。如果某邊坡由n個(gè)具有傾斜界面的休塊組成，那么按傳統(tǒng)的靜力平衡方法將出現(xiàn)n個(gè)類似式(1)和(2)的方程式，求解過(guò)程包括一個(gè)n個(gè)未知變量的非線性聯(lián)立方程組。而按虛功原理求解，出現(xiàn)在n個(gè)塊體上所有的未知內(nèi)力都被消去，求解過(guò)程仍只含一個(gè)未知量，控制方程仍然只是類似式(4)那樣的一個(gè)。而當(dāng)問(wèn)題從二維過(guò)渡到三維時(shí)，這一方便的求解過(guò)程仍然被保留下了，而傳統(tǒng)的通過(guò)靜力平衡的求解步驟，則由于極復(fù)雜的多元空間力系，平衡過(guò)程變得幾乎無(wú)法實(shí)施。第57頁(yè)/共67頁(yè)求解上限解的基本方程式

(1)確定多塊體的滑動(dòng)模式。

將滑動(dòng)土體劃分為一個(gè)如圖1.1(b)所示的一個(gè)多塊體的系統(tǒng)。(2)計(jì)算多塊體破壞模式協(xié)調(diào)的速度場(chǎng)

如前所述，每個(gè)條塊的速度V與滑面夾角為e，與右邊相鄰塊體的相對(duì)速度Vj，與該兩塊體的交界面的夾角為e

j。內(nèi)能耗散發(fā)生于該楔塊的底面和楔塊間的界面，在剛體內(nèi)為零。位移協(xié)調(diào)條件要求相鄰條塊的移動(dòng)不至于導(dǎo)致它們重迭或分離。也就是說(shuō)，速度多邊形要閉合。根據(jù)這個(gè)條件，右側(cè)條塊的速度Vr和左、右條塊間的界面的相對(duì)速度Vj可以通過(guò)左側(cè)條塊的速度確定。第58頁(yè)/共67頁(yè)其中δ為側(cè)面與y軸夾角。θ為速度與正x軸的夾角。知道第一個(gè)條塊的速度V1后，借助式(3.13)、(3.14),即可求得V2

和Vj。依此類推，任意一條塊的V和Vj可表達(dá)成第一個(gè)條塊的速度V1的線性函數(shù)

第59頁(yè)/共67頁(yè)第60頁(yè)/共67頁(yè)（3）計(jì)算加載系數(shù)或安全系數(shù) 對(duì)某一多塊體破壞模式，將通過(guò)式(1.17)獲得的速度場(chǎng)代入式(1.13)再代入式(1.12)或(1.3)，由于左、右式都為V0的線性