初二數(shù)學因式分解專題講解

因式分解的方法因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學教材中主要介紹了、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法等。注意三原則分解要徹底最后結果只有小括號最后結果中多項式首項系數(shù)為正(例如：-3x2+x=-x(3x-1))基本方法1.1提公因式法☆☆☆各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法：當各項都是時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號時，多項式的各項都要變號?？谠E：找準公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2變成2(a2+1/4)不叫提公因式1.2公式法☆☆☆如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；：a2±2ab+b2=(a±b)2;注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。補充公式:立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2o(注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數(shù)和因式兩個方面考慮。)提公因式法基本步驟：找出公因式；提公因式并確定另一個因式：第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。TOC\o"1-5"\h\z1、把ax2—a分解因式的結果是.2、在實數(shù)范圍內分解因式：2a3-16a=.3、把多項式a2—2ab+b2—1分解因式，結果是4、分解因式：4a3+a=.5、因式分解：x2+2x+1一y2=.6、已知a+b=2，求代數(shù)式a2—b2+4b的值；7、分解因式x(x—1)—3x+4二.8、求證：兩個奇數(shù)的平方差一定能被8整除。9、已知：|x+y+1|+|xy-3|=0求代數(shù)式xy3+x3y的值。10、下列因式分解：①x3—4x=x(x2—4)；②a2—3a+2=(a-2)(a-1):③a2—2a—2=a(a—2)—2；^④x2+xH—=(xH—)2.2其中正確的是.(只填序號)競賽用到的方法2.2分組分解法☆☆分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。我們看多項式am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn),這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式．原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到這一步不叫把多項式分解因式,因為它不符合因式分解的意義．但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)?(a+b).這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法．從上面的例子可以看出，如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式.又如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)題目題目=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出X2,然后相合輕松解決。x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。題目1、1、4xy-3xz+8y-6z3、3xy-2x-12y+185、x4+642、x3+3x2+3x+94、ab-5bc-2a2+10ac6、x4-7x2+12.2十字相乘法☆☆x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中2.3待定系數(shù)法☆☆首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式因而只能分解為兩個二次因式。于是設x4-x4-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．1、已知多項式12十4十4分解因式后，有一因式是/十張十1,請把多項式分解因式。2、已知x2+3x+6是多項式x4-6x3+mx2+nx+36的一個因式，試確定m,n的值，并求出它的其它因式。2.4配方法☆☆對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。例如：1、X4+X2y2+y4配方和拆項、添項法有些相同之處，下面重點看看拆項、添項法2.5拆項、添項法少^問題：因式分解X2+4這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項(或幾項)，使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零?在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解?現(xiàn)舉一例：例分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數(shù)項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式二x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3將三次項x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加兩項-X2+X2.原式二x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．注：由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種．例如：1、因式分解x2+42、把a2-4ab+3b2+2bc-C2因式分解。3、因式分解x4+x2+12.6其他小方法擴展(作為了解學有余力再看)應用因式定理對于多項式f(x)=O，如果f(a)=O，那么f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3).)換元法☆有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉換回來，這種方法叫做換元法。1、(x4+x2-4)(x4+x2+3)+102、(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)求根法令多項式f(x)=O,求出其根為x1,x2,x3,xn,則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).圖象法令y二f(x),做出函數(shù)y二f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1,x2,x3,xn，則多項式可因式分解為f(x)=f(x)=k(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn).與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。例如在分解x3+2x2-5x-6時，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．多項式因式分解的一般步驟：如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適?！?簡稱<提十公分>)幾道例題．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。證明：T-C2+a2+2ab-2bc=0，.?.(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0./.(a-c)(a+2b+c)=0.Ta、b、c是AABC的三條邊，.?.a+2b+c>0.即a=c,AABC為等腰三角形。簡單了解因式分解的應用1、應用于多項式除法。2、應用于高次方程的求根。3、應用于分式的運算。4因式分解練習題(1)(m+n)(p+q)-(n+m)(p-q)(2)m(m-n)2-n(n-m)2(3)x4-y4(4)(3m+2n)2-(m-n)2(5)xn+1-3xn+2xn-1(6)x3-15x2y-16xy2(7)1-y3-y2--yx一3X331(8)8--xs2(9)(10)3(x-y)2-6(x-y)-24(11)1-4b2-4ab-a2(12)(a-4b)(a-b)+ab(13)1-26a2+25a4(14)(x+y)4+(x+y)2-20(15)(3x2+2x-8)2-(x2-2x-8)2(16)(x2-2x)2+2(x2-2x)+-(17)(x+2)(x+3)+x2-4(18)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8(19)x2(a-b)+16(b-a)(20)(x2+9y2)2-36x2y