第4章時間序列分析

會計學(xué)1第4章時間序列分析2時間序列的定義：當(dāng)時，即時刻t只取整數(shù)時，隨機過程可寫成此類隨機過程稱為隨機序列，也成時間序列。特點（1）隨機序列是隨機過程的一種，是將連續(xù)時間的隨機過程等間隔采樣后得到的序列；（2）隨機序列也是隨機變量的集合，只是與這些隨機變量聯(lián)系的時間不是連續(xù)的、而是離散的。第1頁/共64頁3第2頁/共64頁4二、隨機過程的數(shù)字特征第3頁/共64頁5第4頁/共64頁6第5頁/共64頁7第6頁/共64頁第7頁/共64頁9三、平穩(wěn)隨機過程和平穩(wěn)時間序列第8頁/共64頁10換句話說：時間序列{xt}是平穩(wěn)的。如果{xt}有有窮的二階中心矩，而且滿足：（1）ut=E（xt）=c;（2）r(t,s)=E[(xt-c)(xs-c)]=r(t-s,0)則稱{xt}是平穩(wěn)的。含義：a有窮二階矩意味著期望和自協(xié)方差存在；b平穩(wěn)時間序列任意時刻所對應(yīng)的隨機變量的均值相等；

c自協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。第9頁/共64頁11第10頁/共64頁12第11頁/共64頁13第12頁/共64頁14第13頁/共64頁15第14頁/共64頁16第15頁/共64頁17第16頁/共64頁18第二節(jié)、時間序列的隨機線性模型

一、平穩(wěn)自回歸模型（AR模型）第17頁/共64頁19第18頁/共64頁20第19頁/共64頁21二、可逆滑動平均模型（MA模型）第20頁/共64頁22第21頁/共64頁23三、平穩(wěn)自回歸-可逆滑動平均混合模型第22頁/共64頁24第23頁/共64頁25第24頁/共64頁26第三節(jié)線性模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)一、偏相關(guān)函數(shù)第25頁/共64頁27第26頁/共64頁28第27頁/共64頁29第28頁/共64頁30第29頁/共64頁31二、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)定義為：三、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

模型函數(shù)

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)(p?0,q?0)拖尾截尾k=q處拖尾截尾k=p處拖尾拖尾第30頁/共64頁32第31頁/共64頁33例：k12345678910k0.880.760.670.570.480.40.340.280.210.17kk0.880.01-0.010.110.02-0.010.01-0.02-0.060.05第32頁/共64頁34計算結(jié)果表明，自相關(guān)函數(shù)逐漸衰減，但不等于零；偏自相關(guān)函數(shù)在k=1后，與零接近，是截尾的。結(jié)論：自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減，是拖尾的；偏自相關(guān)函數(shù)在一步后為零，是截尾的。第33頁/共64頁35例：用zt=(1-0.5B)at模擬產(chǎn)生250個觀察值，at為白噪聲序列，得到序列自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)如下：可見，ACF在一步后截尾，PACF是拖尾的。結(jié)論：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。k12345678910ACF-0.4400.02-0.03-0.01-0.050.04-0.03-0.030.02PACF-0.44-0.24-0.11-0.08-0.07-0.12-0.06-0.07-0.1-0.08第34頁/共64頁36這兩節(jié)介紹了三類模型的形式、特性及自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征，現(xiàn)繪表如下：AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程(B)xt=atxt=(B)at(B）xt=(B)at平穩(wěn)性條件(B)=0的根在單位圓外無(B)=0的根在單位圓外可逆性條件無(B)=0的根在單位圓外(B)=0的根在單位圓外自相關(guān)函數(shù)拖尾Q步截尾拖尾偏自相關(guān)函數(shù)P步截尾拖尾拖尾第35頁/共64頁37第四節(jié)模型的識別一、模型識別定義由平穩(wěn)序列的一個樣本函數(shù)確定它的線性模型的類別、階數(shù)，稱為模型識別。即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。所使用的工具主要是時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF

）。二、樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)1．樣本自相關(guān)函數(shù)第36頁/共64頁38第37頁/共64頁392．樣本偏相關(guān)函數(shù)

樣本偏相關(guān)函數(shù)可用下式定義

第38頁/共64頁40三、確定模型的類別和階數(shù)第39頁/共64頁41第40頁/共64頁42

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：

（1）最小二乘估計；（2）矩估計；（3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計。下面有選擇地加以介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識別確定估計參數(shù)第五節(jié)模型參數(shù)估計第41頁/共64頁43⒈AR(p)模型的YuleWalker方程估計

在AR(p)模型的識別中，曾得到

利用k=-k，得到如下方程組：

此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，(195）第42頁/共64頁44

利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計值

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數(shù)的估計值由于

于是

從而可得2的估計值

在具體計算時，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。(196)第43頁/共64頁45⒉MA(q)模型的矩估計

將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到：

首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(197)是一個包含(q+1)個待估參數(shù)

(197)的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第44頁/共64頁46

（1）MA(1)模型的直接算法

對于MA(1)模型，（197）式相應(yīng)地寫成于是

或有于是有解

由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|<1來判斷選取一組。

(198)(199)(200)第45頁/共64頁47

（2）MA(q)模型的迭代算法

對于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數(shù)：由（197）式得第一步，給出的一組初值，比如代入（201）式，計算出第一次迭代值

（201）第46頁/共64頁48

第二步，將第一次迭代值代入（201）式，計算出第二次迭代值

按此反復(fù)迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為（201）的近似解。

第47頁/共64頁49⒊ARMA(p,q)模型的矩估計

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數(shù)1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計量計算步驟及公式如下：

第一步，估計1,2,,p

是總體自相關(guān)函數(shù)的估計值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk代替。

(202)第48頁/共64頁50

第二步，改寫模型，求1,2,,q以及2的估計值

將模型

改寫為：

令

于是(203)可以寫成：

(203)

構(gòu)成一個MA模型。按照估計MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,,q以及2的估計值。

(204)第49頁/共64頁51⒋AR(p)的最小二乘估計

假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，即有

殘差的平方和為：

(205)

根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值是下列方程組的解：

即

j=1,2,…,p(206)解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計值。

第50頁/共64頁52

為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計進行比較，將(206)改寫成：

j=1,2,…,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值

代入，上式表示的方程組即為：

或

j=1,2,…,pj=1,2,…,p第51頁/共64頁53解該方程組，得到：

即為參數(shù)的最小二乘估計。

YuleWalker方程組的解比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時，二者是相似的。2的估計值為：

第52頁/共64頁54

需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。

如果包含常數(shù)項，該常數(shù)項并不影響模型的原有性質(zhì)，因為通過適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。對含有常數(shù)項的模型

方程兩邊同減/(1-1--p)，則可得到

其中第53頁/共64頁55第54頁/共64頁56

由于ARMA(p,q)模型的識別與估計是在假設(shè)隨機擾動項是一白噪聲的基礎(chǔ)上進行的，因此，如果估計的模型確認正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。

如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。

在實際檢驗時，主要檢驗殘差序列是否存在自相關(guān)。1、殘差項的白噪聲檢驗

可用統(tǒng)計量進行2檢驗：在給定顯著性水平下，可計算不同延遲期的值，通過與2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。第六節(jié)模型的檢驗第55頁/共64頁572、AIC與SBC模型選擇標準

另外一個遇到的問題是，在實際識別ARMA(p,q)模型時，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識別檢驗。顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。因此，對可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，存在著模型的“簡潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。第56頁/共64頁58

其中，n為待估參數(shù)個數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)項），T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residualsumofsquares）。

在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好

顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。

需注意的是：在不同模型間進行比較時，必須選取相同的時間段。