三角形全等的判定ASA和AAS

三角形全等的判定ASA和AAS回首往事：1.什么樣的圖形是全等三角形？2.判斷三角形全等至少要有幾個條件？答：至少要有三個條件邊邊邊公理：

有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。邊角邊公理：

有兩邊和它們夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。第1頁/共30頁ABCABC問題：

如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？答：角邊角（ASA）角角邊（AAS）第2頁/共30頁

先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A/B/C/，使A/B/=AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B(即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等)。把畫好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？探?BAC第3頁/共30頁畫法：1、畫A/B/＝AB；2、在A/B/的同旁畫∠DA/B/=∠A，∠EB/A/=∠B，A/D，B/E交于點C/。通過實驗?zāi)惆l(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ACBA’B’C’ED已知：任意△ABC，畫一個△A/B/C/，使A/B/＝AB，∠A/=∠A，∠B/=∠B：△A/B/C/就是所要畫的三角形。第4頁/共30頁∠A=∠A’

（已知）AB=A’C（已知）∠B=∠C（已知）在△ABE和△A’CD中∴△ABE≌△A’CD（ASA）用數(shù)學符號表示:

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。探究反映的規(guī)律是：第5頁/共30頁如圖，應(yīng)填什么就有△AOC≌△BOD:∠A=∠B,（已知）

,∠1=∠2,（已知）∴△AOC≌△BOD(ASA)AO=BO

兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。12第6頁/共30頁例題講解例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB=AC，∠B=∠C。求證：(1)AD=AE;(2)BD=CE。證明：（1）在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）AC=AB（已知）∠C=∠B（已知）∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（2）∵AB=AC（已知）AD=AE∴BD=CE第7頁/共30頁1.如圖,O是AB的中點，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎?為什么？OABCD兩角和夾邊對應(yīng)相等第8頁/共30頁2.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．求證：BE=CF．第9頁/共30頁探究6

如下圖，在△ABC和△DEF中,∠A＝∠D,∠B＝∠E,BC＝EF,

△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？EFDBAC在△ABC和△DEF中,∠A+∠B+∠C＝1800,∠D+∠E+∠F=1800,∵∠A＝∠D,∠B＝∠E,∴∠C＝∠F,∴

∠B＝∠E,BC＝EF,

∠C＝∠F,

∴△ABC≌△DEF（ASA）第10頁/共30頁∠A=∠A’

（已知）∠B=∠C（已知）在△ABE和△A’CD中∴△ABE≌△A’CD（AAS）用數(shù)學符號表示:兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。探究反映的規(guī)律是：AE=A’D（已知）第11頁/共30頁例:如圖,O是AB的中點，∠C=∠D，△AOC與△BOD全等嗎?為什么？OABCD兩角和對邊對應(yīng)相等第12頁/共30頁

到目前為止,我們一共探索出判定三角形全等的四種規(guī)律，它們分別是:1、邊邊邊(SSS)3、角邊角(ASA)4、角角邊(AAS)2、邊角邊(SAS)第13頁/共30頁練一練：1、如圖∠ACB=∠DFE，BC=EF，根據(jù)SAS,ASA或AAS，那么應(yīng)補充一個直接條件

--------------------------，（寫出一個即可），才能使△ABC≌△DEF.2、如圖，BE=CD，∠1=∠2，則AB=AC嗎？為什么？ABCDEFAC=DF或∠B=∠E或∠A=∠DCAB12EDAB=AC相等第14頁/共30頁知識應(yīng)用1.如圖，要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C，D，使BC=CD，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長。為什么？ABCDEF在△ABC和△EDC中,

∠B=∠EDC=900BC＝DC,

∠1＝∠2,

∴△ABC≌△DEF（ASA）∴

AB＝ED.12證明：第15頁/共30頁2.如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.

求證:AB=AD.

知識應(yīng)用在△ABC和△ADC中,

∠B=∠D,∠1＝∠2,

AC＝AC,

∴△ABC≌△ADC（AAS）∴

AB＝AD.證明：∵

AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=900,第16頁/共30頁練習==ABECFD已知:如圖∠B=∠DEF,BC=EF,求證:ΔABC≌ΔDEF(1)若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿＿；(2)若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件

；(3)若要以“SSS”為依據(jù)，還缺條件

;∠ACB=∠DEFAB=DEAB=DE、AC=DF

三步走：①要證什么；②已有什么；③還缺什么。(4)若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件＿＿＿＿＿＿；∠A=∠D第17頁/共30頁(1)圖中的兩個三角形全等嗎?請說明理由.全等因為兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.3535110110ABCDDBCABCD≌D\(已知)(已知)(公共邊)練習第18頁/共30頁第19頁/共30頁(3)如圖，AC、BD交于點O,AC=BD,AB=CD.求證：ABCDO證明:(1)連接AD,在△ADC和△DAB中AD=DA（公共邊）AC=DB（已知）DC=AB（已知）∴△ADC≌△DAB（SSS）∴∠C=∠B（全等三角形的對應(yīng)角相等）

(2)在△AOB和△DOC中∠B=∠C（已證）∠1=∠2（對頂角相等）DC=AB（已知）∴△DOC≌△AOB（AAS）∴OA=OD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）12練習第20頁/共30頁綜合應(yīng)用1.如圖，點E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么CB等于DB嗎？為什么？-----全等三角形判定第21頁/共30頁2.如圖，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，試說明：BF∥CEABCDEF第22頁/共30頁3.如圖，在△AFD和△BEC中，點A、E、F、C在同一直線上，有下列四個論斷：①AD=CB，②AE=CF，③∠B＝∠D，④∠A＝∠C.請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，編一道數(shù)學問題，并寫出解答過程。ABCDEF第23頁/共30頁4.如圖，在△ABC和△BAD中，BC=AD，請你再補充一個條件，使△ABC≌△BAD．你補充的條件是

.第24頁/共30頁ABCEF5.已知：如圖，△AEF與△ABC中，∠E=∠B,EF=BC.請你添加一個條件，使△AEF≌△ABC.對于添加條件使兩三角形全等的問題，當已有兩個條件（包括隱含條件）時，如何思考？第25頁/共30頁6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,AD⊥MN于點D,BE⊥MN于點E,（1）當直線MN旋轉(zhuǎn)到如圖(1)所示的位置時,猜想線段AD、BE、DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。圖(1)第26頁/共30頁6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,AD⊥MN于點D,BE⊥MN于點E,（2）當直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時,猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想圖(2)第27頁/共30頁6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,AD⊥MN于點D,BE⊥MN于點E,（3）當直線MN旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時,猜想線段AD,BE,DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想圖(3)第28頁/共30頁