中考復(fù)習(xí)6旋轉(zhuǎn)專題

NBPC、NCPA的大小之比為5:6:7,則以PA、PB、PC為（2）在等邊4ABC中，NBPC、NCPA的大小之比為5:6:7,則以PA、PB、PC為（2）在等邊4ABC中，P為BC邊上一點，設(shè)以AP、BP、CP為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為0,則（）A.0三90°B.0<120°C.0=120°D.0=135°旋轉(zhuǎn)專題【類型一】旋60。，造等邊例1、如圖，設(shè)P是等邊AABC內(nèi)的一點，PA=3,PB=4,PC=5，則ZAPB的度數(shù)是例2、（1）如圖，P是等邊^(qū)ABC內(nèi)一點，NAPB、邊的三角形三內(nèi)角大小之比（從小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上結(jié)果都不對例3、如圖所示.^ABD是等邊三角形，在4ABC中，BC=a,CA=b，問：當(dāng)NACB為何值時，C,D兩點的距離最大？最大值是多少？

例4、(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°,證明：BC+DC=AC.(2)如圖，四邊形ABCD中，= 乙45C=6(r,P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且/AP。=120。.證明:PA+PD+PC>BD.檢測1、如圖，P為等邊^(qū)ABC內(nèi)一點，ZAPB=113°,ZAPC=123°求證：以AP,BP,CP為邊可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).檢測2、如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,4。=.證明：.【類型二】旋90。，造垂直例5、如圖，以RtAABC的斜邊BC為一邊在AABC的同側(cè)作正方形BCEF,設(shè)正方形的中心為O,連接AO,如果AB=4,AO=6近,那么AC的長等于。例6、如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0).(1)求/APB的度數(shù);⑵求正方形ABCD的面積.例7、如圖，己知DE是等腰RTAABC斜邊BC所在直線上的兩點，滿足NDAE=135°證明CD2+BE2=DE2檢測1、在圖中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角邊長均為4）疊放在一起（如圖⑴），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角建滿足條件:0°<?<90。），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖⑵）.⑴在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；⑵連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=%,AGKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍；1（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGKH的面積恰好等于AABC面積的一？若存在，求出此時％的16值；若不存在，說明理由.琪。）檢測2、如圖,等腰直角AABC中，ZABC=90。,點P在AC上,將AABP繞頂點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得至UACBQ.（1）求ZPCQ的度數(shù)；⑵當(dāng)AB=4,AP:PC=1:3時，求PQ的大??；

⑶當(dāng)點P在線段AC上運(yùn)動時(P不與A、C重合)，請寫出一個反映PA2,PC2,PB2之間關(guān)系的等式,并加以證明.AQ【類型三】旋180。，造中心對稱例8、如圖1,在AABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若點B,P在直線a的異側(cè)，BM±直線a于點M.CN1直線a于點N,連接PM,PN.(1)延長MP交CN于點E(如圖2).(1)求證：ABPM=ACPE；⑵求證：PM=PN；⑶若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,點B,P在直線a的同側(cè),其它條件不變,此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立,請說明理由；(4)若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時,其它條件不變,請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎?不必說明理由.例9、請閱讀下列材料：問題:如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A,B,E在同一條直線上,P是線段DF的中點,連接PG,PC.若ZABC=ZBEF=60。，探究PG與PC的位置關(guān)系及PG的值.PC小聰同學(xué)的思路是:延長GP交DC于點H,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：(1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及PG的值；PC⑵將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問題中的其他條件不變(如圖2).你在⑴中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明；⑶若圖1中ZABC=ZBEF=2a(0。<a<90。),將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度,原問題中的其他條件不變,請你直接寫出PG的值(用含a的式子表示).PC檢測1、如圖，等邊4ABC,其邊長為1, D是BC中點，點E,F分別位于AB,AC邊上，且NEDF=120°.(1)直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)若BE,DE,CF能圍成一個三角形，求出這個三角形最大內(nèi)角的度數(shù)；(要求：寫出思路，畫出圖形，直接給出結(jié)果即可)(3)思考：AE+AF的長是否為定值？如果是，請求出該值，如果不是，請說明理由.檢測2、已知RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,連接EC,取EC中點M,連接DM和BM,（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖①，求證：BM=DM且BMXDM；⑵如圖①中的^ADE繞點A逆時針轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖②，那么⑴中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.【類型四】大角夾半角例10、某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，在等腰直角AABC中，AB=AC，ZBAC=90。，小敏將一塊三角板中含45。角的頂點放在A上，斜邊從AB邊開始繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角a，其中三角板斜邊所在直線交直線BC于點。，直角邊所在的直線交直線BC于點E.（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分ZBAM，則AE也平分ZMAC。請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。（2）當(dāng)0。時，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2。同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：小穎的想法：將AABD沿AD所在的直線對折得到AADF，連接EF（如圖2）。小亮的想法：將AABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得至1」AACG，連接EG（如圖3）。請你從中任選一種方法進(jìn)行證明。（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45°<a<135。且aw90。時，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立，先請你繼續(xù)研究：當(dāng)135o<a<180。時（如圖4）等量關(guān)系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由。

檢測1、如圖，正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD上兩個動點（不與B、C、D重合），連接AE、AF,分別交BD于H、C兩點，已知NEAF=45°,下列結(jié)論：①AE平分NBEF；②BE+DF>CE+CF；③AG-AF=AH-AE；?DG2+BH2=GH2其中正確的結(jié)論是（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④1.檢測2、如圖在五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,ZCAD=-ZBAE,求/BAE的度數(shù)。2C D【類型五】旋轉(zhuǎn)任意角例11、如圖1,在RtAABC中，ZB=90。，BC=2AB=8，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE。將AEDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a。一. ?. .AE ?. .AE（1）問題發(fā)現(xiàn)。①當(dāng)a=0。時，——= ；②當(dāng)a=180。時，——= 。BD BDAE..（2）拓展探究。試判斷：當(dāng)0°<a<360。時，——的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明。BD（3）問題解決。當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長。SBC（圖1）（備用圖）檢測1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF±BD交BC于F，連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.（1）求證：EG=CG；（2）將圖（1）中ABEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45。，如圖⑵所示，取DF中點G，連接EG,CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明；若不成立,請說明理由；⑶將圖（1）中ABEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖（3）所示,再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）.檢測2、如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點。分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE。

(1)求證：DE1AG。(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。<&<360。)得到正方形OEFG',如圖2。①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ZOAG'是直角時，求a的度數(shù)。②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF'長的最大值和此時a的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由。G圖1G圖1【綜合練習(xí)】1、在4ABC中，AB=AC,ZBAC=90。，點D在射線BC上(與B、C兩點不重合)，以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側(cè)，射線BA與射線CF相交于點G.(1)若點D在線段BC上，如圖1.①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷BC與CG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；(2)若點D在線段BC的延長線上，且G為CF中點，連接GE,ABK,2，則GE的長為，并簡述求GE述求GE長的思路.2、如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a,b(b三2a)，且點F在AD上(以下問題的結(jié)果均可用a,b的代數(shù)式表示).(1)求S(1)求SADBF(2)把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖②，求圖②中的S ；ADBF(3)把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，SaDBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由.3、四邊形ABCD中，AB=BD=AD,ZBCD=30°，求證：DC2+BC2=AC2.4、已知，AABC中，AC=BC,ZACB=90°,D為AB的中點，若E在直線AC上任意一點，DF±DE,交直線BC于F點.G為EF的中點，延長CG交AB于點H.(1)若E在邊AC上.試說明DE=DF；⑵試說明CG=GH；5、已知矩形ABCD中AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處。（1）如圖1,已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、AO，若AOCP與APDA的面積比為1:4，求邊CD的長。（2）如圖2,在（1）的條件下擦去AO、OP，連接BP，動點M在線段AP上（點M不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME±BP于點E，試問當(dāng)點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律，若不變，求出線段EF的長度。圖1圖？B

圖1圖？B6、數(shù)學(xué)活動課上，某學(xué)習(xí)小組對有一內(nèi)角為120。的平行四邊形ABCD（/BAD=120。）進(jìn)行探究：將一塊含60。的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，且60。角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F(xiàn)（不包括線段的端點）。（1）初步嘗試如圖1，若AD=AB，求證：①ABCE=AACF，②AE+AF=AC。（2）類比發(fā)現(xiàn)如圖2，若AD=2AB，過點C作CH1AD于點H，求證：AE=2FH。（3）深入探究探究得AE+3AF： 的值為常數(shù)t，則t探究得AE+3AF： 的值為常數(shù)t，則t=AC7、如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120。.以D為頂點作一個60。角,使其兩邊分別交AB于點M，交