廣東省汕頭市溪南中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省汕頭市溪南中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)點(diǎn)M是棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是()A. B. C.2 D.參考答案：B【分析】以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算三個(gè)平面的法向量，根據(jù)夾角相等得到關(guān)系式：，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】`以為原點(diǎn)，為軸為軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則易知：平面的法向量為

平面的法向量為設(shè)平面的法向量為：則，取平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等或看作平面的兩條平行直線，到的距離.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離都是：故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系，二面角，最短距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

2.已知A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且,則△ABC是A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.形狀不能確定參考答案：B若A為銳角，由單位圓知：。由條件，知A為鈍角，故選B3.要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位參考答案：C【分析】由三角函數(shù)的平移變換求解即可【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，熟記變換規(guī)律是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4.與y=k有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的范圍（

）

A、（-4，0）

B、[0，4]

C、[0，4）

D、（0，4）參考答案：D5.已知=,則的值等于A. B. C. D.參考答案：A====故選：A

6.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是(

)A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ－≤x≤2kπ+,k∈Z}D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}參考答案：C【分析】首先對三角不等式進(jìn)行恒等變換，變換成sinx，進(jìn)一步利用單位圓求解．【詳解】2sinx≥0解得：sinx進(jìn)一步利用單位圓解得：（k∈Z）故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：利用單位元解三角不等式，特殊角的三角函數(shù)值．7.函數(shù)的定義域是（）A．[﹣1，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，0）∪（0，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，求函數(shù)的定義域即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則，即，解得x≥﹣1且x≠0，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥﹣1且x≠0}．8.過點(diǎn)（1，2），且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】數(shù)形結(jié)合得到所求直線與OA垂直，再用點(diǎn)斜式方程求解．【解答】解：根據(jù)題意得，當(dāng)與直線OA垂直時(shí)距離最大，因直線OA的斜率為2，所以所求直線斜率為﹣，所以由點(diǎn)斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化簡得：x+2y﹣5=0，故選：A．9.下列函數(shù)，是偶函數(shù)，且周期為π的是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin2x+cos2xC．y=cos2x﹣sin2x D．y=sin2x+cosx參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的奇偶性和周期性逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x﹣=cos2x﹣是偶函數(shù)，它的周期為=π，滿足條件；而y=sin2x+cos2x=sin（2x+）和y=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）都是非奇非偶函數(shù)，故排除B、C，y=sin2x+cosx=﹣cos2x+cosx+1=﹣+不是偶函數(shù)，故排除D，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．10.c若，則=（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A(－1,5)和向量=（2,3）,若=3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

參考答案：(5,14)12.已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），當(dāng)x∈[0，]時(shí)，?的取值范圍為．參考答案：[1，]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；換元法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．【分析】?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，于是?=t+=（t+1）2﹣1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值．【解答】解：?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，∴?=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴當(dāng)t=1時(shí)，?取得最小值1，當(dāng)t=時(shí)，?取得最大值．故答案為[1，]．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，換元法，二次函數(shù)的最值，是中檔題．13.已知集合A={x|x為不超過4的自然數(shù)}，用列舉法表示A=．參考答案：{0，1，2，3，4}考點(diǎn)： 集合的表示法．專題： 規(guī)律型．分析： 先求出A中滿足條件的元素，然后利用列舉法進(jìn)行表示．解答： 解：滿足x為不超過4的自然數(shù)有0，1，2，3，4．故A={0，1，2，3，4}．故答案為：{0，1，2，3，4}．點(diǎn)評： 本題主要考查利用列舉法表示集合，要求熟練掌握列舉法和描述法在表示集合時(shí)的區(qū)別和聯(lián)系．14.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則角A=______．參考答案：60°【分析】由，根據(jù)余弦定理可得結(jié)果.【詳解】，由余弦定理得，，又，則，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.15.某學(xué)校高一年級男生人數(shù)占該年級學(xué)生人數(shù)的45%，在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)依次為72、74，則這次考試該年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為_______________。參考答案：73.116.函數(shù)，給出下列4個(gè)命題：①在區(qū)間上是減函數(shù)；

②直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；③函數(shù)f（x）的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移而得到；④若，則f（x）的值域是．其中正確命題序號是

。參考答案：①②17.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有甲，乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品能獲得利潤依次是P和Q（萬元），它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式:P=x

,Q=

,今有3萬元資金投入經(jīng)營甲，乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲乙兩種商品的投資應(yīng)分別為多少？能獲得多少利潤？參考答案：19.(14分)已知a=(,－1),b=(,2).f(x)=x2+a2x+a·b,數(shù)列{a-n}滿足a1=1,3an=f(an－1)+1(n∈N,n≥2),數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Sn,且bn=.(1)寫出y=f(x)的表達(dá)式;(2)判斷數(shù)列{an}的增減性;(3)是否存在n1,n2(n1,n2∈N*),使≥1或＜,如果存在,求出n1或n2的值,如果不存在,請說明理由.參考答案：(1)f(x)=x2+3x－1……………2分

(2)∵3an=a+3an－13(an－an－1)=a≥0

∵a1=1≠0,∴an＞an－1

∴數(shù)列{an}單調(diào)遞增………5分(3)由3an=an－1(an－1+3)

∴bn=

=……………8分∴Sn=

=1－………………9分由（2）知an單調(diào)遞增,且a1=1,∴a2=,≥a2=

∴0＜≤,∴－≤－＜0

∴≤Sn＜1………………13分故不存在n1使≥1,也不存在n2,使＜……14分略20.已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，且∣AB∣=2．

（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）求過點(diǎn)M(1，2)且和軌跡C相切的直線方程．參考答案：解:(1)方法一：設(shè)P(x,y),

∵∣AB∣=2,且P為AB的中點(diǎn)，

∴∣OP∣=1

……2分

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1．

……4分

方法二：設(shè)P(x,y)，∵P為AB的中點(diǎn)，∴A(2x,0),B(0,2y),

………2分

又∵∣AB∣=2

∴(2x)2+(2y)2=2

化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2+y2=1．……………4分

(2)①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=1,

由條件易得

x=1符合條件;

………………5分②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-2=k(x-1)

即kx-y+2-k=0

由

得k=,

∴切線方程為y-2=

(x-1)即3x-4y+5