二面角8種求法學(xué)生版

例題2：已知正方體ABCD-ABCD例題2：已知正方體ABCD-ABCD中，所成的二面角。 1111E、F為AR、CR的中點(diǎn)，求平面EFCA與底面ABCD二面角求法正方體是研究立體幾何概念的一個(gè)重要模型，中學(xué)立體幾何教學(xué)中，求平面與平面所成的二面角是轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方體也是探討求二面角大小方法的典型幾何體。筆者通過(guò)探求正方體中有關(guān)二面角，分析求二面角大小的八種方法：（1）平面角定義法；（2）三垂線定理法；（3）線面垂直法；（4）判定垂面法；（5）異面直線上兩點(diǎn)間距離公式法；（6）平行移動(dòng)法；（7）投影面積法；（8）棱錐體積法。一、 平面角定義法此法是根據(jù)二面角的平面角定義，直接尋求二面角的大小。以所求二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在二面角兩個(gè)平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成角就是二面角的平面角，如圖二面角。-l-p中，在棱l上取一點(diǎn)0,分別在a、P兩個(gè)平面內(nèi)作A0±l,B0±l,ZA0B即是所求二面角的平面角。1111例題1：已知正方體ABCD-ABCD中，0、0是上下底面正方形的中心，求二面角0-BC-0的大小。1111利用三垂線定理法此方法是在二面角的一個(gè)平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，再由垂足（或仍是該點(diǎn)）作棱的垂線，連接該點(diǎn)和棱上的垂足（或連兩垂足）兩點(diǎn)線，即可得二面角的平面角。如圖二面角。-l-p中，在平面。內(nèi)取一點(diǎn)A,過(guò)A作人8利用三垂線定理法此方法是在二面角的一個(gè)平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，再由垂足（或仍是該點(diǎn)）作棱的垂線，連接該點(diǎn)和棱上的垂足（或連兩垂足）兩點(diǎn)線，即可得二面角的平面角。如圖二面角。-l-p中，在平面。內(nèi)取一點(diǎn)A,過(guò)A作人8，平面0,B是垂足，由B（或A）作BO（或AQ）±l,連接AO（或BO）即得AO是平面日的斜線，BO是AO在平面日中的射影，根據(jù)三垂線定理（或逆定理）即得AO±l,BO±l,即NAOB是a-l-p的平面角。例題3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-AC-B1的大小。例題4：已知正方體ABCD-A1B1cpi中，求平面ACD1與平面BDC1所成的二面角。DCABC1AE-三、線面垂直法此法利用直線垂直平面即該直線垂直平面內(nèi)任何直線的性質(zhì)來(lái)尋求二面角的平面角。方法是過(guò)所求二面角的棱上一點(diǎn)，作棱的垂面，與兩個(gè)平面相交所得兩條交線的所成角即是二面角的平面角。如圖在二面角。-l-p的棱上任取一點(diǎn)O,過(guò)O作平面丫±l,any=AO,pny=BO,得NAOB是平面角,Vl±y,l±AO,l±BOo???NAOB是二面角的平面角。例題6：已知正方體ABCD-ABCD中，E例題6：已知正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是BB、所成的二面角。1111四、判定垂面法1111例題5：已知正方體ABCD-ABCD中，求二面角B-AC-D的大小。1111所成的二面角。11所成的二面角。11此法根據(jù)平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直，反之，若能判定兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面所成的二面角是900,無(wú)須尋作二面角的平面角。如圖若已知或證得aa,a±pAa±p。則二面角a-l-p的大小即是900。可見(jiàn)判定面面垂直是求二面角的一種特殊情況。1111例題7：已知正方體ABCD-ABCD中，求平面BDC與平面ACCA1111例題8：已知正方體ABCD-&BCR中，O「O是上下底面正方形的中心,v是OO］的中點(diǎn)，求平面avB與平面cvD所成的二面角。

五、異面直線上兩點(diǎn)間距離公式法此法按高中立體幾何課本P45頁(yè)例2證明的公式，求二面角大小，題意是已知兩條異面直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A,E=m，AF=n，求EF。如圖公式是：EF=.：d2+m2+?2±2mncos9（注意E、F在AA同側(cè)時(shí)取“-"，EF在AA異側(cè)時(shí)取“+”號(hào)。）應(yīng)用該公式是求異面直線上兩點(diǎn)間的距離，若把所求二面角當(dāng)作0角，1即是異面直線a、b和公垂線AA確定的兩個(gè)平面所成的二面角，用函數(shù)觀念來(lái)理解公式中1五個(gè)量，已知其中四個(gè)量即可求第五個(gè)量，若已知或易求知EF、d、m、n則求cos0，0即是所求二面角。例題9：已知正方體ABCD-ARCR中，H是BC棱上一點(diǎn)且BH：BC=1：3，求二面角H-AA：C"q大小。例題10：已知正方體ABCD-ABCD中，O、O是上下底面正方形的中心，E是AB棱上一點(diǎn)，且AE：EB=1：2，求二面角A1-O1O-E的大小。1六、平行移動(dòng)法若所求二面角的棱線隱含未知或難尋作棱時(shí)，可采用將二面角中的一個(gè)平面平行移動(dòng)到適當(dāng)位置，作得新的二面角大小與所求二面角相等，并可求得新的二面角大小。如圖將所求平面a與平面日所成的二面角中a平面平行移動(dòng)到平面丫位置處，即求Y與B所成的二面角即是所求二面角大小。

例題11：已知正方體ABCD-A]BjCR中，G、E、F是所在棱的中點(diǎn)，求平面EFG與平面ABCD所表的二面角。O1是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中點(diǎn)，求平O1是上底面正方形的中心，E、F是AB、CD的中點(diǎn)，求平七、投影面積法在二面角一個(gè)平面內(nèi)若已知一個(gè)任意多邊形的面積為S，該多邊形在另一個(gè)平面內(nèi)投影面積為S射，該二面角大小e可用cos0=%來(lái)計(jì)算。如圖所示，此結(jié)論證明本文略。S高中課本P68頁(yè)習(xí)題八中11題就是類似證明習(xí)題。此方法適合求二面角中易解得S、S射時(shí)用。

例題13：已知正方體ABCD-ARCR中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F：FA=1：2,求平面例題14：已知正方體ABCD-'B1cpi中E是CJ的中點(diǎn)求平面AED與平面ABCD所成二面角。八、棱錐體積法此方法把所求二面角看作為求棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角，在已知或易求棱錐底面面積、側(cè)面一個(gè)面面積和體積前提下，即可用錐體體積公式V=1sqh，3底來(lái)探求二面角大小。如圖已知三棱錐V-ABC中，VO是高線，若已得底面面積是S，AB=a,一個(gè)側(cè)面力ABV面積是S，體積是V,求二面角C-AB-V大小?，F(xiàn)設(shè)所求C-AB-V平面角是如圖中的NVDO,力ABV面積S=1a.vd,sinNVDO=VO,TOC\o"1-5"\h\z12 VD,VD二牌，VO=至1.sin/VDO，利用棱錐體積公式，a a1 1 2S 2S-SV=--S-VO=--S■—r-sin/VDO= r-sin/VDO，3 3a 3a.??sinNVDO