任意角 教學設計-高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

5.1.1任意角內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容：任意角2.內(nèi)容解析本節(jié)課選自人教A版必修一第五章第一節(jié)，在學習本節(jié)內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的一般概念，并研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，知道了函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法，本章將利用這些經(jīng)驗，利用單位圓進一步研究任意角的三角函數(shù)，并用集合與對應的語言來刻畫，這樣，在研究三角函數(shù)之前，有必要先將角的概念推廣。通過本節(jié)課的學習，學生將進一步掌握任意角的概念，同時，還利用直角坐標系建立象限角的概念，使得任意角的討論有了一個統(tǒng)一的載體，為以后三角函數(shù)的引入做準備，因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。根據(jù)上述分析，可以確定本節(jié)課的教學重點：將0°到360°范圍的角擴充到任意角。目標及其解析結合實例體驗角的概念推廣的必要性；理解并掌握正角、負角、零角的定義；能用集合和數(shù)學符號表示終邊相同的角，即掌握所有與ɑ角終邊相同的角（包括ɑ角）的表示方法；能建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻撊我饨?，理解象限角、軸線角的概念，并能用集合和數(shù)學符號表示；通過正角、負角、零角與正數(shù)、負數(shù)、零的類比，培養(yǎng)學生的類比思維能力；通過畫圖和判斷角的象限，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法。問題診斷分析學生已經(jīng)學習了集合語言，并對現(xiàn)實情境中“周而復始”現(xiàn)象較為熟悉，同時，具備了一定抽象概括能力，溝通交流能力，都為本節(jié)內(nèi)容奠定了基礎。但是，學生在理解終邊相同的角的表示方法上，會出現(xiàn)障礙，其原因是：剛剛將角的概念推廣，還不是很適應終邊相同的角的“周而復始”這個現(xiàn)象的本質(zhì)；同時，在學習了象限角的概念之后，怎樣用集合和數(shù)學符號語言正確地表示象限角（如：第一象限角）會出現(xiàn)障礙，其原因是：對第一象限角是由無數(shù)個區(qū)間構成，它們的終邊是“周而復始”的現(xiàn)象的刻畫還不了解，教師要進一步解釋k·360°的運用特點。本節(jié)課的教學難點是任意角概念的構建，用集合表示終邊相同的角。教學支持條件分析在課件中插入動圖，在角的旋轉(zhuǎn)量、旋轉(zhuǎn)方向上給學生以動態(tài)的體會；動態(tài)地表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)過程，有利于學生觀察到角的變化與終邊的位置關系，從特殊到一般，讓學生發(fā)現(xiàn)并驗證終邊相同的角的表示方法。教學過程設計創(chuàng)設情境，引入新知引導語：這節(jié)課我們開啟新篇章：三角函數(shù)。首先，同學們打開章導語，有這樣一副月相變化圖：從新月到滿月再到新月，就是月相變化的一個周期，這一周期為29.53天，稱為朔望月，到了下月初一，又是朔，開啟了新的循環(huán)?，F(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復、周而復始的規(guī)律，這種規(guī)律稱為周期性。例如：地球自轉(zhuǎn)、地球于太陽公轉(zhuǎn)，月亮圓缺、潮汐變化等，數(shù)學中的圓周運動也是一種常見的周期性變化現(xiàn)象。問題1：如圖，上的點P以A為起點做逆時針方向的旋轉(zhuǎn)。如何刻畫點P的位置變化呢？OAPPOOAPPOA【師生活動】學生思考，教師引導：我們知道，角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形。在圖中，射線的端點是圓心O，它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OP，形成一個角，射線OA，OP分別是角的始邊和終邊，點P是終邊OP與的交點．可以借助角的大小變化刻畫點P的位置變化?！驹O計意圖】創(chuàng)設情境，以圓為載體研究周期性變化對理解角的擴充更有幫助。由初中知識可知，射線OA繞端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置，在這個過程中可以得到范圍內(nèi)的角。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，那么所得到的的角就超出這個范圍了。所以，為了借助角的大小變化刻畫圓周運動，需要先擴大角的范圍。引導探究，建構概念現(xiàn)實生活中隨處可見超出范圍的角。例如，摩天輪繞機械臂旋轉(zhuǎn)一周半轉(zhuǎn)過了540°，如果鐘表快兩個小時，應當將分針逆時針旋轉(zhuǎn)720°，慢兩個小時，應當將分針順時針旋轉(zhuǎn)720°。問題2：這些角有哪些不同，體現(xiàn)在哪幾個方面？【師生活動】學生思考，得出結論：不同體現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向?！驹O計意圖】引導學生從生活實際出發(fā)用數(shù)學的眼光分析問題，歸納刻畫角的兩個方面——旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。1.角的概念類比實數(shù)的學習，我們對角的范圍進行擴充：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角?！緮?shù)學情境】你能分別作出750°、210°、-150°、-660°嗎？【設計意圖】再次強調(diào)決定一個角的要素是旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量。角的運算問題3：類比實數(shù)，思考下列問題：（1）你認為相等的兩個角應該怎樣規(guī)定？（2）兩角相加又是怎樣規(guī)定的？（3）你知道什么是互為相反角嗎？兩角怎樣相減？【師生活動】學生在獨立思考的基礎上進行交流。【設計意圖】讓學生嘗試定義角的相等和加減法，體會定義的合理性。3.象限角角的范圍擴充后，為了討論的方便，我們通常在直角坐標系中研究角。角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。問題4：根據(jù)終邊位置的不同，可以把角分為哪幾類？【師生活動】學生經(jīng)過思考不難得出：根據(jù)角的終邊所在象限，將角分為第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角。教師補充：如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，也稱為軸線角。并展示象限角和軸線角的動態(tài)形成過程?！驹O計意圖】讓學生體會在直角坐標系中研究角是自然和合理的。問題5：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？【師生活動】學生舉手作答：因為銳角是指大于且小于的角，所以銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角?！驹O計意圖】讓學生明確“銳角”“第一象限角”之間的關系，避免混淆。4.終邊相同的角問題6：在直角坐標系中，將角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么與角終邊重合的角還有哪些？有多少個？【師生活動】學生討論后作答：328°，688°，－392°，－752°；無數(shù)個追問：它們與角有什么關系？能不能用集合的形式將它們表達出來？【師生活動】學生先獨立完成，然后小組交流，教師引導學生用集合語言表述。追問：將推廣到一般角，結論應該是什么？【師生活動】學生不難得出：.【設計意圖】通過對特殊角之間關系的研究得到一般性的結論，符合學生由特殊到一般的認知規(guī)律，并且培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。當堂訓練，鞏固深化例1在范圍內(nèi)，找出與－950o12′角終邊相同的角，并判斷它是第幾象限角?！編熒顒印坑蓪W生給出答案，并要求學生說出解答步驟?！驹O計意圖】利用終邊相同的角判定其象限，為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數(shù)的值等奠定基礎。例2寫出終邊在軸上的角的集合?！編熒顒印繋熒黄鸱治?，教師板書示范。【設計意圖】引導學生體會用集合表示終邊相同的角時，表示方式不唯一，要注意采用簡約的形式。例3寫出終邊在直線上的角的集合。中滿足不等式的元素有哪些？【師生活動】可以由幾個學生分別上臺板書，教師引導學生點評?！驹O計意圖】鞏固終邊相同的角的表示。歸納小結，回顧反思教師引導學生回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，并回答下列問題：（1）任意角都是象限角嗎？（2）第一象限的角如何用集合表示？布置作業(yè)，拓展新知1.基礎作業(yè)：完成質(zhì)量監(jiān)測A組；2.拓展作業(yè)：完成質(zhì)量監(jiān)測B組。六、目標檢測設計1．已知角的頂點與直角坐標系的原點重合