復(fù)變函數(shù)課件冪級數(shù)

復(fù)變函數(shù)課件冪級數(shù)1第一頁，共四十頁，2022年，8月28日一、冪級數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項級數(shù)定義其中各項在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達式稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù),記作

2第二頁，共四十頁，2022年，8月28日稱為這級數(shù)的部分和.級數(shù)最前面n項的和和函數(shù)3第三頁，共四十頁，2022年，8月28日稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,那末它的和一定4第四頁，共四十頁，2022年，8月28日2.冪級數(shù)當(dāng)或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).5第五頁，共四十頁，2022年，8月28日二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足阿貝爾介紹6第六頁，共四十頁，2022年，8月28日證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的n,7第七頁，共四十頁，2022年，8月28日而由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8第八頁，共四十頁，2022年，8月28日2.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.9第九頁，共四十頁，2022年，8月28日例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.10第十頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).例如,級數(shù)通項不趨于零,如圖:故級數(shù)發(fā)散.11第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.12第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日答案:冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?13第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.14第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日3.收斂半徑的求法方法1:比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.15第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日據(jù)阿貝爾定理,根據(jù)上節(jié)定理三,16第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日所以收斂半徑為[證畢]即假設(shè)不成立.17第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日如果:即注意:存在且不為零.定理中極限(極限不存在),即18第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日答案課堂練習(xí)試求冪級數(shù)的收斂半徑.19第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日方法2:根值法(定理三)那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果20第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日三、冪級數(shù)的運算和性質(zhì)1.冪級數(shù)的有理運算21第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日2.冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算如果當(dāng)時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時,說明:此代換運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).22第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù).(1)3.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)23第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導(dǎo),逐項積分.(常用于求和函數(shù))即24第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日四、典型例題例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為25第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,26第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時的情形)或解(1)因為27第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級數(shù)所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級數(shù)28第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù),收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，(2)29第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日故收斂半徑例3求冪級數(shù)的收斂半徑:解30第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日解所以例4求的收斂半徑.31第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日例5把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復(fù)常數(shù).解把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出32第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日級數(shù)收斂,且其和為33第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日例6求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以34第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例7求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解35第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日例8計算解36第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日五、小結(jié)與思考這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法和冪級數(shù)的運算性質(zhì).37第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日思考題冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?38第三十八頁，共四十頁，2022年，8月28日由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性討論.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.39第三十九頁，共四十頁