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三角形全等的判定ASA和AAS回首往事:1.什么樣的圖形是全等三角形?2.判斷三角形全等至少要有幾個(gè)條件?答:至少要有三個(gè)條件邊邊邊公理:
有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。邊角邊公理:
有兩邊和它們夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。第1頁(yè)/共30頁(yè)ABCABC問(wèn)題:
如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊,那么有幾種可能的情況呢?答:角邊角(ASA)角角邊(AAS)第2頁(yè)/共30頁(yè)
先任意畫出一個(gè)△ABC,再畫一個(gè)△A/B/C/,使A/B/=AB,∠A/=∠A,∠B/=∠B(即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等)。把畫好的△A/B/C/剪下,放到△ABC上,它們?nèi)葐幔刻骄?BAC第3頁(yè)/共30頁(yè)畫法:1、畫A/B/=AB;2、在A/B/的同旁畫∠DA/B/=∠A,∠EB/A/=∠B,A/D,B/E交于點(diǎn)C/。通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?ACBA’B’C’ED已知:任意△ABC,畫一個(gè)△A/B/C/,使A/B/=AB,∠A/=∠A,∠B/=∠B:△A/B/C/就是所要畫的三角形。第4頁(yè)/共30頁(yè)∠A=∠A’
(已知)AB=A’C(已知)∠B=∠C(已知)在△ABE和△A’CD中∴△ABE≌△A’CD(ASA)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示:
兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”)。探究反映的規(guī)律是:第5頁(yè)/共30頁(yè)如圖,應(yīng)填什么就有△AOC≌△BOD:∠A=∠B,(已知)
,∠1=∠2,(已知)∴△AOC≌△BOD(ASA)AO=BO
兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”)。12第6頁(yè)/共30頁(yè)例題講解例1.已知:點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,BE和CD相交于點(diǎn)O,AB=AC,∠B=∠C。求證:(1)AD=AE;(2)BD=CE。證明:(1)在△ADC和△AEB中∠A=∠A(公共角)AC=AB(已知)∠C=∠B(已知)∴△ACD≌△ABE(ASA)∴AD=AE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)(2)∵AB=AC(已知)AD=AE∴BD=CE第7頁(yè)/共30頁(yè)1.如圖,O是AB的中點(diǎn),∠A=∠B,△AOC與△BOD全等嗎?為什么?OABCD兩角和夾邊對(duì)應(yīng)相等第8頁(yè)/共30頁(yè)2.如圖,點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上,AB=DE,AB∥DE,∠A=∠D.求證:BE=CF.第9頁(yè)/共30頁(yè)探究6
如下圖,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,
△ABC與△DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎?EFDBAC在△ABC和△DEF中,∠A+∠B+∠C=1800,∠D+∠E+∠F=1800,∵∠A=∠D,∠B=∠E,∴∠C=∠F,∴
∠B=∠E,BC=EF,
∠C=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA)第10頁(yè)/共30頁(yè)∠A=∠A’
(已知)∠B=∠C(已知)在△ABE和△A’CD中∴△ABE≌△A’CD(AAS)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”)。探究反映的規(guī)律是:AE=A’D(已知)第11頁(yè)/共30頁(yè)例:如圖,O是AB的中點(diǎn),∠C=∠D,△AOC與△BOD全等嗎?為什么?OABCD兩角和對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等第12頁(yè)/共30頁(yè)
到目前為止,我們一共探索出判定三角形全等的四種規(guī)律,它們分別是:1、邊邊邊(SSS)3、角邊角(ASA)4、角角邊(AAS)2、邊角邊(SAS)第13頁(yè)/共30頁(yè)練一練:1、如圖∠ACB=∠DFE,BC=EF,根據(jù)SAS,ASA或AAS,那么應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)直接條件
--------------------------,(寫出一個(gè)即可),才能使△ABC≌△DEF.2、如圖,BE=CD,∠1=∠2,則AB=AC嗎?為什么?ABCDEFAC=DF或∠B=∠E或∠A=∠DCAB12EDAB=AC相等第14頁(yè)/共30頁(yè)知識(shí)應(yīng)用1.如圖,要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,B的距離,可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C,D,使BC=CD,再定出BF的垂線DE,使A,C,E在一條直線上,這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)。為什么?ABCDEF在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=900BC=DC,
∠1=∠2,
∴△ABC≌△DEF(ASA)∴
AB=ED.12證明:第15頁(yè)/共30頁(yè)2.如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.
求證:AB=AD.
知識(shí)應(yīng)用在△ABC和△ADC中,
∠B=∠D,∠1=∠2,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(AAS)∴
AB=AD.證明:∵
AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=900,第16頁(yè)/共30頁(yè)練習(xí)==ABECFD已知:如圖∠B=∠DEF,BC=EF,求證:ΔABC≌ΔDEF(1)若要以“SAS”為依據(jù),還缺條件______;(2)若要以“ASA”為依據(jù),還缺條件
;(3)若要以“SSS”為依據(jù),還缺條件
;∠ACB=∠DEFAB=DEAB=DE、AC=DF
三步走:①要證什么;②已有什么;③還缺什么。(4)若要以“AAS”為依據(jù),還缺條件______;∠A=∠D第17頁(yè)/共30頁(yè)(1)圖中的兩個(gè)三角形全等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.全等因?yàn)閮山呛推渲幸唤堑膶?duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.3535110110ABCDDBCABCD≌D\(已知)(已知)(公共邊)練習(xí)第18頁(yè)/共30頁(yè)第19頁(yè)/共30頁(yè)(3)如圖,AC、BD交于點(diǎn)O,AC=BD,AB=CD.求證:ABCDO證明:(1)連接AD,在△ADC和△DAB中AD=DA(公共邊)AC=DB(已知)DC=AB(已知)∴△ADC≌△DAB(SSS)∴∠C=∠B(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)
(2)在△AOB和△DOC中∠B=∠C(已證)∠1=∠2(對(duì)頂角相等)DC=AB(已知)∴△DOC≌△AOB(AAS)∴OA=OD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)12練習(xí)第20頁(yè)/共30頁(yè)綜合應(yīng)用1.如圖,點(diǎn)E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么CB等于DB嗎?為什么?-----全等三角形判定第21頁(yè)/共30頁(yè)2.如圖,AB=DE,AF=CD,EF=BC,∠A=∠D,試說(shuō)明:BF∥CEABCDEF第22頁(yè)/共30頁(yè)3.如圖,在△AFD和△BEC中,點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上,有下列四個(gè)論斷:①AD=CB,②AE=CF,③∠B=∠D,④∠A=∠C.請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,編一道數(shù)學(xué)問(wèn)題,并寫出解答過(guò)程。ABCDEF第23頁(yè)/共30頁(yè)4.如圖,在△ABC和△BAD中,BC=AD,請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件,使△ABC≌△BAD.你補(bǔ)充的條件是
.第24頁(yè)/共30頁(yè)ABCEF5.已知:如圖,△AEF與△ABC中,∠E=∠B,EF=BC.請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使△AEF≌△ABC.對(duì)于添加條件使兩三角形全等的問(wèn)題,當(dāng)已有兩個(gè)條件(包括隱含條件)時(shí),如何思考?第25頁(yè)/共30頁(yè)6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD⊥MN于點(diǎn)D,BE⊥MN于點(diǎn)E,(1)當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到如圖(1)所示的位置時(shí),猜想線段AD、BE、DE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想。圖(1)第26頁(yè)/共30頁(yè)6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD⊥MN于點(diǎn)D,BE⊥MN于點(diǎn)E,(2)當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí),猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想圖(2)第27頁(yè)/共30頁(yè)6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD⊥MN于點(diǎn)D,BE⊥MN于點(diǎn)E,(3)當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí),猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想圖(3)第28頁(yè)/共30頁(yè)
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