剛體的定軸轉動

剛體的定軸轉動第一頁，共八十三頁，2022年，8月28日AB第二頁，共八十三頁，2022年，8月28日AB第三頁，共八十三頁，2022年，8月28日AB第四頁，共八十三頁，2022年，8月28日運動中的剛體上的各點都繞作大小不同的圓運動，這種運動稱為定轉動。2.轉動點軸點軸如車輪的轉動：第五頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第六頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第七頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第八頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第九頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日平動+轉動=平面平行運動，如火車輪子的運動：3.平面平行運動O第十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日ABo第二十頁，共八十三頁，2022年，8月28日三.剛體定軸轉動的角量描述角位置：1.角量t時刻時刻角加速度：角位移：角速度：P(t)xO時間內第二十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日角量與線量的對應關系：2.角量與線量的關系R21是定值的轉動稱為：勻角速轉動勻變速轉動是定值的轉動稱作：O第二十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日勻變速直線運動與剛體勻變速轉動的對應關系：為恒值為恒矢3.運動規(guī)律第二十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日例1.一飛輪作減速運動，其角加速度與角速度關系為，

，k為比例系數(shù)，設初始角速度為。求：⑴飛輪角速度與時間的關系；⑵當角速度由時所需的時間及在此時間內飛輪轉過的圈數(shù)。解：⑴⑵第二十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日∴在此時間內飛輪轉過的圈數(shù)第二十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日注：§5-2力矩轉動定律轉動慣量表示式：一.力對轉軸的力矩1.定義：轉軸到力的作用點的矢徑與作用力的差積。正負規(guī)定：若力矩使剛體沿時針方向轉動，M為。正逆順負大?。悍较颍河捎沂致菪▌t確定的方向由右手螺旋法則確定（與的方向一致）第二十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日2.說明①合力矩≠合力的力矩合力矩=各力的力矩和（代數(shù)和）③中心力（過轉軸的力）的力矩≡0。②

合力為零，合力矩不一定為零合力矩為零，合力不一定為零⊙第二十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日④力不在垂直于轉軸的平面內，只有對轉軸力矩有貢獻。⑤一對作用力與反作用力的力矩和等于零，

質點組對任一軸的內力矩之和為零。第二十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日二.轉動定律矢量式：基本思想：把剛體看作質元的集合。1.推導切向式：對整個剛體：以遍乘切向式：第二十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日剛體所受的合外力矩：內力矩和=定義：轉動定律為剛體的轉動慣量第三十頁，共八十三頁，2022年，8月28日2.牛頓第二定律與轉動定律的對應關系物理量：M規(guī)律：mJ剛體質點剛體質點牛頓第二定律轉動定律不一定問：M大，是否大？大，是否M大？不一定第三十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日問：剛體所受合外力為零時，它一定不會轉動起來嗎？不一定③該定律不但對固定軸(轉軸)成立，對質心軸也成立。④該定律是力矩的瞬時作用規(guī)律。3.說明①式中各量是對于同一轉軸而言。②力矩是改變剛體轉動狀態(tài)的外因?！训谌?，共八十三頁，2022年，8月28日2.可加性1.定義三.轉動慣量對分離的質點組：轉軸質量連續(xù)分布的物體對轉軸的轉動慣量：J是剛體轉動慣性大小的量度3.物理意義單質點：第三十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日③與轉軸的位置有關。①與剛體的總質量有關；②與剛體質量的分布有關；4.J與哪些因素有關第三十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日復習①力對轉軸的力矩②轉動定律③轉動慣量第三十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日rxdx取ox軸如圖所示，取棍上一線元dx為質元，xO轉動慣量：例2.質量為m、長度為l的均質細直棍，求對通過其中心O且與棍斜交成角的軸的轉動慣量。5.J計算應用舉例至轉軸的距離：解：其質量：第三十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日①當，即為棍對過它的中心且與棍垂直的轉軸的轉動慣量。剛體對某軸的轉動慣量J，等于剛體對通過質心的平行軸的轉動慣量,加上剛體質量m乘以兩平行軸之間的距離d的平方。即②過棒一端、仍與棍斜交成角的軸的轉動慣量。討論：由平行軸定理：rxdxxOd第三十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日為棍對過棍一端、

且與討論：棍垂直的軸的轉動慣量。

rxdxxOd第三十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日例3.如圖，均質大圓盤質量為M，半徑為R，對于過圓心O點且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量為MR2/2。如果在大圓盤中挖去圖示的一個小圓盤，其質量為m，半徑為r，且R=2r。求挖去小圓盤后剩余部分對于過O點且垂直于盤面的轉軸的轉動慣量。解：所以實心部分對O軸的轉動慣量為：大圓盤對O軸的轉動慣量：J1

=MR2/2小圓盤對O軸的轉動慣量：J2=mr

2/2+mr

2=3mr

2/2RrMmO第三十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日R例4.求半徑為R，質量為m的均勻半圓環(huán)相對于圖中所示軸線的轉動慣量。取弧元ds，rds解：第四十頁，共八十三頁，2022年，8月28日解：①對象：②受力分析：如圖所示③依牛頓第二定律與轉動定律列方程h

例5.一質量為

、半徑為R的定滑輪上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪上,另一端掛有一質量為

的物體而下垂，略去輪軸處的摩擦，求物體由靜止下落h高度時的速度和此時輪的角速度。m1：m2：剛體質點第四十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日④找關系

⑤解方程h第四十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日例6.質量為5kg的一桶水懸于繞在轆轤上的繩子下端，轆轤可視為一質量為10kg的圓柱體，桶從井口由靜止釋放，求桶下落過程中的張力。轆轤繞軸轉動時的轉動慣量為MR2/2，其中M和R分別為轆轤的質量和半徑，摩擦忽略不計。mMR解：對象M+mM：m：解得：第四十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日例7.質量為M1=24kg的鼓形輪，可繞水平光滑固定的軸轉動，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過質量為M2=5kg的圓盤定滑輪懸有m=10kg的物體。求當重物由靜止開始下降了h=0.5m時，⑴物體的速度；⑵繩中張力。（設繩與定滑輪之間無相對滑動，鼓輪、定滑輪繞通過輪心且垂直于橫截面的水平光滑軸的轉動慣量分別為mRM1M2解：①對象：M1、M2、m②受力分析：如圖③列方程（書P1255-15）第四十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日M1：M2：m：求解聯(lián)立方程得:mRM1M2第四十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日例8.質量m、長為l的均質細桿，可繞其一端的水平固定軸O轉動，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：⑴轉到任一角時，桿的角加速度等于多少？⑵此時的角速度等于多少？桿②進行受力與受力矩分析③依轉動定律列方程l解：O①對象：第四十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日④由lO討論：越小，值越大；越大，值越大。當時，第四十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日例9.以20N·m的恒力矩作用在有固定軸的轉輪上，在10s內該輪的轉速由零增大到100rev/min，此時移去該力矩，轉輪在摩擦力矩的作用下，經(jīng)100s而停止，試推算此轉輪對其固定軸的轉動慣量。解：有外力矩作用時由轉動定律有無外力矩作用時第四十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日解得：其中M=20N·m，=17.3kg·m2第四十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日復習轉動定律：第五十頁，共八十三頁，2022年，8月28日§5-3剛體定軸轉動動能力矩的功一.轉動動能二.力矩的功x質點：1.力矩的功O力作的元功：剛體：（轉動動能）（平動動能）第五十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日力矩所作的元功：2.轉動動能定理合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。轉動動能定理：力矩所作的功：xO第五十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日③應用該定理時只需分析始態(tài)與末態(tài)。①是相對量。3.說明②轉動動能定理的表達式為標量式。第五十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日例8.質量m、長為l的均質細桿，可繞其一端的水平固定軸O轉動，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：⑴轉到任一角時，桿的角加速度等于多少？⑵此時的角速度等于多少？例10.用轉動動能定理求解例8。解：②由轉動動能定理有：l桿①對象：O第五十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日第五十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日3.機械能守恒定律只有保守力作功時，機械能守恒。即重力勢能：為剛體質心處的重力勢能第五十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日例11.用機械能守恒定律求解例8中的。在桿轉動的過程中，由于只有重力作功，故機械能守恒。取桿的水平位置為勢能零點，有l(wèi)例8.質量m、長為l的均質細桿，可繞其一端的水平固定軸O轉動，將桿從水平位置釋放，如圖。試求：⑴轉到任一角時，桿的角加速度等于多少？⑵此時的角速度等于多少？解：O第五十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日1.質點的角動量2.剛體的角動量§5-4

繞定軸轉動的剛體的角動量和角動量守恒定律一.角動量（動量矩）

L的方向與的方向相同?！训谖迨隧?，共八十三頁，2022年，8月28日3.的角動量量綱相同質點剛體二.剛體對轉軸角動量定理沖量矩（角沖量）質點的角動量定理：第五十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日剛體對轉軸的角動量定理：合外力矩的沖量矩=角動量的增量。三.角動量守恒定律1.守恒律若剛體所受的合外力矩為零，則其總角動量保持不變。角動量守恒定律：質點的角動量守恒定律：第六十頁，共八十三頁，2022年，8月28日不變，2.說明①條件分析：即力矩的和為零。ⅰ.一個J不變，不變，J變，變，②角動量守恒的幾種情況ⅱ.幾個若人所受的，則人的角動量也守恒。ⅲ.推廣至人剛體質點角動量守恒。系統(tǒng)的角動量守恒質點剛體第六十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日例12.一根長為、質量為的均勻細棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜此于豎直位置。今有一子彈質量為、以水平速度射入棒下端距軸高度為a處如圖。子彈射入后嵌入其內并與棒一起轉動偏離鉛直位置，求子彈的水平速度的大??？第二階段棒剛體子彈質點a②過程分析：第一階段解：①對象：第六十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日③列方程解得：∴角動量守恒。只有重力作功，故機械能守恒。第一階段：第二階段：a第六十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日例13.如圖所示，半徑為R、質量為m的水平轉臺，以角速度繞中心處的鉛直軸轉動。臺上站有4人，質量各等于轉臺質量的；2人站于臺邊A處，2人站于距圓心的B處。今臺邊2人相對圓臺以速度循轉臺轉向沿圓周走動，同時另2人相對圓臺以速度逆圓臺轉向沿圓周走動，求圓臺這時的角速度等于多少？BORA解：①對象：②條件分析：轉臺剛體4個人質點組受重力及軸的支托力，且皆與轉軸平行，知由于系統(tǒng)只第六十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日以地面為參考系③狀態(tài)分析：轉臺臺邊2人臺中2人轉臺臺邊2人臺中2人，故系統(tǒng)角動量守恒。人走動前人走動后BORA第六十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日④依角動量守恒定律列方程解得：結論：多物體組成的系統(tǒng)的角動量可疊加第六十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日例14.一塊寬L=0.60m、質量M=1kg的均勻薄木板，可繞水平固定軸無摩擦地自由轉動。當木板靜止在平衡位置時，有一質量為m=10×10-3kg的子彈垂直擊中木板A點，A離轉軸的距離l=0.36m，子彈擊中木板前的速度為500m·s-1，穿出木板后的速度為200m·s-1。求：⑴子彈給予木板的沖量，⑵木板獲得的角速度。（木板繞軸的轉動慣量J=ML2/3）OAL解：⑴子彈的沖量為子彈給予木板的沖量為：l第六十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日⑵子彈射入并穿出木板，系統(tǒng)的角動量守恒。

解得：OALl第六十八頁，共八十三頁，2022年，8月28日質點平動剛體定軸轉動速度加速度質量m角速度角加速度轉動慣量牛頓第二定律轉動定律動量角動量動量定理角動量定理質點平動和剛體定軸轉動的比較力矩角動量第六十九頁，共八十三頁，2022年，8月28日質點平動剛體定軸轉動力的功力矩的功平動能轉動能動能定理轉動動能定理重力勢能重力勢能機械能守恒定律只有保守力作功，機械能守恒定律只有保守力作功，動量守恒定律：角動量守恒定律：第七十頁，共八十三頁，2022年，8月28日本章小結主要公式：②轉動慣量⑤剛體的角動量③力矩④角動量定理⑥角動量守恒定律①轉動定律第七十一頁，共八十三頁，2022年，8月28日基本要求：了解轉動慣量概念，理解剛體繞定軸轉動的轉動定律和剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒定律。第七十二頁，共八十三頁，2022年，8月28日復習①功力矩作的功：②轉動動能定理力作的功：③機械能守恒定律只有保守力作功時，第七十三頁，共八十三頁，2022年，8月28日⑤角動量定理質點：剛體：⑥角動量守恒定理④角動量質點：剛體：第七十四頁，共八十三頁，2022年，8月28日復習角量與線量的關系：第七十五頁，共八十三頁，2022年，8月28日復習①轉動定律②轉動慣量③功力矩作的功：④轉動動能定理力作的功：⑤機械能守恒定律只有保守力作功時，第七十六頁，共八十三頁，2022年，8月28日dR例5.求質量為m，半徑為R的細圓環(huán)對過環(huán)心垂直于環(huán)面的轉軸的轉動慣量。圓環(huán)的線密度為dl解：=m/2R環(huán)上取小質元dm

，則

dm=dl=Rd第七十七頁，共八十三頁，2022年，8月28日下圖中，滑輪兩邊張力不相同，兩物體的加速度相同。（繩不可伸長）M